Cours dAnalyse Semestre 2 PDF La fonction f admet bien

Développements limités

Développements limités. UJF Grenoble. 1 Cours. 1.1 Polynômes de Taylor fonction f admet un développement limité d'ordre n en a si et seulement si g ...

Développements limités

Formules de Taylor · Vidéo ? partie 2. Développements limités au voisinage d'un point faire un développement limité à l'ordre 2 de la fonction f .

Cours dAnalyse Semestre 2

La fonction f admet bien un développement limité d'ordre 2 en 0. Revenons sur les développements limités en général. Nous allons démontrer l'unicité du

Analyse Asymptotique 2 : - Les Développements Limités —

24 janv. 2018 Tout développement limité `a l'ordre n + p au voisinage d'un point x0 s'écrit sous la forme : ... Cours MPSI-2017/2018. Les Développements ...

DEVELOPPEMENTS LIMITES

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16 juil. 2021 Développements limités. Maths SUP. OPTIMAL SUP-SPE. Fiche de cours. I. Formules de Taylor. ?Formule de Taylor avec reste intégral.

Synthèse de cours PanaMaths (CPGE) ? Développements limités

Soit f une fonction réelle de la variable réelle et a un réel quelconque. 1. Si f admet un développement limité en a à l'ordre n il est unique ;. Conséquences

Résumé de cours : Développements limités

f(u) un. = 0. – On dit que f admet un developpement limité au voisinage de. 0 `a l'ordre n ? N si et seulement si ?

Chapitre 5 Développements limités

Si la fonction f admet au voisinage de 0 un développement limité d'ordre n et a pour limite 0 en 0

Développements limités et applications

Exercice Transformer cette écriture en D.L. : x2 + 3x3 ? x3?(x)+2x + 2x2 ? x4 + x4?1 (x) avec ? et ?1 tendant vers 0 en 0. Cours D.L.. Page 2/ 4. Page 3. 2.3

Cours d'Analyse

Semestre 2

Stephane Attal

1 Developpements limites 5

1.1 Comparaison de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Equivalence de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Derivees successives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.1 Un rappel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.2 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.3 Fonctions convexes et derivation . . . . . . . . . . . . . 10

1.4 Les formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4.1 Rappels sur les comparaisons de fonctions . . . . . . . 15

1.4.2 La formule de Taylor-Young . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4.3 Developpements limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.4.4 Developpement des fonctions usuelles . . . . . . . . . . 20

1.4.5 Taylor-Lagrange, reste integral . . . . . . . . . . . . . . 21

1.5 Proprietes des developpements limites . . . . . . . . . . . . . . 23

1.5.1 Operations sur les developpements limites . . . . . . . 23

1.5.2 Comportement local pres des points critiques . . . . . . 26

2 Integration 29

2.1 Fonctions en escalier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.1.1 Subdivisions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.1.2 Fonctions en escalier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.1.3 Integrales de fonctions en escalier . . . . . . . . . . . . 31

2.2 Fonctions Riemann-integrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.2.1 Construction de l'integrale de Riemann . . . . . . . . . 33

2.2.2 Operations sur les fonctions integrables . . . . . . . . . 36

2.2.3 Integrales et inegalites . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.2.4 Integrales et produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.3 Familles de fonctions integrables . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.3.1 Manipulation de fonctions integrables . . . . . . . . . . 40

2.3.2 Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.3.3 Continuite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4CONTENTS

2.3.4 Convention et relation de Chasles . . . . . . . . . . . . 43

2.4 Primitives et integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.4.1 Le theoreme fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.4.2 Integration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.4.3 Changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.5 Quelques resultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.6 Sommes de Riemann, de Darboux, surfaces etc. . . . . . . . . 52

2.6.1 Sommes de Darboux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.6.2 Sommes de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.6.3 Estimation d'erreurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.6.4 Lien avec les surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.7 Integrales de suites de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.7.1 Ce qui ne marche pas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.7.2 Limite uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Chapter 1 Developpements limites

Nous attaquons ici un autre chapitre fondamental de l'analyse : celui ou l'on va aborder les developpements limites. Il s'agit d'un outil fondamental pour l'etude ne du comportement des fonctions, c'est un outil redoutablement ecace pour le calcul de limites diciles.

1.1 Comparaison de fonctions

Dans la suiteDest une partie non vide deRetaest un element deR[ f+1;1g, adherent aDn fag. Les fonctions dont on parle sont toutes denies surD. On dit qu'une fonctionfestnegligeabledevant une fonctiongau voisinage dea, s'il existe une fonction"surD, telle que limx!a"(x) = 0 et f(x) ="(x)g(x):

On ecrit alors quef=o(g)au voisinage dea.

Par exemplex3=o(x2) au voisinage de 0, puisquex3=xx2et que "(x) =xtend vers 0 en 0. Ou encorex2=o(x5) au voisinage de +1, puisque x

2=x51=x3etc.

Theoreme 1.1.1Quelques soient;;

>0on a (ln(x))=oxetx=o(e x); au voisinage de+1et on a jln(x)j=ox au voisinage de 0. 5

6CHAPTER 1. DEVELOPPEMENTS LIMITES

DemonstrationNous allons commencer par demontrer que lim x!+1e xx = +1:

Soitx >0 etp=E[x], on a

e xx epp+ 12pp+ 1: Mais on peut facilement demontrer par recurrence que pourn5 on a 2 nn+ 1n:

En eet

2n+1n+ 2=2nn+ 12(n+ 1)n+ 22n(n+ 1)n+ 2

qui est plus grand quen+ 1 des quen2. Cela demontre la convergence annoncee.

