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CUPGE, Aix-Marseille Universite

Premiere annee, premier semestre 2015-16

Nombres complexes, exercices1Calculs sur des nom brescomplexes Exercice 1.1Mettre sous la formea+ib(oua;b2R) les nombres : z

1=3 + 6i34i; z2=1 +i2i

2 +3 + 6i34i; z3=2 + 5i1i+25i1 +i

Exercice 1.2Placer les points d'axe

z

1=ei=3; z2= 1 +i ; z3=p2ei=4

dans un repere orthonorme du plan.

Exercice 1.3Eectuer les calculs suivants.

1. (3 + 2 i)(13i). 2. Pro duitdu nom brecomplexe de mo dule2 et d'argumen t=3 par le nombre complexe de module 3 et d'argument5=6. 3. (1 3i)=(3 + 2i). 4. Quotien tdu nom brecomplexe de mo dule2 et d'argumen t=3 par le nombre complexe de module 3 et d'argument5=6.

Exercice 1.4Calculer le module et l'argument de

u=p6ip2 2 ; v= 1i :

En deduire le module et l'argument dew=u=v.

Exercice 1.5Demontrer les egalites suivantes

cos7 +isin7 (1 +i)1ip3 2 =p2 cos584 +isin584 (A) (1i) cos5 +isin5 (p3i) = 2p2 cos1360 isin1360 (B) p2 cos12 +isin12

1 +i=p3i2

(C) 1

Exercice 1.6

1. D eterminerle mo duleet l'argumen tdes nom brescomplexes suiv ants. z

1=eei;avec2R;ei+e2i;avec2R; 1 +ei;avec2];] ;

2.

D eterminerle mo duleet l'argumen tde

1+i1i. Calculer (1+i1i)32.

3.

Calculer Z= (1 +ip3)

2000.
4.

Calculer (1 + ip3)

5+ (1ip3)

5et (1 +ip3)

5(1ip3)

5. Exercice 1.7Chacune des formules suivantes est fausse. Determiner l'erreur sans faire les calculs e

2i=3e3i=4= 1i2

; (1 +i)(1i) = 0 ; (1 +i)(1i) = 1 ;z2+ 2z+ 2 = (z1i)(z+ 2i): Exercice 1.8Soitzun nombre complexe de module, d'argument, et soitzson conjugue.

Calculer (z+z)(z2+z

2):::(zn+z

n) en fonction deet.

Exercice 1.91.Soit, p ourtout z2C,

Z=z+izi:

Determiner l'ensemble des pointsMd'axeztels que : a)Zsoit reel. b)Zsoit imaginaire pur. c)Zait un module egal a 1 2.

Soit, p ourtout z2C,

Z=z+ 1z2i:

Determiner l'ensemble des pointsMd'axeztels que : a)Zsoit reel. b)Zsoit imaginaire pur. c)Zait un module egal a 1. d)Zait un argument egal a=2.

Exercice 1.10Soientz,z1etz2des nombres complexes. Montrer queRe(z) =jzjsi et seulement sizest un nombre reel

positif ou nul. Montrer quejz1+z2j=jz1j+jz2jsi et seulement siz1= 0 ouz2= 0 ou arg(z1) = arg(z2). Exercice 1.11Montrer que tout nombre complexez6=1, de module 1, s'ecrit z=1 +ix1ix avecxreel. Indications :poserz= cos+isinavec 0 <2, puis faire intervenirx= tan(=2). 2

T rigonometrie,form uled'Euler, form ulede Moivre

Exercice 2.1Soientetdeux nombres reels. Mettre le nombre complexez=ei+eisous forme trigonometrique z=ei

Indication :poseru=+2

,v=2

En deduire la valeur denX

p=0 p n cos[p+ (np)]:

Exercice 2.21.

Ecrire l'expression (1 + cos+isin) sous forme trigonometrique. En deduire l'expression de (1 + cos+isin)n: 2

2.Donner la f ormetrigonom etriquede

1 + cosisin1cos+isinet de1 +ei1ei:

Exercice 2.31.Soit 2R. A l'aide de la formule de Moivre exprimer en fonction de coset de sin: a) cos(2 ) et sin(2). b) cos(3 ) et sin(3). En deduire une equation du troisieme degre admettant pour solution cos(3 ) et la resoudre. 2. Lin eariserles p olynomestrigonom etriquessuiv ants: 1 + cos

2x, cos3x+ 2sin2x.

Exercice 2.41.Exprimer cos(7 x) et sin(7x) en fonction de cos(x) et sin(x). M^eme question pour cos(9x) et sin(9x).

2.

Lin earisersin

6(x) et sin8(x)

3.

Calculer

7X k=1cosk7 Exercice 2.5Resoudre dansRles equations suivantes : 1. cos

2(x)sin2(x) = sin(3x).

2. cos

4(x)sin4(x) = 1.

Exercice 2.6Soitn2N. Determiner la forme polaire de (1+i)n. Pour quelles valeurs den, (1+i)nest-il un nombre reel?

3

Racines, equationsdu second degr e

Exercice 3.11.Calculer les racines carr eesd e1, iet 2p2(1 +i). 2.

