Développements limités et applications PDF

Développements limités

Développements limités. UJF Grenoble. 1 Cours. 1.1 Polynômes de Taylor fonction f admet un développement limité d'ordre n en a si et seulement si g ...

Développements limités

Formules de Taylor · Vidéo ? partie 2. Développements limités au voisinage d'un point faire un développement limité à l'ordre 2 de la fonction f .

Cours dAnalyse Semestre 2

La fonction f admet bien un développement limité d'ordre 2 en 0. Revenons sur les développements limités en général. Nous allons démontrer l'unicité du

Analyse Asymptotique 2 : - Les Développements Limités —

24 janv. 2018 Tout développement limité `a l'ordre n + p au voisinage d'un point x0 s'écrit sous la forme : ... Cours MPSI-2017/2018. Les Développements ...

DEVELOPPEMENTS LIMITES

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16 juil. 2021 Développements limités. Maths SUP. OPTIMAL SUP-SPE. Fiche de cours. I. Formules de Taylor. ?Formule de Taylor avec reste intégral.

Synthèse de cours PanaMaths (CPGE) ? Développements limités

Soit f une fonction réelle de la variable réelle et a un réel quelconque. 1. Si f admet un développement limité en a à l'ordre n il est unique ;. Conséquences

Résumé de cours : Développements limités

f(u) un. = 0. – On dit que f admet un developpement limité au voisinage de. 0 `a l'ordre n ? N si et seulement si ?

Chapitre 5 Développements limités

Si la fonction f admet au voisinage de 0 un développement limité d'ordre n et a pour limite 0 en 0

Développements limités et applications

Exercice Transformer cette écriture en D.L. : x2 + 3x3 ? x3?(x)+2x + 2x2 ? x4 + x4?1 (x) avec ? et ?1 tendant vers 0 en 0. Cours D.L.. Page 2/ 4. Page 3. 2.3

D´eveloppements limit´es et applications

1 Formules de Taylor

Pr´erequisFonctions de classeCn, int´egration par parties, factorielle,

1.1 Taylor reste int´egrale

Th´eor`emeSifest une fonction de classeCn+1sur un intervalleIet queaetben sont ´el´ements, alors f(b) =n? k=0(b-a)kk!f(k)(a) +? b a(b-t)nn!f(n+1)(t)dt Sifest une fonction de classeCn+1sur un intervalleIet que 0 etxen sont ´el´ements, alors f(x) =n? k=0x kk!f(k)(0) +? x

0(x-t)nn!f(n+1)(t)dt

ExerciceD´emontrer la seconde formule ... par r´ecurrence. ExerciceD´emontrer quef:x→ln(1 +x) est de classeC∞sur ]-1,+∞[ puis quef(n)(x) =(-1)n-1(n-1)!(1 +x)npuis appliquer TRI `a l"ordren.

1.2 In´egalit´es de Taylor-Lagrange

Pr´erequisvaleur absolue et in´egalit´es, int´egrales et in´egalit´es (positivit´e)

deIalors m

Preuvedans?b

en ordre croissant, l"in´egalit´e est conserv´ee en int´egrant. Attention : une primitive det→(b-t)nest ................................................ pour toutt?Ialors?????f(b)-n? k=0(b-a)kk!f(k)(a)? ?????ex-n? k=0x kk!? (Indication : 1 =e0) et en d´eduire un r´esultat sur les s´eries exponentielles. N.B.Sif(n+1)est born´ee sur un intervalle autour de 0, on en d´eduit (Taylor-Young) f(x) =n? k=0f (k)(0)k!xk+o(xn)Cours D.L.Page 1/ 4

2 D´eveloppements limit´es

Pr´erequisnotationo(xn) =xnε(x) avecε(x)→0.

2.1 D.L. usuels

Th´eor`emeIl existe des fonctionsεisont toutes distinctes, mais tendant vers 0 en 0 telles que :

e x= 1 +x+x·ε1(x) = 1 +x+x22! +x2·ε2(x) x00! +x11! +x22! +x33! +x3ε3(x) ln(1 +x) =x+x·ε1(x) =x-x22 +x2·ε2(x) = +x-x22 +x33 +x3·ε3(x) (1 +x)α= 1 +αx+x·ε1(x) = 1 +αx+α(α-1)2 x2+x2·ε2(x) = 1 +

α1!

x+α(α-1)2! x2+α(α-1)(α-2)3! x3+x3·ε2(x) =···et en particulier ⎷1 +x= 1 +12 x+x·ε1(x) = 1 + 12 x-18 x2+x2·ε2(x)

PreuveLes fonctions pr´ec´edentes ont toutes leurs d´eriv´ees born´ees autour de 0 puis d"apr`es le N.B.

pr´ec´edent.

