[PDF] Nombres complexes - Ensemble de points

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Nombres complexes - Ensemble de points

SoitEun ensemble donné.

Objectif : montrer qu"un ensemble de points M vérifiant une condition est l"ensembleE.

Méthode 1 :On procède par équivalences :

Mvérifie la condition

??M? EMéthode 2 :On fait la preuve en deux étapes :

1. SoitMvérifiant la condition, on montre queM? E

2. SoitM? E, on montre queMvérifie la condition.

Exercice 1

On noteCl"ensemble des nombres complexes.

On considère la fonctionfqui à tout nombre complexezassocie f(z) =z2+ 2z+ 9.

1.Soit (F) l"ensemble des points du plan complexe dont l"affixezvérifie

|f(z)-8|= 3. Prouver que (F) est le cercle de centreΩ(-1 ; 0)et de rayon⎷ 3.

2.Soitzun nombre complexe, tel quez=x+iyoùxetysont des nombres réels.

a.Montrer que la forme algébrique def(z)estx2-y2+ 2x+ 9 +i(2xy+ 2y)

b.On note (E) l"ensemble des points du plan complexe dont l"affixezest telle quef(z)soit un nombre réel.

Montrer que (E) est la réunion de deux droitesD1etD2dont on précisera les équations.

Exercice 2

Le plan complexe est muni d"un repère orthonormal direct(O,-→u ,-→v).

On considère l"applicationfqui à tout pointMd"affixeznon nulle associe le pointM?=f(M)d"affixez?tel que :

z ?=z |z|(2- |z|).

On noteC1le cercle de centreOet de rayon 1.

1.Déterminer l"ensembleEdes pointsMdu plan privé du pointOdont l"image parfestO.

2.Montrer que le cercleC1est l"ensemble des pointsMdu plan distincts de O tels quef(M) =M.

Correction pages suivantes

Nathalie Arnaud - Lycée Théophile Gautier - Tarbes

Exercice 1

On noteCl"ensemble des nombres complexes.

On considère la fonctionfqui à tout nombre complexezassocie f(z) =z2+ 2z+ 9.

1.Soit (F) l"ensemble des points du plan complexe dont l"affixezvérifie

|f(z)-8|= 3. Prouver que (F) est le cercle de centreΩ(-1 ; 0)et de rayon⎷ 3.

On a :|f(z)-8|= 3????z2+ 2z+ 9-8??= 3

On a :|f(z)-8|= 3????z2+ 2z+ 1??= 3

On a :|f(z)-8|= 3????(z+ 1)2??= 3

On a :|f(z)-8|= 3?? |z+ 1|2= 3car le module d"un carré est égal au carré du module.

On a :|f(z)-8|= 3?? |z+ 1|=⎷3

On a :|f(z)-8|= 3?? |zM-zΩ|=⎷3

On a :|f(z)-8|= 3??ΩM=⎷3

Conclusion : l"ensemble F des points du plan complexe dont l"affixezvérifie|f(z)-8|= 3est l"ensemble des pointsM

tels queΩM=⎷

3c"est donc le cercle de centreΩde rayon⎷3

2.Soitzun nombre complexe, tel quez=x+iyoùxetysont des nombres réels.

a.Montrer que la forme algébrique def(z)estx2-y2+ 2x+ 9 +i(2xy+ 2y)

On a :

f(z) =z2+ 2z+ 9 f(z) = (x+iy)2+ 2(x+iy) + 9 f(z) =x2+ 2ixy-y2+ 2x+ 2iy+ 9 f(z) =x2-y2+ 2x+ 9 +i(2xy+ 2y)

b.On note (E) l"ensemble des points du plan complexe dont l"affixezest telle quef(z)soit un nombre réel.

Montrer que (E) est la réunion de deux droitesD1etD2dont on précisera les équations. f(z)réel??2xy+ 2y= 0 f(z)réel??2y(x+ 1) = 0 f(z)réel??y= 0oux=-1

Donc l"ensemble des points tels quef(z)est réel est l"ensemble des points de coordonnées (x;y) tels quey= 0

oux=-1, c"est donc la réunion des droitesD1d"équationy= 0(l"axe des abscisses) etD2d"équationx=-1.

Nathalie Arnaud - Lycée Théophile Gautier - Tarbes

Exercice 2

Le plan complexe est muni d"un repère orthonormal direct(O,-→u ,-→v).

On considère l"applicationfqui à tout pointMd"affixeznon nulle associe le pointM?=f(M)d"affixez?tel que :

z ?=z |z|(2- |z|).

On noteC1le cercle de centreOet de rayon 1.

1.Déterminer l"ensembleEdes pointsMdu plan privé du pointOdont l"image parfestO.

On a :f(M) = 0??z?= 0

On a :f(M) = 0??z|z|(2- |z|) = 0

On a :f(M) = 0??z|z|= 0ou(2- |z|) = 0

Orz?= 0donc

f(M) = 0??(2- |z|) = 0 f(M) = 0?? |z|= 2 f(M) = 0??OM= 2

Conclusion : l"ensembleEdes pointsMqui ont pour image parfestOest l"ensemble des pointsMtels queOM= 2

c"est donc le cercle de centreOde rayon 2

2.Montrer que le cercleC1est l"ensemble des pointsMdu plan distincts de O tels quef(M) =M.

Avec la méthode 2 :

Étape 1 :soitMappartenant àC1, on aOM= 1donc|z|= 1.

On en déduit quez?=z

|z|(2- |z|) =z1(2-1) =z On a donc montré quez?=zc"est-à-diref(M) =M. Étape 2 :SoitMtel quef(M) =Mc"est-à-direz?=z.

On a donc

z |z|(2- |z|) =z doncz(2- |z|) =z|z| donc2z-z|z|=z|z| donc2z-2z|z|= 0 donc2z(1- |z|) = 0 orz?= 0donc1- |z|= 0 et donc|z|= 1 c"est-à-direOM= 1et doncMappartient au cercle de centreOet de rayon 1. Remarque : on peut appliquer la méthode 1 en partant def(M) =Mpour arriver àOM= 1 Nathalie Arnaud - Lycée Théophile Gautier - Tarbesquotesdbs_dbs50.pdfusesText_50

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