Calculer les racines carr eesd e8 6iet 7 + 24i.

3. Soit z=a+ib, aveca,breels tels quez2= (1+i)=p2. Montrer quea2+b2= 1, puis quea2b2= 1=p2 etab=p2=4.

En deduire les valeurs de cos(=8) et sin(=8).

Exercice 3.2Montrer que les solutions deaz2+bz+c= 0 aveca;betcreels, sont reelles ou conjuguees. Exercice 3.3Resoudre dansCles equations suivantes :

1.z23zi= 0.

2.z2+z+ 1 = 0.

3.ix2+ 2x+ (1i) = 0.

4.z2(1 + 2i)z+i1 = 0.

5.z2(514i)z2(5i+ 12) = 0.

6.z2(3 + 4i)z1 + 5i= 0.

7.

4 z22z+ 1 = 0.

8.z4+ 10z2+ 169 = 0.

9.z4+ 2z2+ 4 = 0.

10.z3+ 3z2i= 0.

3 Exercice 3.4Trouver les racines cubiques de 22iet de 11 + 2i.

Exercice 3.51.R esoudrez3= 1 et montrer que les racines s'ecrivent 1,jetj2. Calculer 1 +j+j2et en deduire les

racines de l'equation 1 +z+z2= 0. 2. R esoudrezn= 1 et montrer que les racines s'ecrivent sous la forme 1;;2;:::n1pour un certain2C. En deduire les racines de 1 +z+z2++zn1= 0. Calculer, pourp2N, 1 +p+2p++(n1)p.

Exercice 3.61.R esoudredans Cl'equationz3= (1 +i)=4 et montrer qu'une seule de ses solutions a une puissance

quatrieme reelle. 2.

Calculer

Z=1+ip3

2p2(1+i)2

algebriquement puis trigonometriquement. En deduire cos(=12), sin(=12), tan(=12) et tan(5=12).

Resoudre dansCl'equationz24= 1.

Exercice 3.7Soit le polyn^omeP(z) =iz2+ (4i3)z+i5. 1. Donner la somme des racines de Psans les calculer. 2.

D eterminerles racines de P.

4

Bin^ omede N ewton

Exercice 4.11.Quel est le co ecientd ex6dans le developpement de (x+ 2)8puis de (x25)7? 2. Quel est le co ecientd ex3y7dans le developpement de (xy)10? 3. Quel est le co ecientd ex6y7dans le developpement de (2xy)13?

Exercice 4.21.Eectuer le d eveloppementde (1 +x)4par la formule du bin^ome de Newton (on conservera les coecients

binomiaux sans chercher a les simplier). 2. Quel est le co ecientde x4dans le developpement de (1+x)4(1+x)4(on ne simpliera pas la somme de produits que l'on obtient)? 3. Quel est le co ecientd ex4dans le developpement de (1 +x)8? 4. En tenan tcompte de la sym etriedes co ecientsbinomiaux, d emontrerque 4 0 2 +4 1 2 +4 2 2 +4 3 2 +4 4 2 =8 4

5.Generalisation :En remarquant que (1 +x)n(1 +x)n= (1 +x)2n, montrer que l'on a

n X p=0 n p 2 =2n n 6.

On v eutcalculer

S=nX k=0kn k 2

Montrer que

S=nX k=0(nk)n k 2

En deduire 2S, puisS.

4

Exercice 4.3

En utilisant la formule (1 +x)n=Pn

k=0 n kxk, calculer les sommes suivantes S 1=nX k=0kn k x k; S2=nX k=0k 2n k x k; S3=nX k=0k 3n k x k: Exercice 4.4Demontrer que pour tout 0kpnon a l'egalite n k nk pk =p k n p

En deduire que

pX k=0 n k nk pk = 2 pn p Exercice 4.5Calculer le module et l'argument de (1 +i)n. En deduire les sommes S 1= 1n 2 +n 4 n 6 +::: ; S2=n 1 n 3 +n 5

Exercice 4.6Demontrer les formules suivantes :

1.n p=n np, pour 0pn. On pourra utiliser le fait que l'applicationA2 P(E)!Ac2 P(E) est une bijection. 2.n p=n1 p+n1 p1, pour 0pn1n. 3. n p=n2 p+ 2n2 p1+n2 p2, pour 0pn2n.

Exercice 4.7Soitn2Net soitpun entier tel que 0pn.

1.

Mon trerque

(1 +x)n+11x = 1 + (1 +x) + (1 +x)2++ (1 +x)n: 2.

En d eduireque

nX k=p k p =n+ 1 p+ 1 3.

Ecrire ces egalitesp ourp= 2 etp= 3.

4.

En d eduireles sommes

S 1=n1X k=1k(k+ 1); S2=nX k=1k

2; S3=n1X

k=1k

2(k+ 1); S4=nX

k=1k 3:

Exercice 4.81.Calculer

nX k=0 n k cos(kx) etnX k=0 n k sin(kx) 2.

