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www.rblld.frECS2 - Lycée La Bruyère, Versailles

Année 2019/2020

Chapitre 16 :

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES :

OPTIMISATION

1 Extremums locaux sur un ouvert 2

1.1 Condition nécessaire du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2 Conditions du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.3 Casn=2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

2 Extremums globaux 4

2.1 Sur un ouvert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2.2 Sur un compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

3 Extremums sous contrainte 5

3.1 Notion d"extremum sous contrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

3.2 Cas d"une contrainte linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

3.3 Cas d"une contrainte dé?nie comme ligne de niveau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

3.4 Retour sur l"optimisation sur un compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

www.rblld.fr2 - Fonctions de plusieurs variables : optimisation ECS2 - Lycée La Bruyère, Versailles

Dans tout le chapitre,ndésigne un entier non nul,Aune partie non vide deRn,Uun ouvert non vide de R

netf:A !Rune fonction. Dans les situations théoriques oùfest dé?nie sur une partie ouverte, on

note plutôtUson domaine de dé?nition.

La théorie de l"optimisations"intéresse aux extremums des fonctions d"une ou plusieurs variables.

Définition 0.1On dit que f présente enA2 A:

(i) un maximum global(ouabsolu) si :

8X2 A;f(X)6f(A);

(ii) un maximum local(ourelatif) s"il existe r>0tel que :

8X2 A \ B(A;r);f(X)6f(A):

Remarques 0.2On dispose bien entendu des dé?nitions correspondantes de minimul global et local. La

notion d"extremum englobe celle de maximum et de minimum. Sifadmet en A2 Aun extremum global, alors elle admet en ce point un extremum local. La fonctionfprésente en A un extremum si, et seulement si, l"expressionf(X)f(A)garde un signe

constant, éventuellement au voisinage de A. C"est souvent ainsi qu"on établira l"existence d"un extre-

mum, en e?ectuant le changement de variable X=A+H lorsqu"on travaille au voisinage de A.

Lorsque les inégalités de la dé?nition sont strictes pour X6=A, on parle d"extremum stricten A.

1. Extremums locaux sur un ouvert1.1 Condition nécessaire du premier ordre

Théorème 1.1 (Condition nécessaire du premier ordre de présence d"un extremum)On suppose f:U !Rde classeC1sur un ouvertU. Si f admet un extremum local en un pointA2 U, alors?f(A) =0. La réciproque est fausse. Définition 1.2On suppose f:U !Rde classeC1sur un ouvertU. On appellepoint critiquede f tout pointA2 Utel que?f(A) =0.

Remarques 1.3Un point A2 Uest critique pourfsi, et seulement si, toutes les dérivées directionnelles

defs"annulent en A i.e. pour tout V2Rn,?Vf(A) =0. Le caractèreouvertdeUdans le théorème 1.1 est essentiel. En e?et, la fonctionf:X7! kXk2, de classeC1surRn, admet sur la boule ferméeB0(0;r)un maximum qu"elle atteint en tout point A de la sphère de centre 0 et de rayonr, alors que son gradient?f(A) =2A n"y est pas nul!

Le théorème 1.1 peut donc être énoncé ainsi : pour une fonction de classeC1sur un ouvert, les points

critiques sont les seuls extremum locauxéventuels. Les points critiques d"une fonctionfsur un ouvertUsont les points en lesquels l"hyperplan tangent au

graphe defest horizontal. En un tel point, la fonctionfadmet un extremum (local) si, et seulement si,

le graphe defreste (localement) du même côté de cet hyperplan tangent. Exemple 1.4Points critiques et extremums (locaux et globaux) def: (x;y)2R27!3xyx3y3.

1.2 Conditions du second ordre

Lemme 1.5On suppose f:U !Rde classeC2sur un ouvertU.

SiAest point critique de f , alors

f(A+H)f(A) =12 qA(H) +o(kHk2);H!0 où q Adésigne la forme quadratique associée à la matrice hessienne?2f(A). www.rblld.frAnnée 2019/2020 Fonctions de plusieurs variables : optimisation - 3

En s"appuyant sur ce résultat, on va faire le lien entre la présence d"un extremum local pourfau point

A et le signe deqA(H)lorsque H!0. Attention cependant, ce lien n"est pas aussi immédiat que pour les

fonctions d"une variable :f(A+H)f(A)n"est pas toujours du signe deqA(H)lorsque H!0.

