[PDF] Exercices de mathématiques - Exo7

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Exo7

Les complexes

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

Exercice 1**ITCalculer de deux façons les racines carrées de 1+iet en déduire les valeurs exactes de cosp8

et sinp8

1.z2+z+1=0

2.

2 z2+2z+1=0

3.z22zcosq+1=0,qréel donné.

4.z2(6+i)z+(11+13i) =0

5.

2 z2(7+3i)z+(2+4i) =0.

solutions sontaetbet en déduire les valeurs exactes de cos2p5 , sin2p5 , cos4p5 , sin4p5 , cosp5 et sinp5 2.

Le cercle de centre Wd"affixe12

passant par le pointMd"affixeirecoupe(Ox)en deux pointsIetJ.

Montrer queOI+OJ=OI:OJ=1 et en déduire une construction à la règle et au compas, du pentagone

régulier inscrit dans le cercle de centreOet de rayon 1 dont un des sommets est le point d"affixe 1.

3. La diagonale [AC]d"un pentagone régulier(ABCDE)est recoupée par deux autres diagonales en deux pointsFetG. Calculer les rapportsAFAC etFGAF ;p2 donné. Résoudre dansCl"équation1+iz1iz

3=1+itana1itana.

SoitIle centre du cercle inscrit au triangle(ABC). Montrer queI=barfA(a);B(b);C(c)g. 1

2.Déterminer zcomplexe tel queOsoit le centre du cercle inscrit au triangle(PQR)dont les sommets ont

pour affixes respectivesz,z2etz3. ABCéquilatéral,jouj2est racine de l"équationaz2+bz+c=0 ,a2+b2+c2=ab+ac+bc,1bc+1ca+1ab=0: etz1 aient même module.

8z2C;(z2Unf1g , 9x2R=z=1+ix1ix):

1+cosqisinq1cosq+isinqet de1+eiq1eiq.

2

1.jZj=1.

2.jZj=2.

3.Z2R.

4.Z2iR.

1.z0=z+3i

2.z0=2z+3

3.z0=iz+1

4.z0= (1i)z+2+i

1. Montrer que les solutions de (E)sont imaginaires pures. 2. Montrer que les solutions de (E)sont deux à deux opposées. 3.

Résoudre (E).

(ez+ez), shz=12 (ezez)et thz=shzchz. 1. Quels sont les nombres comple xeszpour lesquels thzexiste ? 2.

Résoudre dans Cl"équation thz=0.

3.

Résoudre dans Cle systèmejImzj jthzj<1. 4. Montrer que la fonction th réalise une bijection de D=fz2C=jImzjCorrection del"exer cice1 ND"abord on a 1+i=p2eip=4. Les racines carrées de 1+idansCsont donc4p2eip=8et4p2eip=8. On a aussi,

pour(x;y)2R2, (x+iy)2=1+i,8 :x 2y2=1 x

2+y2=p2

xy>0,8 :x 2=12 (p2+1) y 2=12 (p21) xy>0,(x;y)28 0 @sp2+12 ;sp212 1 A9=

Les racines carrées de 1+isont donc aussi

qp2+12 +iqp212 . Puisque Re(eip=8)=cosp8 >0, on obtient 4 p2eip=8=qp2+12 +iqp212 , ou encore e ip=8=sp2+12 p2 +isp212 p2 =12 q2+p2+iq2p2 et donc, par identification des parties réelles et imaginaires, cos p8 =12 p2+p2 et sin p8 =12 p2p2:Correction del"exer cice2 N1.z2+z+1=0,z=12 +ip3 2 =jouz=12 ip3 2 =j2.

2.D0=122=1=i2. L"équationadoncdeuxsolutionsnonréellesetconjuguées, àsavoirz1=12

(1+i) etz2=12 (1i). 3.

Soit q2R. Pour tout complexez, on a

z

22zcosq+1= (zcosq)2+1cos2q= (zcosq)2+sin2q= (zcosq)2(isinq)2

= (zcosqisinq)(zcosq+isinq) = (zeiq)(zeiq)

L"équation proposée a donc deux solutions (pas nécessairement distinctes)z1=eiqetz2=eiq. De plus,

D

0=cos2q1=sin2qet ces solutions sont distinctes si et seulement siq=2pZ.

