Exercice 1. Déterminer tous les points critiques (les points où ?f (x
) est un point singulier. Conclusion : la fonction f admet 4 points critiques et seulement 4 qui sont (0 0)
Fonctions de deux variables
Exo 7. Trouver les points critiques de f := (xy) ?? x2 ? 4x + y3 ? 3y . Page 14. Courbes de niveau. Les courbes de niveau d'une fonction f de
TD4 – Extrema libres Exercice 1. Trouver les points critiques et
sition de fonctions C2 ou des polynômes. a) f(x y)=(x ? 1)2 + 2y2 On calcule le gradient : ?f(x
OPTIMISATION À UNE VARIABLE
Pour les fonctions suivantes trouver tous les points stationnaires et critiques
X. Algorithmes doptimisation
Pour trouver le type de point critique on utilise les deuxièmes dérivées évaluées dans le point d'étude. Pour le cas d'une fonction à une variable f(x)
Math2 – Chapitre 2 Dérivées Taylor
http://math.univ-lyon1.fr/~frabetti/Math2/Math2-diapo-chapitre2-handout.pdf
Fonctions de plusieurs variables
Lorsqu'on veut des informations sur le comportement d'une fonction d'une variable x ?? f(x) au voisinage d'un point x0 on peut calculer sa dérivée
LA DÉRIVÉE SECONDE
La rubrique précédente nous a permis d'analyser une fonction par sa dérivée première. Les points stationnaires critiques
www.rblld.fr
alors tout point critique de f en est un maximum global (resp. minimum global). Exemple 2.3 Déterminer les extremums globaux de la fonction f : (xy) ? R?.
Extremums locaux gradient
http://exo7.emath.fr/ficpdf/fic00065.pdf
Polytech" Paris - UPMC Agral 3, 2016 - 2017
TD4 - Extrema libres
Exercice 1.Trouver les points critiques et discuter leur nature pourf:R2→R a)f(x,y) = (x-1)2+ 2y2 b)f(x,y) = 2x3-6xy+ 3y2 c)f(x,y) =ex-y(x2-2y2) d)f(x,y) =x3y+x3-x2y e)f(x,y) = (x2+y2)e-(x2+y2) f)f(x,y) =x2-cos(y) g)f(x,y) =x3+y3-3cxy. h)f(x,y) =x2y3. Solution. Toutes les fonctionsa),···,h)sont de classeC2dansR2parce que elles sont compo- sition de fonctionsC2ou des polynômes. a)f(x,y) = (x-1)2+ 2y2On calcule le gradient : ?f(x,y) = (2x-2,4y). On cherche les points critiques comme solutions du système :¨∂xf(x,y) = 0
yf(x,y) = 0¨2x-2 = 0
4y= 0 La seule solution du système est donnée par le pointP= (1,0).On calcule la matrice hessienne :
H f(x,y) =2 00 4
La matrice hessienne est constante :
H f(1,0) =2 00 4
On calcule le déterminant et la trace de l"hessienne : detHf(1,0) = 8>0, tr(Hf(1,0)) = 6>0 Dès que les déterminant ( resp. la trace ) est le produit (resp. la somme) des deux valeurs propres deHf(1,0), on peut conclure que les valeurs propres deHf(1,0)sont strictement positives. Cela c"est equivalent à dire queHf(1,0)est semi-définie positive.Par consequence P est un point de minimum pourf.