2.2 D´efinition

D´eveloppment limit´efa un d´eveloppement limit´e d"ordrenen 0 si il existe une fonctionεtendant

vers 0 en 0 et une fonction polynˆomePde degr´e au plusntelles que f(x) =P(x) +xn·ε(x) Pest appel´e partie principale du D.L. etxn·ε(x) le reste.

C"est ce reste qui donne l"ordre du D.L.

Ailleursfa un d´eveloppement limit´e d"ordrenenasif(a+h) =P(h) +hn·ε(h) TroncatureOn peut diminuer l"ordre d"un D.L. en factorisant dans le reste les termes au del`a d"un degr´e :

2x+x2+ 3x3+x3ε(x) = 2x+x2+x2[3x+xε(x)]

= 2x+x2+x2·ε2(x)

avecε2(x) = [3x+xε(x)]→0 et on passe ainsi d"un D.L. d"ordre 3 `a un ordre 2 par troncature.

ExerciceTransformer cette ´ecriture en D.L. :

2+ 3x3-x3ε(x) + 2x+ 2x2-x4+x4ε1(x) avecεetε1tendant vers 0 en 0.Cours D.L.Page 2/ 4

2.3 Op´erations

Id´eepar troncature, chaque reste peut absorber les termes de degr´e plus ´elev´es.

On trie les termes par degr´e croissant, et d`es que l"on rencontre un reste, on y int`egre ceux de

degr´e sup´erieur. SommeIl suffit de r´eordonner par degr´e croissant x

2+ 3x3-x3ε(x)-2x+ 2x2-x4+x4ε(x)

=x(........) +x2(.............) +............. ProduitOn distribue en regroupant les termes par degr´e croissants (3 +x-2x2+x2ε(x))(1 + 2x+x2+x2ε1(x)) = (..............) +x(..................) +x2(..................) +.................. Compos´ee Attentionil faut que le contenu tende vers 0 et pour cela factoriser d"abord par le pr´epond´erant.

On calculera `a part les DL desXk

ExerciceDonner un DL de ln(1 +ex) en utilisantex= 1 +x+x22 +x2ε(x) et ln(1 +X) =X-X22 +X2ε2(X)

3 Applications

3.1 Limites

Id´ee : le D.L. changera les fonctions en presque polynˆome. Mais il faut ˆetre en 0 pour pouvoir utiliser

les D.L. usuels. D"o`u un travail pr´eparatoire : M´ethodePour d´eterminer une limite, on cherche , dans l"ordre : - Forme d´etermin´ee ou non. - FI : se ramener en 0 (h=x-a) ou en +∞(X=-x) puis

- Factoriser le pr´epond´erant dans les ln,⎷,puissances, fractions (dans les exp il faudra par

fois d´evelopper) puis d´ecouper la fonction. et simplifier - Ce n"est que si la forme reste ind´etermin´ee que l"on passe au DL et on recommence.

- Quel ordre choisir pour les D.L.? En g´en´eral, on part de l"ordre 1 pour la continuit´e et l"ordre

2 pour la d´erivabilit´e (et on perd un ordre en chemin).

Exercice de virtuoseLimite en 4 de⎷x-2ex-4ln(x)-2ln(2)

3.2 Continuit´e, prolongement

Pour montrer qu"une fonction est continue en un point, on utilise la continuit´e des fonctions usuelles

et ................................................................................................

Les th´eor`emes ne s"appliquentquand on change de formule, on revient alors `a la d´efinition :

D´efintionfest continue enasi : ................................................................

ExerciceSoitf(x) =?

xe x-1six?= 0

1 six= 0

Montrer quefest continue surR.

D´efintion et th´eor`eme : prolongement par continuit´eSoitfnon d´efinie enamais ayant une

limite finie?en ce point.

La fonctionfprolong´ee par continuit´e est˜fd´efinie par : ....................................

Elle est continue ena!Cours D.L.Page 3/ 4

3.3 D´erivabilit´e, tangente

Pour prouver la d´erivabilit´e en un point et trouver la d´eriv´ee de la fonction, on utilise :............

