[PDF] [PDF] Rang et déterminant des matrices - LaBRI





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LES DÉTERMINANTS DE MATRICES

L'élément distinct de



Calculs de déterminants

Si dans une matrice on change un ligne Li en Li −λLj alors le déterminant reste le même. Même chose avec les colonnes. L1. 1 0 2. L2. 3 



Clipedia

de déterminant au cas des matrices carrées 3 × 3. Vidéo https://clipedia.be/videos/determinant-3x3. Cette séquence exploite les notions de produit vectoriel 



Rappel. Le polynôme caractéristique dune matrice carrée A est det

17 déc. 2012 §7.7 Trace déterminant et valeurs propres. Rappel. Les valeurs propre d'une matrice carrée sont les racines de son polynôme caractéristique ...



Déterminants

Comme on sait calculer le déterminant de la matrice triangulaire T et les déterminants des matrices élémentaires Ei + 3x3. = 8. On a. A =.. 1. 0 2. −3.



CHAPITRE I : MATRICES 1 Trace 2 Déterminant

Théorème 2.2 Une matrice A est inversible si et seulement si son déter- minant est non nul. 3 Matrices équivalentes et matrices semblables. Si A B ∈ Mm



The determinant of a 3 × 3 matrix

We have seen that determinants are important in the solution of simultaneous equations and in finding inverses of matrices. The rule for evaluating the 



Valeurs propres vecteurs propres

Remarque. • La matrice A− X In est à coefficients dans [X] donc son déterminant χA(X) appartient à [X].





Produit vectoriel de 2 vecteurs par la méthode du « déterminant d

"déterminant" d une matrice 3x3 : Disposer dans un tableau (matrice 3x3) les 3 vecteurs unitaires fondamentaux les 3 composantes du premier vecteur du 



[PDF] LES DÉTERMINANTS DE MATRICES

3- Calcul du déterminant pour une matrice À toute matrice carrée correspond une valeur appelée le déterminant de que l'on dénote par ou encore



[PDF] Module 2 : Déterminant dune matrice - FOAD - MOOC

Le déterminant concerne les matrices carrées Une matrice dont le déterminant est différent de zéro est une matrice dite régulière Ex matrice 3x3 



[PDF] Les matrices - Déterminants 3 × 3 Clipedia

de déterminant au cas des matrices carrées 3 × 3 Vidéo https://clipedia be/videos/determinant-3x3 Cette séquence exploite les notions de produit vectoriel 



[PDF] Chapitre 6 Déterminant dune matrice carrée

Donner des exemples Page 35 §4 Formule pour la matrice inverse Les théorèmes précédents se démontrent 



[PDF] 1 Quest-ce que le déterminant dune matrice ?

1 Qu'est-ce que le déterminant d'une matrice ? Nous généralisons ici la notion de déterminant que vous connaissez déjà en dimension 2 et 3 La définition que 



[PDF] Rang et déterminant des matrices - LaBRI

4 sept 2019 · La suppression d'une colonne nulle ou d'une ligne nulle préserve le rang Page 17 Calcul pratique du rang d'une matrice : pivot de Gauss 



[PDF] Chapitre 7 D´eterminants

i) Le déterminant est linéaire par rapport `a chaque vecteur-colonne les autres étant fixés ii) Si une matrice A a deux vecteurs colonnes égaux 



[PDF] CHAPITRE I : MATRICES 1 Trace 2 Déterminant

Théorème 2 2 Une matrice A est inversible si et seulement si son déter- minant est non nul 3 Matrices équivalentes et matrices semblables Si A B ? Mmn(K) 

Rang et d

´eterminant des matrices

Herv

´e Hocquard

Universit

´e de Bordeaux, France

4 septembre 2019

Espace des lignes-Espace des colonnes

Introduction

SoitA=aij2Mn;p(K), avecK=RouC:On peut

d

´ecomposerAen lignes :A=0

B @a 1... a n1 C A ou en colonnes :A=a1ap.On associe `aAdeux sev deKp:

L(A) =Vectfa1;:::;angle sev engendr´e par les lignes deA.C(A) =Vecta1;:::;aple sev engendr´e par les colonnes de

A.