4. Soit (E)l"équationz2(6+i)z+(11+3i) =0. Son discriminant estD= (6+i)24(11+13i) =

940i. Comme 40=220=2(45)et que 4252=1625=9, on est en droit de deviner

queD= (45i)2. L"équation(E)a deux solutions distinctes dansCà savoirz1=6+i+45i2 =52iet z

2=6+i4+5i2

=1+3i. 5. Soit (E)l"équation2z2(7+3i)z+(2+4i)=0. SondiscriminantestD=(7+3i)28(2+4i)=24+10i. Comme 10=25=2(51)et que 5212=24, on est en droit de deviner queD= (5+i)2. L"équation proposée a deux solutions distinctes dansCà savoirz1=7+3i+5+i4 =3+ietz2=7+3i5i4 12 (1+i).Correction del"exer cice3 N1.On a a=2cos2p5 etb=2cos4p5 . 1,z,z2,z3etz4sont les cinq racines cinquièmes de 1 dansC. Par suite, 1+z+z2+z3+z4=0. Mais alors a+b=z+z2+z3+z4=1 4 et ab= (z+z4)(z2+z3) =z3+z4+z6+z7=z+z2+z3+z4=1(carz5=1): aetbsont donc les solutions de l"équationX2+X1=0 dont les racines sont1+p5 2 et1p5 2

Enfin, puisque

2p5 20;p2 , on aa>0. Par suite, cos2p5 =1+p5 4 et cos4p5 =1p5 4 . D"autre part, sin2p5 >0 et donc, sin 2p5 = +r1cos2(2p5 ) =v uut1 1+p5 4 2 =14 q10+2p5: cos 2p5 =p514 et sin2p5 =14 p10+2p5.

De même, en remplaçant

p5 parp5, cos 4p5 =1p5 4 et sin4p5 =14 p102p5. Enfin, cos p5 cospp5 =cos4p5 =1+p5 4 et sinp5 =sinpp5 =sin4p5 =14 p102p5. 2. Le rayon du grand cercle v aut,d"après le théorème de P YTHAGORE:

R=pWO2+OM2=p5

2

DoncxI=xW+R=1+p5

2 etxJ=xWR=1p5 2 . Par suite,xI=2cos2p5 etxJ=2cos4p5 . Ceci montre que les médiatrices des segments[O;I]et[O;J]coupent le cercle de centreOet de rayon 1 en quatre des cinq sommets du pentagone.OM

IJ3.Posons x=AFAC

. D"après le théorème de THALES(je vous laisse vérifier les parallélismes), x=AFAC =HKHC =FGFC =AC2AFACAF=12x1x:

Doncx23x+1=0 et puisquex<1,x=3p5

2 . Puis AGAC =ACAFAC =1x=1+p5 2 etFGAF =AC2AFAF =1x

2=23p5

2=3+p5

2

2=1+p5

2 5 AB C D EG F K

HDéfinition dunombre d"or.

A BC On veut queCpartage le segment[A;B]de telle sorte queBCAC =ACAB (petitmoyen =moyengrand ) c"est-à-dire, en posanta=ABetx=AC,xa =axx ou encorexa 2+xa

1=0 et donc, puisquexa

>0,xa =1+p5 2 Le nombre d"or (ou proportion dorée) est le nombre 1+p5 2 =0;618:::On peut aussi prendre pour le nombre d"or le rapport ax =1+p5 2 =1;618:::Correction del"exer cice4 NSoita2p2 ;p2 .1+itana1itana=cosa+isinacosaisina=e2ia. Donc,

1+iz1iz

3 =1+itana1itana, 9k2 f1;0;1g=1+iz1iz=ei(2a3 +2kp3 )=wk, 9k2 f1;0;1g=i(wk+1)z=wk1:

Maintenant, pourk2 f1;0;1g,

w k=1,2a3 +2kp3

2p+2pZ,a2 kp+3p2

+3pZ; ce qui est exclu poura2]p2 ;p2 [. Donc,

1+iz1iz

3 =1+itana1itana, 9k2 f1;0;1g=z=wk1i(wk+1), 9k2 f1;0;1g=z=ei(a3 +kp3 )e i(a3quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50

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