1 b)f(x,y) = 2x3-6xy+ 3y2On calcule le gradient :
?f(x,y) = (6x2-6y,-6x+ 6y) On cherche les points critiques comme solutions du système :¨6x2-6y= 0
-6x+ 6y= 0 Les deux points critiques sontP1= (1,1)etP0= (0,0).On calcule la matrice hessienne :
H f(x,y) =12x-6 -6 6PourP0on trouve :
H f(0,0) =0-6 -6 6On calcule le déterminant :
detHf(0,0) =-36<0, Dès que les déterminant est<0les deux valeurs propres de l"hessienne sont non nulles,l"une négative et l"autre positive. Cela suffit à dire que l"hessienne n"est pas définie (ni
négative ni positive) et doncP0est un point -selle.PourP1on trouve :
H f(1,1) =12-6 -6 6On calcule le déterminant et la trace :
detHf(1,1) = 36>0, tr(Hf(1,1)) = 18>0 Dès que les déterminant et la trace sont>0les deux valeurs propres de l"hessienne sont strictement positives. DoncP1est un point de minimum pourf. c)f(x,y) =ex-y(x2-2y2)On calcule le gradient :
?f(x,y) =ex-y(x2-2y2+ 2x),ex-y(-x2+ 2y2-4y) Puisque l"exponentielle est strictement>0on cherche les points critiques comme solutions du système :¨x2-2y2+ 2x= 0 -x2+ 2y2-4y= 0 Les deux points critiques sontP1= (-4,-2)etP0= (0,0).On calcule la matrice hessienne :
H f(x,y) =ex-y(x2-2y2+ 4x+ 2)ex-y(-x2+ 2y2-2x-4y) e x-y(-x2+ 2y2-2x-4y)ex-y(x2-2y2+ 8y-4)PourP0on trouve :
H f(0,0) =2 00-4
On calcule le déterminant :
detHf(0,0) =-8<0, 2 Dès que les déterminant est<0les deux valeurs propres de l"hessienne sont non nulles,l"une négative et l"autre positive. Cela suffit à dire que l"hessienne n"est pas définie (ni
négative ni positive) et doncP0est un point -selle. PourP1on trouve : H f(-4,-2) =-6e-28e-28e-2-12e-2
On calcule le déterminant et la trace :
detHf(-4,-2) = 8e-4>0, tr(Hf(-4,-2)) =-18e-2<0 Dès que les déterminant est>0et la trace est<0les deux valeurs propres de l"hessienne sont strictement négatives. DoncP1est un point de maximum pourf. d)f(x,y) =x3y+x3-x2yOn calcule le gradient :
?f(x,y) = (3x2y+ 3x2-2xy,x3-x2) Les points critiques sont solutions du système :¨3x2y+ 3x2-2xy= 0
x3-x2= 0
Les points critiques sontP0= (0,0),Pk= (0,k),k?= 0,P1= (1,-3).On calcule la matrice hessienne :
H f(x,y) =6xy+ 6x-2y3x2-2x3x2-2x0
PourP1l"on trouve :
H f(1,-3) =-6 11 0
On calcule le déterminant :
detHf(1,-3) =-1>0, tr(Hf(-4,-2)) =-18e-2<0 Dès que les déterminant est<0les deux valeurs propres de l"hessienne sont non nulles,l"une négative et l"autre positive. Cela suffit à dire que l"hessienne n"est pas définie (ni
négative ni positive) et doncP1est un point -selle.PourP0on trouve :
H f(0,0) =0 00 0
et donc on peut rien déduire sur la nature du point critique. On regardefle long des directiony=xety=-x: g(x) =f(x,x) =x4 h(x) =f(x,-x) =-x4+ 2x3 On peut facilement vérifier que g(x) admet un minimum pourx= 0ethadmet un flex (point critique qui est ni minimum ni maximum) pourx= 0. Comme la fonction admet des comportement différentes le long des deux directions,P0ne peut pas être ni un maxi- mum ni un minimum pourf. Il est un point-selle. Le cask?= 0conduit à un calcul plus fastidieux et on le traite pas ici. 3 e)f(x,y) = (x2+y2)e-(x2+y2)On calcule le gradient :
?f(x,y) =e-x2-y22x(1-x2-y2),e-x2-y22y(1-x2-y2) Puisque l"exponentielle est strictement>0on cherche les points critiques comme solutions du système :¨2x(1-x2-y2) = 02y(1-x2-y2) = 0
Les points critiques sontP0= (0,0)et toutes points de la formePh,k= (h,k)telles que h2+k2= 1.