Espace des lignes-Espace des colonnes

Introduction

SoitA=aij2Mn;p(K), avecK=RouC:On peut

d

´ecomposerAen lignes :A=0

B @a 1... a n1 C A ou en colonnes :A=a1ap.On associe `aAdeux sev deKp:

L(A) =Vectfa1;:::;angle sev engendr´e par les lignes deA.C(A) =Vecta1;:::;aple sev engendr´e par les colonnes de

A.

Espace des lignes-Espace des colonnes

Introduction

SoitA=aij2Mn;p(K), avecK=RouC:On peut

d

´ecomposerAen lignes :A=0

B @a 1... a n1 C A ou en colonnes :A=a1ap.On associe `aAdeux sev deKp:

L(A) =Vectfa1;:::;angle sev engendr´e par les lignes deA.C(A) =Vecta1;:::;aple sev engendr´e par les colonnes de

A.

Espace des lignes-Espace des colonnes

Th ´eor`emePour toute matrice A deMn;p(K);dimL(A) = dimC(A).D ´efinitionSoit A une matrice deMn;p(K). On appelle rang deAla dimension deC(A)(ou deL(A)). On a clairement : rangAmin(n;p)etrangA=rangtA

Espace des lignes-Espace des colonnes

Th ´eor`emePour toute matrice A deMn;p(K);dimL(A) = dimC(A).D ´efinitionSoit A une matrice deMn;p(K). On appelle rang deAla dimension deC(A)(ou deL(A)). On a clairement : rangAmin(n;p)etrangA=rangtA

Rang d"une matrice...pour faire simple

D ´efinitionSoitA2Mn;p(R)une matrice, on appelle rang de la matriceA, le rang dansRndu syst`eme constitu´e par sespvecteurs colonnes, notation :rg(A) =rg(c1(A);:::;cp(A)).Remarque

ImA=Vectfc1(A);:::;cp(A)gTh

´eor`emeSoituune application lin´eaire deEdansF, soitBune base de

E, soitB0une base deF, et soitA=matB;B0(u), alors

rg(u) =rg(A)

Rang d"une matrice...pour faire simple

D ´efinitionSoitA2Mn;p(R)une matrice, on appelle rang de la matriceA, le rang dansRndu syst`eme constitu´e par sespvecteurs colonnes, notation :rg(A) =rg(c1(A);:::;cp(A)).Remarque

ImA=Vectfc1(A);:::;cp(A)gTh

´eor`emeSoituune application lin´eaire deEdansF, soitBune base de

E, soitB0une base deF, et soitA=matB;B0(u), alors

rg(u) =rg(A)

Rang d"une matrice...pour faire simple

D ´efinitionSoitA2Mn;p(R)une matrice, on appelle rang de la matriceA, le rang dansRndu syst`eme constitu´e par sespvecteurs colonnes, notation :rg(A) =rg(c1(A);:::;cp(A)).Remarque

ImA=Vectfc1(A);:::;cp(A)gTh

´eor`emeSoituune application lin´eaire deEdansF, soitBune base de

E, soitB0une base deF, et soitA=matB;B0(u), alors

rg(u) =rg(A)

Rang d"une matrice

Th ´eor`eme (Cons´equence)SoitEun espace vectoriel de dimensionn, soitS= (x1;:::;xp) une famille depvecteurs deEet soitBune base deE, alors le rang de la familleSest´egal au rang de la matrice de ce syst `eme dans la baseB.Th ´eor`eme : Invariance du rangSoitA2Mn;p(R),P2Mp(R)inversible et soitQ2Mn(R) inversible. Alors :1rg(AP) =rg(A)etrg(QA) =rg(A).2Deux matrices semblables ont le m

ˆeme rang.3rg(A) =rg(tA).

