Mathématiques en lycée
16 déc. 2010 c) Déterminer l'ensemble F des points M d'affixe z tel que Z soit imaginaire pur. d) Représenter les ensembles E et F dans le plan complexe ...
Nombres complexes (1ère partie)
A on associe le point M' d'affixe z'
Complexes
points A et B d'affixes respectives 1?i et 7+3i. Déterminer l'ensemble des points M du plan tels que z soit imaginaire pur (de la forme bi b ? R).
Nombres complexes-Représentation géométrique-Forme
Déterminer l'ensemble f des points M du plan tels que z' soit imaginaire pur. 1. a) Déterminer et construire l'ensemble des points M d'affixe z tels ...
TS : ARPE soutien Nombres complexes (2) Exercice 1 : Exercice 2
d'affixe z' tel que z' = z2 ? 4z. 1. a) Calculer la partie réelle et la partie imaginaire de z' en fonction de x et y b) En déduire l'ensemble des points M
AP : Séance n 5
4 déc. 2015 ii. l'ensemble F des points M d'affixe z du plan tels que Z soit un imaginaire pur. (c) Représenter ces deux ensembles.
CUPGE Aix-Marseille Université
Déterminer l'ensemble des points M d'affixe z tels que : a) Z soit réel. b) Z soit imaginaire pur. c) Z ait un module égal `a 1. 2. Soit pour tout z ? C
NOMBRES COMPLEXES
si a = 0 on a z = ib
1 PROBLEME RESOLU :NOMBRES COMPLEXES ET LIEUX
On note A et B les points d'affixes respectives ? + et ? . de z'. Déterminer ( ') et ... ensemble des points M tels que z ' soit imaginaire pur.
Maths-France
Le nombre 0 est à la fois réel et imaginaire pur. Déterminer et représenter l'ensemble des points M du plan d'affixe z tels que z? soit réel. Solution.
CUPGE, Aix-Marseille Universite
Premiere annee, premier semestre 2015-16
Nombres complexes, exercices1Calculs sur des nom brescomplexes Exercice 1.1Mettre sous la formea+ib(oua;b2R) les nombres : z1=3 + 6i34i; z2=1 +i2i
2 +3 + 6i34i; z3=2 + 5i1i+25i1 +iExercice 1.2Placer les points d'axe
z1=ei=3; z2= 1 +i ; z3=p2ei=4
dans un repere orthonorme du plan.Exercice 1.3Eectuer les calculs suivants.
1. (3 + 2 i)(13i). 2. Pro duitdu nom brecomplexe de mo dule2 et d'argumen t=3 par le nombre complexe de module 3 et d'argument5=6. 3. (1 3i)=(3 + 2i). 4. Quotien tdu nom brecomplexe de mo dule2 et d'argumen t=3 par le nombre complexe de module 3 et d'argument5=6.Exercice 1.4Calculer le module et l'argument de
u=p6ip2 2 ; v= 1i :En deduire le module et l'argument dew=u=v.
Exercice 1.5Demontrer les egalites suivantes
cos7 +isin7 (1 +i)1ip3 2 =p2 cos584 +isin584 (A) (1i) cos5 +isin5 (p3i) = 2p2 cos1360 isin1360 (B) p2 cos12 +isin121 +i=p3i2
(C) 1Exercice 1.6
1. D eterminerle mo duleet l'argumen tdes nom brescomplexes suiv ants. z1=eei;avec2R;ei+e2i;avec2R; 1 +ei;avec2];] ;
2.D eterminerle mo duleet l'argumen tde
1+i1i. Calculer (1+i1i)32.
3.Calculer Z= (1 +ip3)
2000.4.
Calculer (1 + ip3)
5+ (1ip3)
5et (1 +ip3)
5(1ip3)
5. Exercice 1.7Chacune des formules suivantes est fausse. Determiner l'erreur sans faire les calculs e2i=3e3i=4= 1i2
; (1 +i)(1i) = 0 ; (1 +i)(1i) = 1 ;z2+ 2z+ 2 = (z1i)(z+ 2i): Exercice 1.8Soitzun nombre complexe de module, d'argument, et soitzson conjugue.Calculer (z+z)(z2+z
2):::(zn+z
n) en fonction deet.Exercice 1.91.Soit, p ourtout z2C,
Z=z+izi:
Determiner l'ensemble des pointsMd'axeztels que : a)Zsoit reel. b)Zsoit imaginaire pur. c)Zait un module egal a 1 2.Soit, p ourtout z2C,
Z=z+ 1z2i:
Determiner l'ensemble des pointsMd'axeztels que : a)Zsoit reel. b)Zsoit imaginaire pur. c)Zait un module egal a 1. d)Zait un argument egal a=2.Exercice 1.10Soientz,z1etz2des nombres complexes. Montrer queRe(z) =jzjsi et seulement sizest un nombre reel
positif ou nul. Montrer quejz1+z2j=jz1j+jz2jsi et seulement siz1= 0 ouz2= 0 ou arg(z1) = arg(z2). Exercice 1.11Montrer que tout nombre complexez6=1, de module 1, s'ecrit z=1 +ix1ix avecxreel. Indications :poserz= cos+isinavec 0 <2, puis faire intervenirx= tan(=2). 2T rigonometrie,form uled'Euler, form ulede Moivre
Exercice 2.1Soientetdeux nombres reels. Mettre le nombre complexez=ei+eisous forme trigonometrique z=eiIndication :poseru=+2
,v=2En deduire la valeur denX
p=0 p n cos[p+ (np)]:Exercice 2.21.