On calcule la matrice hessienne :
H f(x,y) =e-x2-y2((2-4x2)(1-x2-y2)-4x2)e-x2-y2(-4xy(1-x2-y2)-4xy) eOn peut vérifier que :
detHf(P0) = detHf(Ph,k) = 0, et donc on ne peut rien conclure sur la nature des points critiques à l"aide du signe de l"hessienne.Les pointP0est un point de minimum car :
f(x,y)≥0?(x,y)?R2 etf(x,y) = 0si et seulement si(x,y) = (0,0). Donc dans le voisinage du point critique P0on a :
f(x,y)≥0 =f(0,0) et cela est la définition de minimum local. On peut voir facilement que les points critiques P h,ksont des points de maximum local. La fonctionf(x,y)est une fonction à symétrie radiale. Cela veut dire que si nous écrivonsfen cordonnées polaires(r,θ)nous trouverons que elle ne depend que par le rayonr. Il existe une fonction d"une variableg:R+?→R telle que : f(rcosθ,rsinθ) =g(r) =r2e-r2.On calcule la dérivée de la fonctiong:
g?(r) = 2re-r2(1-r2). La fonctiongadmet deux points critiques :r= 0(correspondant àP0) etr= 1(corres- pondant aux pointsPh,k). Si on etude le signe deg?(r)pourr≥0on trouve quer= 0 est un minimum local pourgetr= 1est un maximum local pourg. Donc les pointsPh,k sont des points de maximum local pourf. f)f(x,y) =x2-cos(y)On calcule le gradient :
?f(x,y) =2x,siny On cherche les points critiques comme solutions du système :¨2x= 0
siny= 0 Les points critiques sont toutes points de la formePk= (0,kπ),k?Z.On calcule la matrice hessienne :
4 H f(x,y) =2 00 cosy
H f(0,kπ) =2 00 coskπ
On calcule le déterminant :
detHf(0,kπ) = 2cos(kπ) Le termecos(kπ)vaut-1sikest impair et1si k est pair. Donc sikest impair ou trouve detHf(0,kπ)<0et le pointPkest un point-selle. Sikest pair on trouvedetHf(0,kπ)>0 ettrHf(0,kπ)>0et le point critique est un point de minimum. g)f(x,y) =x3+y3-3cxyOn se pose dans le cadrec?= 0.On calcule le gradient :
?f(x,y) =3x2-3cy,3y2-3cx On cherche les points critiques comme solutions du système :¨3x2-3cy= 0
3y2-3cx= 0
Les points critiques sontP0= (0,0)etPc= (c,c).
On calcule la matrice hessienne :
H f(x,y) =6x-3c -3c6yPourP0l"on trouve :
H f(0,0) =0-3c -3c0On calcule le déterminant :
detHf(0,0) =-9c2<0, Dès que les déterminant est<0les deux valeurs propres de l"hessienne sont non nulles,l"une négative et l"autre positive. Cela suffit à dire que l"hessienne n"est pas définie (ni
négative ni positive) et doncP1est un point -selle.PourPcl"on trouve :
H f(c,c) =6c-3c -3c6cOn calcule le déterminant :
detHf(c,c) = 27c2>0 Dès que les déterminant est>0le point critique peut être ou un point de minimum ou un point de maximum. Sic >0on trouve : tr(Hf(c,c)) = 12c >0, et donc le point critique est un point de minimum. Sic <0on trouve : tr(Hf(c,c)) = 12c <0, et le point critique est un point de maximum. 5 h)f(x,y) =x2y3.On calcule le gradient :
?f(x,y) =2xy3,3x2y2 On cherche les points critiques comme solutions du système :¨2xy3= 0
3x2y2= 0
Les points critiques sont de la formePh= (0,h)etPk= (k,0).On calcule la matrice hessienne :
H f(x,y) =2y36xy26xy26x2y
On calcule le déterminant :
detHf(x,y) =-24x2y4 Toutes les points critiques annulent le déterminant , donc on ne peut pas conclure de façon générale. Plaçons nous au point critique(0,0). Pourε >0petit on a : f(ε,-ε) =-?5<0 f(ε,ε) =?5>0 ce qui permet d"affirmer que(0,0)est un point-selle. 6quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50[PDF] deua algerie 2017
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