Remarque 1.6Les développements limités entretiennent avec les équivalents (hors-programme) des liens

relâchés pour les fonctions den>2 variables. Par exemple, la fonctionf: (x;y)7!x2y2+y3présente le développement limité f(x;y) =x2y2+ok(x;y)k2;(x;y)!(0;0) mais on ne peut pas en déduire quef(x;y)x2y2lorsque(x;y)!(0;0). En e?et, on observe par exemple que f(t+t2;t) = (t+t2)2t2+t3=3t3+t43t3;t!0 n"est pas équivalent à(t+t2)2t22t3lorsquet!0. Lemme 1.7SoientS2Mn(R)une matrice symétrique de plus petite valeur proprel1(resp. de plus grande valeur propreln) et q la forme quadratique surRncanoniquement associée àS.

On a :

8X2Rn;l1kXk26q(X)6lnkXk2

avec égalité dans l"inégalité de gauche (resp. de droite) si, et seulement si,Xest nul ou vecteur propre deS

pour la valeur proprel1(resp.ln). Théorème 1.8 (Condition suffisante du second ordre de présence d"un extremum)On suppose que

f est de classeC2sur un ouvertU. SoientA2 Uun point critique de f et qAla forme quadratique associée à

la hessienne?2f(A).

Sous les conditions équivalentes suivantes :

(i) p ourtout H6=0, qA(H)<0(resp. qA(H)>0); (ii)

les valeurs pr opresde la matrice hessienne ?2f(A)sont toutes strictement négatives (resp. strictement

positives), la fonction f présente enAun maximum local strict (resp. un minimum local strict).

La réciproque est fausse.

Exemple 1.9Extremums locaux de la fonctionf: (x;y)2R27!x4+y2. Théorème 1.10 (Condition nécessaire du second ordre de présence d"un extremum)On suppose

que f est de classeC2sur un ouvertU. SoientA2 Uet qAla forme quadratique associée à la hessienne

2f(A).

Si f présente enAun maximum local (resp. un minimum local), alors les conditions équivalentes suivantes

sont satisfaites : (i) p ourtout H6=0, qA(H)60(resp. qA(H)>0); (ii)

les valeurs pr opresde la matrice hessienne ?2f(A)sont toutes négatives ou nulles (resp. positives ou

nulles).

La réciproque est fausse.

Exemple 1.11Extremums locaux de la fonctionf: (x;y)2R27!x3+y2. Corollaire 1.12 (Condition suffisante du second ordre d"absence d"extremum)On suppose que f

est de classeC2sur un ouvertU. SoientA2 Uet qAla forme quadratique associée à la hessienne?2f(A).

Sous les conditions équivalentes suivantes :

(i) il e xisteH1;H22Rntels que qA(H1)>0et qA(H2)<0; (ii)

la matrice hessienne ?2f(A)admet une valeur propre strictement positive et une autre strictement néga-

tive, la fonction f ne présente pas enAd"extremum local.

www.rblld.fr4 - Fonctions de plusieurs variables : optimisation ECS2 - Lycée La Bruyère, Versailles

Exemple 1.13Le point critique(0;0;0)est-il un extremum local pour la fonction f: (x;y;z)2R37!xy+yz+zxxyz?

1.3 Cas n=2

Dans le cas d"une fonction den=2 variables, on reformule les énoncés précédents en utilisant les nota-

tions de Monge. Ces notations et le résultat ci-dessous sont hors-programme. Théorème 1.14On suppose que f:U !Rest de classeC2sur un ouvertUdeR2. SoientA2 Uun point critique de f et

2f(A) =r s

s t la matrice hessienne de f enA. (i) Si rt s2>0, alors f admet enAun extremum local : un maximum si r<0et un minimum si r>0. (ii) Si rt s2<0, alors la fonction f n"admet pas d"extremum local enA. (iii)

Le cas rt s2=0est indéterminé.

on dit qu"on a un point selle ou que la fonction présente un col.

Exemples 1.16(i)La fonction f: (x;y)7!y2x2, représentée ci-dessous, présente un col en(0;0).zxy

(ii) Étudier les e xtremumslo cauxde la fonction f: (x;y)2R27!3xyx3y3. (iii) Les e xemples1.9 et 1.11 et montr entque le cas rts2=0 est indéterminé.

2. Extremums globaux2.1 Sur un ouvert

La méthode consiste à rechercher d"abord les extremums locaux en utilisant les techniques développées

dans le paragraphe précédent, puis à véri?er s"il s"agit d"extremums globaux. Il est des situations où des

majorations/minorations simples peuvent su?re. On peut également utiliser la formule de Taylor avec

reste intégral déclinée ci-dessous pour les fonctions à plusieurs variables (qu"il faut savoir redémontrer).

Proposition 2.1On suppose f:U !Rde classeC2sur un ouvertU.