En particulier, en elevant a la puissance, on a

lim x!+1e xx = +1; pour tout >0. Maintenant, pour tout; >0 on a e xx =e x x

Quandxtend vers +1alorsy=

x=tend vers +1aussi et donc e xx =Ceyy tend vers +1.

Nous avons ainsi demontre que lim

x!+1x=e x= 0 ce qui prouve que x =o(e x).

Regardons maintenant

ln(x)x

Si on posey= ln(x) la quantite ci-dessus s'ecrit

y e y:

1.2. EQUIVALENCE DE FONCTIONS7

Quandxtend vers +1alorsyaussi et doncy=eytend vers 0. Ce qui prouve la relation voulue en +1. Enn, regardons au voisinage de 0, la limite dejln(x)j=x. Posons y= 1=x, la quantite ci-dessus vautjlnyj=y. Quandxtend vers 0 alorsy tend vers +1et la quantite ci-dessus tend vers 0.

Proposition 1.1.2

1) Au voisinage dea, sif=o(g)et sig=o(h)alorsf=o(h).

2) Au voisinage dea, sif1=o(g1)etf2=o(g2)alorsf1f2=o(g1g2).

3) Au voisinage dea, sif1=o(g)etf2=o(g)alorsf1+f2=o(g).

4) Au voisinage dea, sif=o(g)alors1=g=o(1=f).

Toutes les demonstrations des resultats ci-dessus sont evidentes et laissees au lecteur. Par contre, notez bien qu'il ne faut pas faire les erreurs suivantes. { Sif1=o(g1) etf2=o(g2) alors il n'est pas vrai quef1+f2=o(g1+g2). En eet, on a au voisinage de 0,x2=o(x) etx3=o(x+x2) mais par contrex2x3n'est pas uno(x2). { Avec les quotients de fonctions rien de general ne marche. Notez qu'avec nos notations on ecritf=o(1) au voisinage deapour dire ftend vers 0 ena.

1.2 Equivalence de fonctions

On dit quefestequivalente agau voisinage deasi

lim x!af(x)g(x)= 1: On note celafag, ou bienfgau voisinage dea. Notez que c'est equivalent af=g+o(g) au voisinage dea.

Theoreme 1.2.1

1) La relationau voisinage deaest une relation d'equivalence entre fonc-

tions : elle est symetrique, re exive et transitive.

2) Sifagalorslimx!af(x)existe si et seulement silimx!ag(x)existe.

Dans ce cas les limites sont egales.

3) On peut prendre le produit, le quotient (si bien deni) et les puissances

des equivalents.

4) Silimx!b(x) =aet sifagalorsfbg.

8CHAPTER 1. DEVELOPPEMENTS LIMITES

Demonstration

1) Le fait quefafest une evidence.

Sifagalorsf(x) = (1 +"(x))g(x) ou limx!a"(x) = 0. Mais dans ce cas, en posant

0(x) ="(x)1 +"(x)

on a lim x!a"0(x) = 0 etg(x) = (1"0(x))f(x). Ainsigaf.

Enn, sifagetgahalorsf= (1 +")getg= (1 +"0)hd'ou

f= (1 +"+"0+""0)hce qui donne le resultat facilement.

2) On ag(x) = (1 +"(x))f(x) donc limx!ag(x) =l.

4) On af((x)) = (1+"((x)))g((x)), mais limx!b"((x)) = limx!a"(x) =

3) Sif1ag1etf2ag2alors

1(x)f2(x) = (1 +"1(x))(1 +"2(x))g1(x)g2(x)

= (1 +"1(x) +"2(x) +"1(x)"2(x))g1(x)g2(x): f 1(x)f

2(x)=1 +"1(x)1 +"2(x)g

1(x)g 2(x) = (1 +"1(x))(1"02(x))g1(x)g 2(x): On passe facilement aux puissancesn2Zen iterant le resultat ci-dessus, du coup on passe aux puissances rationnelles (si les fonctions sont>0). Pour les puissances quelconques, sifetgsont>0 etfagalors La limite deeln(1+"(x))quandx!aest clairement 1, d'ou le resultat.

Les erreurs a ne pas faire avec les equivalents :

{ En general on ne peut pas additionner (ou soustraire) des equivalents. Par exemplex2x0xetx0x, par contrex2600. { On ne peut pas composer les equivalents par une fonctiona gauche. Par exemplex2+x+1x2, mais lim x!+1e x2+xe x2= limx!+1ex= +1 et doncex2+x6+1ex2.

1.3. D

ERIVEES SUCCESSIVES9

Theoreme 1.2.2 (Equivalents importants en 0)

e x1 +x ln(1 +x)x sin(x)x cos(x)1 +x22 tan(x)x.

Non demontre pour le moment.

1.3 Derivees successives

On commence par une petite partie avec des resultats assez simples sur les derivees successives et aussi les fonctions convexes.

1.3.1 Un rappel

Sifest derivable au pointx0, l'equation de la tangente au graphe defqui passe par (x0;f(x0)) est yf(x0) =f0(x0)(xx0);x2R: Sifest seulement derivable a droite et a gauche enx0, le graphe admet des tangentes a droite et a gauche, d'equation yf(x0) =f0d(x0)(xx0); x0 etyf(x0) =f0g(x0)(xx0); x0:

1.3.2 Denitions

On dit qu'une fonctionfdenie sur un intervalle ouvertIestnfois derivablequotesdbs_dbs50.pdfusesText_50

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