En d eduire

nX k=0kn k sin(kx) etnX k=0 n k cos 2(kx) 5

5G eometriedans le plan complexe

Exercice 5.11.D eterminerl'ensem bledes p ointsMdu plan dont l'axezverie la condition :jz4j=jz+ 2ij. 2. D eterminerpar l ecalcul et g eometriquementles nom brescomplexes ztels quejz3j=jz5j= 1. Generaliser ajzaj=jzbj= 1. 3. D eterminerl'ensem bledes nom brescomplexes non n ulstels qu ez, 1=z, etz1 aient le m^eme module. 4. D eterminerl'ensem bledes p ointsMdu plan dont l'axezverie la conditionz+ 4=z2R. 5. D eterminerpar le calcul et g eometriquementles nom brescom plexesztels quejz3j=jz5j=p2=2. Generaliser ajzaj=jzbj=koukest un reel positif dierent de 1.

Exercice 5.2SoientA,B,CetDquatre points d'axes respectiveszA,zB,zCetzD. Montrer que sizA6=zBetzC6=zD:

!AB;!CD) = argzDzCz BzA Exercice 5.3SoientAetBdeux points d'axes respectivesaetb. On note () la mediatrice de [AB]. Montrer que le pointMd'axezest sur () si et seulement sijzaj=jzbj.

Exercice 5.4SoitTl'application du plan qui envoie le pointMd'axezsur le pointM0d'axef(z) = (1 +i)z+ 1.

On noteAle point d'axezA= 1ietA0l'image deAparT.

1.

D eterminerl'axe de A0.

2. R esoudrel' equationf(z) =z. En deduire queTa un unique point xe, noteF. 3. Mon trerque le cercle de cen treCet de rayonRest l'ensemble des points d'axes dansfc+Reit;avect2

Rg, oucest l'axe deC.

4. D eterminerl'image par Tdu cercle de centreAet de rayonp2. 5. Calculer FMet l'angle (!FM;!F0M0). En deduire la nature deT.

Exercice 5.5SoientA,BetCtrois points deux a deux distincts du plan d'axes respectifsa,betc. Montrer que le triangle

ABCest equilateral si et seulement si on a l'une des conditions suivantes :

1.a2+b2+c2=bc+ca+ab

2. ( bc)1+ (ca)1+ (ab)1= 0.

3.jouj2est racine deaz2+bz+c= 0.

Exercice 5.6Soitf:R2!R2denie par

f(x;y) = (xy+ 2;x+y3):

On identieR2etCparz=x+iy.

1. Mon trerque fdenit une similitude directe du plan complexe (qu'on precisera). 2.

Iden tierde m ^eme

g(x;y) = p2 4 xp6 4 y;p6 4 x+p2 4 y! 3. D enirg eometriquement,puis al'aide des complexe, l esapplications r=fgetr0=gf.

En deduire les valeurs de sin(=12) et cos(=12).

6

Corrections rapides

1

Calculs sur des nom brescomplexes

Correction de l'exercice 1.1|Ca lculons

z

1=3 + 6i34i=(3 + 6i)(3 + 4i)25

=(924) +i(18 + 12)25 =15 + 30i25 =3 + 6i5 Ic iil est plus simple de calculer les termes ind ependamment.T outd'ab ord

1 +i2i=(1 +i)(2 +i)5

=1 + 3i5 ;1 +i2i 2 =8 + 4i25 ;3 + 6i34i=3 + 6i5 d'ou z

2=8 + 4i25

+3 + 6i5 =23 + 24i25

Ca lculons

z

3=2 + 5i1i+25i1 +i= 2Re2 + 5i1i

= 2Re(2 + 5i)(1 +i)2 =Re(3 + 7i) =3: Correction de l'exercice 1.2On considere les points d'axe z

1=ei=3; z2= 1 +i ; z3=p2ei=4

dans un repere orthonorme du plan. On voit facilement quez2=z3, le point correspondant est represente en vert.z1est en rouge.Correction de l'exercice 1.3 1.

C alculons

(3 + 2i)(13i) =37i : 2.

P roduitdu nom brecomplexe de mo dule2 et d'argumen t=3 par le nombre complexe de module 3 et d'argument

5=6 :

2ei=3:3e5=6= 6ei(1=35=6)= 6ei=2=6i :

3.

C alculons13i3 + 2i=(13i)(3 + 2i)13

=97i13 4.

Q uotientdu nom brecomplexe de m odule2 et d'argum ent=3 par le nombre complexe de module 3 et d'argument

5=6 :

2ei=33e5=6=23

ei(1=3+5=6)=23 e7i=6

Correction de l'exercice 1.4Considerons

u=p6ip2 2 ; v= 1i : Alors juj=12 p6 + 2 = p2;jvj=p2: 7

On peut donc ecrire

u=p2 p3 2 i2 =p2e11i=6;d'ou arg(u) =116 ;etv=p2e3i=4d'ou arg(v) =34

Par consequent,

uv =jujjvj= 1;arguv = [arg(u)arg(v)][mod2] =116 34
[mod2] =1312

Correction de l'exercice 1.5(A)Ca lculons

cos7 +isin7 (1 +i)1ip3 2 =ei=7:p2ei=4:e5i=3 p2exp i17 +14 +53
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