[PDF] Calcul avec les nombres complexes/Module et argument

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Calcul avec les nombres complexes/Module et argument  WIKIPEDIA

1) Module d"un nombre complexe

Définition

Le module d"un nombre complexe est la distance qui sépare l"origine du repère complexe au point M d"affixe

z.

De plus, pour , on a :

Distance entre deux points

Théorème

La distance entre A et B, respectivement d"affixes zA et zB, est donnée par : Exemples d"utilisation du module : Distance de deux points Calculer la distance où et sont les affixes des deux points.

La distance AB est donc

2)] Argument d"un nombre complexe non nul

Définition

Soit un nombre complexe non nul.

· Une mesure en radians de l"angle est appelé argument de z.

· On le note souvent arg(z).

· L"argument est défini à 2π près.

· On appelle argument principal celui qui est compris dans ] - π;π].

Exemple

Soit z = 32 + 12 i . Trouver 3 arguments de z, donner l"argument principal.

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3) Écriture trigonométrique

Cosinus et sinus

Soit un nombre complexe non nul, son module | z | , d"argument principal θ, et M le point d"affixe

z. On considère le triangle dans le plan complexe, formé par l"origine, M et son projeté orthogonale sur l"axe des

réels. Les calculs respectivement du cosinus et du sinus d"une mesure de l"angle orienté donnent les deux propriétés suivantes :

Propriétés

: le cosinus de l"angle est le quotient de la partie réelle et du module. : le sinus de l"angle est le quotient de la partie imaginaire et du module.

Forme trigonométrique

On sait que : et .

Et on a alors : z = x + iy = | z | cos(

θ) + i | z | sin(θ) = | z | (cos(θ) + isin(θ)).

Définition

On appelle la forme trigonométrique d"un nombre complexe z, l"écriture : de

ce nombre pour n"importe quelle mesure de l"angle θ. Dans cette écriture on retrouve directement le module et

un argument (la plupart du temps l"argument principal).

Remarque importante : la forme trigonométrique d"un complexe est liée à ses coordonnées polaires [r,θ],

tandis que la forme algébrique est liée à ses coordonnées cartésiennes (x,y). Remarque : on note souvent r pour le module de z, la forme trigonométrique se note donc aussi

Changer d"écriture

Soit z un nombre complexe non nul, sous la forme z = x + iy, de module | z | et d"argument principal θ.

Les propriétés énoncées lors des calculs du cosinus et du sinus permettent de passer d"une écriture à une autre :

Passer d"une écriture trigonométrique à une écriture algébrique et vice-versa

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avec .

Exemple

La forme trigonométrique de est :

Il s"agit donc de trouver un facteur commun à x et y, ici , puis d"identifier un angle connu.

Égalité de deux nombres complexes

Égalité de deux nombres complexes

Soit z et z" deux nombres complexes non nuls.

4) Propriétés du module

Propriété

Les propriétés du module sont les mêmes que celles des normes vectorielles.

· Opérations sur les modules :

o o o (plus connue sous le nom d"inégalité triangulaire)

· Module de l"opposé, du conjugué :

o o

5) Propriétés algébriques de l"argument

Produit

Produit de deux nombres complexes

L"argument du produit de deux nombres complexes est la somme de leurs arguments : arg(zz") = arg(z) +

arg(z")[2π].

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Opposé d"un nombre complexe

L"argument de l"opposé d"un nombre complexe est : arg( - z) = π + arg(z)[2π].

Inverse et division

Inverse d"un nombre complexe

L"argument de l"inverse d"un nombre complexe non nul est l"opposé de son argument :

Division de deux nombres complexes

D"après les règles de la multiplication et de l"inverse, on a, avec deux nombres complexes z et z" :

pour .

Puissance

Puissance d"un nombre complexe

Par extension à la multiplication et à l"inverse, on a l"argument d"un nombre complexe puissance n,

qui est n fois son argument : avec .

Conjugués

Conjugué d"un nombre complexe

L"argument du conjugué d"un nombre complexe est l"opposé de son l"argument : .

Cela s"explique par le fait que le conjugué d"un nombre complexe est le symétrique par rapport à l"axe des réels

du nombre complexe en question.

6) Calcul de l"argument

Calcul avec le cosinus et le sinus

Connaissant la partie réelle et imaginaire d"un nombre complexe, on peut calculer son et son . Produit d"un nombre complexe et de son conjugué L"argument du produit d"un nombre complexe et de son conjugué est :

C"est une explication géométrique de pourquoi le produit d"un nombre complexe et de son conjugué est

un réel positif.

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Propriétés

Soit z = x + iy un nombre complexe non nul et θ l"argument principal que l"on cherche à connaître.

Il faut ensuite en déduire un angle

θ en " reconnaissant » les valeurs usuelles de cosinus et sinus.

Exemple

Si alors .

Donc :

et

On reconnait alors : .

Calcul avec la tangente

Propriété

Soit .

On a si et seulement si z n"est pas un imaginaire pur, c"est-à-dire :

Ce qui implique que :

L"argument est alors déterminé à

π près, il faut décider entre θ et θ + π en utilisant le signe de a (généralement,

on cherche la mesure principale, c"est celle qui est dans [-

Propriété

Si on ne reconnaît aucun angle particulier, on peut utiliser les fonctions trigonométriques réciproques :

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· si alors θ est dans

· si alors si alors et si alors

· si alors θ est dans

Remarque : Une rapide représentation des complexes 1, - 1, i et - i sur le cercle trigonométrique permet de

synthétiser les règles précédentes. Remarque : Les calculatrices renvoient généralement l"angle dans mais ce résultat doit être révisé suivant la règle ci-dessus. Notons qu"en électricité, l"argument est : · Inferieur ou égale à π / 2 pour les montages du premier ordre (RC ou RL). · Inferieur ou égale à π pour les montages du second ordre (RLC). · Inferieur ou égale à 3π / 2 pour les montages du troisième ordre.

· Inferieur ou égale à 2π pour les montages du quatrième ordre. Il faut donc impérativement tenir compte

des modifications des remarques précédentes, en particulier pour l"étude de la stabilité des systèmes

bouclés (se référer aux cours d"automatique).

Remarque: En électronique la phase est fonction de la fréquence du signal qui parcours le système.

7) Argument d"une différence

Propriété

· Si A et B sont deux points distincts d"affixes respectives a et b. alors

· Si A, B, C et D sont quatre points deux à deux distincts d"affixes respectives a, b, c et d :

alors :quotesdbs_dbs41.pdfusesText_41

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