PourA2 UetH2Rntels que[A;A+H] U, on a :

f(A+H) =f(A) +h?f(A);Hi+Z 1 0 (1t)qA+tH(H)dt où q Bdésigne la forme quadratique associée à la hessienne?2f(B)en tout pointB2 U. www.rblld.frAnnée 2019/2020 Fonctions de plusieurs variables : optimisation - 5 Corollaire 2.2On suppose f:U !Rde classeC2sur un ouvertconvexeU.

Si la forme quadratique q

Aassociée à la hessienne?2f(A)est négative (resp. positive) en tout pointA2 U, alors tout point critique de f en est un maximum global (resp. minimum global). Exemple 2.3Déterminer les extremums globaux de la fonction f: (x;y)2R+R+7!x2+y2+1x+y:

Remarque 2.4Le raisonnement présenté ci-dessus pourra parfois être employé pour montrer qu"un point

critique A est un extremum local pour la fonctionf: si la hessienne?2fest négative (resp. positive) en

tout point d"une boule centrée en A incluse dansU(mais pas dé?nie-positive au point A sans quoi le

résultat est déjà connu), alorsfprésente un maximum local (resp. minimum local) au point A.

2.2 Sur un compact

On a admis dans un précédent chapitre le résultat théorique suivant, qui donne l"existence d"extremums

globaux sous certaines hypothèses sur le domaine de dé?nition.

Théorème 2.5Toute fonction f:K !Rcontinue sur une partieKfermée, bornée et non vide deRnest

bornée et atteint ses bornes (donc admet un minimum et un maximum). Une fois acquise l"existence des extremums globaux d"une fonctionf:K !Rd"après le théorème

précédent, il s"agit de déterminer les points en lesquels ces extremums globaux sont atteints. On introduit

pour cela l"intérieurUdeK, qui est le plus grand ouvert (au sens de l"inclusion) inclus dansK(on peut le

dé?nir proprement comme la réunion des ouverts inclus dansA).

Les extremums globaux defsont alors atteints sur l"intérieur deKet/ou sur son complémentaire dansK,

appelé lebordou lafrontièredeK.

âSi un extremum defest atteint sur l"ouvertU, c"est nécessairement en un point critique (en sup-

posantfde classeC1surU). On recherche donc ces points critiques et on calcule la valeur defen ces points (il n"est pas nécessaire de véri?er s"il s"agit d"extremums locaux!). âLe paragraphe suivant fournira des moyens de limiter la recherche des extremums sur le bord de

K. En attendant, on observera en pratique sur les cas simples que le bord deKpeut en général être

paramétré avec une variable de moins queK. On se trouve donc face au même problème (recherche

d"extremum globaux sur un compact) que l"on réduit de la même façon jusqu"à arriver à un bord

paramétré par une seule variable; il est alors possible d"étudier les variations defsur ce bord et donc

d"en déterminer les extremums.

On obtient ainsi les seuls extremums globaux éventuels defsurK. L"existence de ces extremums globaux

étant acquise, il ne reste alors qu"à comparer la valeur defaux points précédemment obtenus.

Exemple 2.6Minimum et maximum globaux de la fonctionf: (x;y)2R27!x2+y2xy+x+ysur l"ensembleA=f(x;y)2R2:x+y>3;x60;y60g.

3. Extremums sous contrainte3.1 Notion d"extremum sous contrainte

Définition 3.1SoientCune partie deRntelle queA \ C 6=;etA2 A \ C. On dit que f présente unextremum sous la contrainteCau pointAsi sa restriction fjA\Cadmet un extremum au pointA.

www.rblld.fr6 - Fonctions de plusieurs variables : optimisation ECS2 - Lycée La Bruyère, Versailles

Remarques 3.2On parle parfois d"optimisation liéeplutôt que d"optimisation sous contrainte, car la

contrainte impose des conditions entre les variables.

Lorsque la condition d"appartenance àCrevient à exprimer certaines variables en fonction des autres,

on dit que la contrainte estexplicite. Dans un tel cas, l"optimisation defsous la contrainteCse ramène

à un problème d"optimisation libre (par opposition aux problèmes d"optimisation liée) avec moins de

variables. Lorsque cette technique peut être mise en oeuvre, c"est souvent la plus e?cace. Exemple 3.3Extremums def: (x;y)2R27!xexysous la contrainteC=f(x;y)2R2:yx2=0g. classiques, présentés dans un cas simple. âÉtant donnés deux biens Q1et Q2, une fonction d"utilité U:R2!Rassocie à tout panier (q1;q2)un indicateur de satisfaction du consommateur. Celui-ci cherche à maximiser U(q1;q2)sous la contraintep1q1+p2q2=R, oùp1;p2sont les prix des deux biens et R son revenu.