Rang d"une matrice

Th ´eor`eme (Cons´equence)SoitEun espace vectoriel de dimensionn, soitS= (x1;:::;xp) une famille depvecteurs deEet soitBune base deE, alors le rang de la familleSest´egal au rang de la matrice de ce syst `eme dans la baseB.Th ´eor`eme : Invariance du rangSoitA2Mn;p(R),P2Mp(R)inversible et soitQ2Mn(R) inversible. Alors :1rg(AP) =rg(A)etrg(QA) =rg(A).2Deux matrices semblables ont le m

ˆeme rang.3rg(A) =rg(tA).

Op ´erations´el´ementaires sur les matricesD ´efinitionSoitA2Mn;p(R), on appelle op´erations´el´ementaires surAles op ´erations suivantes :1Permuter deux lignes deA(ou deux colonnes), notation : L i$Lj(resp.Ci$Cj).2Multiplier une ligne (ou une colonne) par un scalaire non nul, notation :Li aLi(resp.Ci aCi).3Ajouter `a une ligne (ou une colonne) un multiple d"une autre ligne (resp. une autre colonne), notation : L i Li+aLj, aveci6=j(resp.Ci Ci+aCj). Op ´erations´el´ementaires sur les matricesTh

´eor`emeEffectuer une op

´eration´el´ementaire sur une matrice

A2Mn;p(R)revient`a multiplierA`a gauche par une matrice inversible pour les op

´erations sur les lignes (`a droite pour une

op

´eration sur les colonnes).

Op

´erations´el´ementaires surA2Mn;p(R):K=R

Calcul pratique du rang d"une matrice

Remarque

Il est

`a peu pr`es´evident que les op´erations´el´ementaires ne modifient pas le rang d"une matrice. Pour calculer le rang d"une matrice, il suffit donc de l"

´echelonner par rapport`a ses lignes

(resp.ses colonnes) et le rang est alors

´egal au nombre de

lignes (resp. de colonnes) non nulles de la matrice

´echelonn´ee.

C"est donc aussi le nombre de pivots non nuls d"une r

´eduite de

Gauss-Jordan de la matrice.Th

´eor`eme : propri´et´es d"invarianceLes op ´erations´el´ementaires conservent le rang de la matrice.La suppression d"une colonne nulle ou d"une ligne nulle pr

´eserve le rang.

Calcul pratique du rang d"une matrice

Remarque

Il est

`a peu pr`es´evident que les op´erations´el´ementaires ne modifient pas le rang d"une matrice. Pour calculer le rang d"une matrice, il suffit donc de l"

´echelonner par rapport`a ses lignes

(resp.ses colonnes) et le rang est alors

´egal au nombre de

lignes (resp. de colonnes) non nulles de la matrice

´echelonn´ee.

C"est donc aussi le nombre de pivots non nuls d"une r

´eduite de

Gauss-Jordan de la matrice.Th

´eor`eme : propri´et´es d"invarianceLes op ´erations´el´ementaires conservent le rang de la matrice.La suppression d"une colonne nulle ou d"une ligne nulle pr

´eserve le rang.

Calcul pratique du rang d"une matrice : pivot de Gauss

Calcul pratique du rang d"une matrice : exercice

Exercice

D

´eterminer le rang de la matriceAci-dessous :

A=0 B

BBB@0 0 1 3

1 01 2

0 0 1 2

2 44 1

1 0 3 01

C CCCA

Calcul pratique du rang d"une matrice : exercice

rg(A) =4

Calcul pratique du rang d"une matrice : exercice

rg(A) =4

Calcul pratique du rang d"une matrice : exercice

rg(A) =4

Rang et inversibilit

´eProposition

SoitA2Mn;p(K). A est inversible`a gauche (resp.`a droite) ssi rangA=p(resp.rangA=n).Corollaire

Toute matrice inversible est carr

´ee, et pour une matrice carr´ee

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