Ecrire l'expression (1 + cos+isin) sous forme trigonometrique. En deduire l'expression de (1 + cos+isin)n: 22.Donner la f ormetrigonom etriquede
1 + cosisin1cos+isinet de1 +ei1ei:
Exercice 2.31.Soit 2R. A l'aide de la formule de Moivre exprimer en fonction de coset de sin: a) cos(2 ) et sin(2). b) cos(3 ) et sin(3). En deduire une equation du troisieme degre admettant pour solution cos(3 ) et la resoudre. 2. Lin eariserles p olynomestrigonom etriquessuiv ants: 1 + cos2x, cos3x+ 2sin2x.
Exercice 2.41.Exprimer cos(7 x) et sin(7x) en fonction de cos(x) et sin(x). M^eme question pour cos(9x) et sin(9x).
2.Lin earisersin
6(x) et sin8(x)
3.Calculer
7X k=1cosk7 Exercice 2.5Resoudre dansRles equations suivantes : 1. cos2(x)sin2(x) = sin(3x).
2. cos4(x)sin4(x) = 1.
Exercice 2.6Soitn2N. Determiner la forme polaire de (1+i)n. Pour quelles valeurs den, (1+i)nest-il un nombre reel?
3Racines, equationsdu second degr e
Exercice 3.11.Calculer les racines carr eesd e1, iet 2p2(1 +i). 2.Calculer les racines carr eesd e8 6iet 7 + 24i.
3. Soit z=a+ib, aveca,breels tels quez2= (1+i)=p2. Montrer quea2+b2= 1, puis quea2b2= 1=p2 etab=p2=4.En deduire les valeurs de cos(=8) et sin(=8).
Exercice 3.2Montrer que les solutions deaz2+bz+c= 0 aveca;betcreels, sont reelles ou conjuguees. Exercice 3.3Resoudre dansCles equations suivantes :1.z23zi= 0.
2.z2+z+ 1 = 0.
3.ix2+ 2x+ (1i) = 0.
4.z2(1 + 2i)z+i1 = 0.
5.z2(514i)z2(5i+ 12) = 0.
6.z2(3 + 4i)z1 + 5i= 0.
7.4 z22z+ 1 = 0.
8.z4+ 10z2+ 169 = 0.
9.z4+ 2z2+ 4 = 0.
10.z3+ 3z2i= 0.
3 Exercice 3.4Trouver les racines cubiques de 22iet de 11 + 2i.Exercice 3.51.R esoudrez3= 1 et montrer que les racines s'ecrivent 1,jetj2. Calculer 1 +j+j2et en deduire les
racines de l'equation 1 +z+z2= 0. 2. R esoudrezn= 1 et montrer que les racines s'ecrivent sous la forme 1;;2;:::n1pour un certain2C. En deduire les racines de 1 +z+z2++zn1= 0. Calculer, pourp2N, 1 +p+2p++(n1)p.Exercice 3.61.R esoudredans Cl'equationz3= (1 +i)=4 et montrer qu'une seule de ses solutions a une puissance
quatrieme reelle. 2.Calculer
Z=1+ip3
2p2(1+i)2
algebriquement puis trigonometriquement. En deduire cos(=12), sin(=12), tan(=12) et tan(5=12).Resoudre dansCl'equationz24= 1.
Exercice 3.7Soit le polyn^omeP(z) =iz2+ (4i3)z+i5. 1. Donner la somme des racines de Psans les calculer. 2.D eterminerles racines de P.
4Bin^ omede N ewton
Exercice 4.11.Quel est le co ecientd ex6dans le developpement de (x+ 2)8puis de (x25)7? 2. Quel est le co ecientd ex3y7dans le developpement de (xy)10? 3. Quel est le co ecientd ex6y7dans le developpement de (2xy)13?Exercice 4.21.Eectuer le d eveloppementde (1 +x)4par la formule du bin^ome de Newton (on conservera les coecients
binomiaux sans chercher a les simplier). 2. Quel est le co ecientde x4dans le developpement de (1+x)4(1+x)4(on ne simpliera pas la somme de produits que l'on obtient)? 3. Quel est le co ecientd ex4dans le developpement de (1 +x)8? 4. En tenan tcompte de la sym etriedes co ecientsbinomiaux, d emontrerque 4 0 2 +4 1 2 +4 2 2 +4 3 2 +4 4 2 =8 45.Generalisation :En remarquant que (1 +x)n(1 +x)n= (1 +x)2n, montrer que l'on a
n X p=0 n p 2 =2n n 6.On v eutcalculer
S=nX k=0kn k 2Montrer que
S=nX k=0(nk)n k 2En deduire 2S, puisS.
4Exercice 4.3
En utilisant la formule (1 +x)n=Pn
k=0 n kxk, calculer les sommes suivantes S 1=nX k=0kn k x k; S2=nX k=0k 2n k xquotesdbs_dbs50.pdfusesText_50[PDF] determiner l'ensemble des points m du plan
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