âÉtant donnés deux inputs (travail, matières premières, ...) Q1et Q2utiles à la production d"un bien,

la fonction de productionf:R2!Rassocie à tout panier(q1;q2)la quantité de bien produite. Le producteur cherche à minimiser son coût de productionp1q1+p2q2sous la contraintef(q1;q2) =q, oùp1;p2sont les prix des deux inputs etqla quantité de bien à produire.

3.2 Cas d"une contrainte linéaire

Définition 3.5Une contrainteC Rnest dite linéaire si elle s"écrit comme l"ensemble des solutions d"un

système linéaire donné C:8 :a

1;1x1++a1;nxn=b1:::

a p;1x1++ap;nxn=bp(3.1) pour des réels a i;j,16i6p,16j6n, et bi,16i6p. Remarques 3.6En introduisant, pour touti2J1;pK, la fonction g i: (x1;:::;xn)2Rn7!ai;1x1++ai;nxn; la contrainteCest l"intersection des hyperplans a?nes d"équationsgi(X) =bi, 16i6p. SiH=T

particulière du système complet, i.e. un élément particulier deC, alorsCest l"ensemble des éléments de

la forme X=X0+H avec H2 H.

Réciproquement, on peut démontrer que tout sous-espace a?ne deRn(i.e. tout translaté d"un sous-

espace vectoriel) est une contrainte linéaire (admissible pour peu qu"il rencontreA). haut. Proposition-Définition 3.7On suppose f:U !Rde classeC1sur un ouvertU. SoitA2 U \ C. Si f admet enAun extremum local sous la contrainteC, alors

8V2 H;?Vf(A) =0;

ce qui signi?e que?f(A)2 H?. On dit dans ces conditions queAest un point critique de f sous la contrainte

C.

La réciproque est fausse.

Remarque 3.8La condition énoncée étant seulement nécessaire, une étude supplémentaire au voisinage

de chaque point critique sous contrainte doit être e?ectuée pour savoir s"il s"agit d"un extremum sous

contrainte; on pourra pour cela adapter les résultats des deux premiers paragraphes (aucun résultat ne

www.rblld.frAnnée 2019/2020 Fonctions de plusieurs variables : optimisation - 7

?gure au programme). Ainsi, pour une fonctionfde classeC2, en notantqAla forme quadratique associée

à la hessienne?2f(A), on peut établir les résultats suivants. Si A est un point critique sous la contrainteCet siqA(H)<0 (resp.qA(H)>0) pour tout H2 Hnf0g, de Taylor-Young. SiUest convexe etqA(H)60 (resp.qA(H)>0) pour tout A2 U \ Cet tout H2 H, la formule de Taylor avec reste intégral permet de justi?er quefprésente un maximum global (resp. un minimum global) sous la contrainteCen tout point critique sous la contrainteC. Attention cependant, comme on le verra en TD, le signe de la forme hessienneqAsurHne s"exprime pas en général sur les valeurs propres de la matrice?2f(A).

Exemple 3.9Extremums de la fonction

f: (x;y;z)2R37!xy+yz+zx sous la contrainte linéairex+y+z=1.

Remarque 3.10Chaque équation

g i(X) =0()ai;1x1++ai;nxn=0;16i6p;

dé?nit un hyperplan normal au vecteur(ai;1;:::;ai;n) =?gioù?gidésigne le gradient degi, constant

puisquegiest a?ne.

Le sous-espaceHétant dé?ni comme intersection de ces hyperplans, son orthogonal est donc engendré

par les vecteurs?g1;:::;?gp:H?=Vect(?g1;:::;?gp). Corollaire 3.11On suppose f:U !Rde classeC1sur un ouvertU. SoitA2 U \ C. Si f admet enAun extremum sous la contrainteC, alors il existe des réelsl1;:::;lptels que ?f(A) =pP i=1l i?gi:

La réciproque est fausse.

Remarque 3.12Lorsque la famille(g1;:::;gp)est libre, les réelsl1;:::;lpsont uniques; on les appelle

alorsmultiplicateurs de Lagrange. Exemple 3.13Déterminer les extremums de la fonctionf: (x;y;z;t)2R47!x2+y2+z2+t2sous la contraintex+y+zt=3

2xy+z+t=6:

3.3 Cas d"une contrainte dé?nie comme ligne de niveau

On considère dans ce paragraphe une contrainte de la formeC=fX2 U:?(X) =cgoù?:U !Rest

une fonction de classeC1sur l"ouvertUetcest un réel donnés. On supposera la contrainte non critique

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