L`a o`u les th´eor`emes ne s"appliquent pas, on revient `a la d´efinition :

D´efintionfest d´erivable enasifest d´efinie sur un intervalle autour dea(non r´eduit `a un point)

et si ........................................................................................ La d´eriv´ee defen ce point estf?(a) =......................................................

ExerciceSoitf(x) =?

ln(1 +x)x six?= 0

1 six= 0.

Montrer quefest d´erivable en 0 et calculer sa d´eriv´ee en ce point. Th´eor`eme de prolongementC1Pour un prolongement ena: Sifest continue sur [a,b] et quef?(x)→pquandx→aalorsfestC1enaetf?(a) =p.

ExerciceSoitf(x) =xln(1 +x)pourx?= 0.

D´eterminer son prolongement par continuit´e en 0, Calculerf?(x) pourx?= 0.puis montrer quefest de classeC1sur ]-1,+∞[ TangenteSif?(a) =p,une ´equation de la tangente ena`a la courbe defest : .................. Sif(a+h) =α+βh+h·ε(h) avecε(h)→0 on a alors une tangente enad"´equation y=α+β(x-a)

ExerciceSoitf(x) =ln(1+x)x

D´eterminer le D.L. d"ordre 1 (en partant de l"ordre 2) defen 0 et en d´eduire l"´equation de la tangente `a sa courbe en 0.

3.4 Asymptotes

D.L. `a l"infiniOn se ram`ene en 0 souvent parh=1x Caract´erisationLa droite d"´equationy=ax+best asymptote `a la courbe repr´esentative defen +∞sif(x) =ax+b+ε(x) avecε(x)→0 quandx→+∞. cela s"obtient naturellement avec un D.L.

RechercheOn d´etermine successivement

- la limite defen±∞si elle est infinie - On d´etermine ladirection asymptotiquepar la limite def(x)/x→a - puis la limite def(x)-ax→+xbalors on a asymptotey=ax+bou bienf(x)-ax→ ∞ et on a une branche parabolique de directiony=ax

ExerciceSoitf(x) =x2ln?1+xx

?.´etudier en +∞. Position relativeElle est donn´ee par le signe def(x)-ax-b.

Avec le D.L. `a l"infiniSif(x) =ax+b+cx

+1x

ε(x)

alorsf(x)-ax-b=1x (c+ε(x)) du signe decx au voisinage de l"infini

ExerciceSoitf(x) = (x+ 1)e1/xavech=1x

,faites le DL d"ordre 1 (en partant de l"ordre 2 pour exp) et en d´eduire l"asymptote et la position relative en +∞.Cours D.L.Page 4/ 4quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50

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D´eveloppements limit´es et applications

1 Formules de Taylor

1.1 Taylor reste int´egrale

0(x-t)nn!f(n+1)(t)dt

1.2 In´egalit´es de Taylor-Lagrange

Preuvedans?b

2 D´eveloppements limit´es

2.1 D.L. usuels

α1!

2.2 D´efinition

C"est ce reste qui donne l"ordre du D.L.

2x+x2+ 3x3+x3ε(x) = 2x+x2+x2[3x+xε(x)]

ExerciceTransformer cette ´ecriture en D.L. :

2+ 3x3-x3ε(x) + 2x+ 2x2-x4+x4ε1(x) avecεetε1tendant vers 0 en 0.Cours D.L.Page 2/ 4

2.3 Op´erations

2+ 3x3-x3ε(x)-2x+ 2x2-x4+x4ε(x)

On calculera `a part les DL desXk

3 Applications

3.1 Limites

2 pour la d´erivabilit´e (et on perd un ordre en chemin).

3.2 Continuit´e, prolongement

ExerciceSoitf(x) =?

1 six= 0

Montrer quefest continue surR.

Elle est continue ena!Cours D.L.Page 3/ 4

3.3 D´erivabilit´e, tangente

ExerciceSoitf(x) =?

1 six= 0.

ExerciceSoitf(x) =xln(1 +x)pourx?= 0.

ExerciceSoitf(x) =ln(1+x)x

3.4 Asymptotes

RechercheOn d´etermine successivement

ExerciceSoitf(x) =x2ln?1+xx

Avec le D.L. `a l"infiniSif(x) =ax+b+cx

ε(x)

ExerciceSoitf(x) = (x+ 1)e1/xavech=1x