Chapitre 5 Développements limités PDF

Développements limités

Développements limités. UJF Grenoble. 1 Cours. 1.1 Polynômes de Taylor fonction f admet un développement limité d'ordre n en a si et seulement si g ...

Développements limités

Formules de Taylor · Vidéo ? partie 2. Développements limités au voisinage d'un point faire un développement limité à l'ordre 2 de la fonction f .

Cours dAnalyse Semestre 2

La fonction f admet bien un développement limité d'ordre 2 en 0. Revenons sur les développements limités en général. Nous allons démontrer l'unicité du

Analyse Asymptotique 2 : - Les Développements Limités —

24 janv. 2018 Tout développement limité `a l'ordre n + p au voisinage d'un point x0 s'écrit sous la forme : ... Cours MPSI-2017/2018. Les Développements ...

DEVELOPPEMENTS LIMITES

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16 juil. 2021 Développements limités. Maths SUP. OPTIMAL SUP-SPE. Fiche de cours. I. Formules de Taylor. ?Formule de Taylor avec reste intégral.

Synthèse de cours PanaMaths (CPGE) ? Développements limités

Soit f une fonction réelle de la variable réelle et a un réel quelconque. 1. Si f admet un développement limité en a à l'ordre n il est unique ;. Conséquences

Résumé de cours : Développements limités

f(u) un. = 0. – On dit que f admet un developpement limité au voisinage de. 0 `a l'ordre n ? N si et seulement si ?

Chapitre 5 Développements limités

Si la fonction f admet au voisinage de 0 un développement limité d'ordre n et a pour limite 0 en 0

Développements limités et applications

Exercice Transformer cette écriture en D.L. : x2 + 3x3 ? x3?(x)+2x + 2x2 ? x4 + x4?1 (x) avec ? et ?1 tendant vers 0 en 0. Cours D.L.. Page 2/ 4. Page 3. 2.3

Chapitre5

D´eveloppementslimit´es

34CHAPITRE5.D

EVELOPPEMENTSLIMIT

5.1Pr´eli minaires:relationsdecomparaison

D´efinition.(NotationdeLandau) Soientα?R,etf,gdeuxfonctionsd ´e- finissurun voisinagedea.On´ ecrit: -f=o a (g)(=o(g)siilest clairquel'on estpr `esde a)ssi?ε>0,?V a voisinagedeatelque?x?V a onpeut aussidirequelim x→a f(x) g(x) =0. -f=O a (g)(=O(g)siilest clairquel'on estpr `esde a)ssi?M>0,?V a voisinagedeatelque?x?V a

Remarque:f=o

a (g)ssiilexisteunefonctionεtellequelim x→a

ε(x)=

0etf(x)=ε(x)g(x).

Exemple:x

n =o 0 (x p )pourn>p,x n =o (x p )pournAttention:onn' ´ecritpasf≂0... Attention:`al ama nip ula tio nde s´e qui val en ts. f≂gn'impliquePAS h(f)≂h(g).Pa rexemple,x 2 +x≂ x 2 alorsque e x 2 +x -e x 2 e x 2 →∞quand x→∞.

5.2G´en´ eralit´essurlesd´eveloppementslimi-

t´es unefonctiond ´efinie auvoisinagede0.Ondit quefadmetund ´evelopp ement limit´ed'ordrenauvoisinagede 0,s'ilexiste desr´ eelsa 0 ,a 1 ,...,a n telsque: f(x)= n k=0 a k x k +o 0 (x n 5.2.G EN

ERALIT

ESSURLE SD

EVELOPPEMENTSLIMIT

ES35 Remarque:pard´ efinitionduocelarevien t`adirequ'ilexist eune fonction?d´efiniesurunvoisinag ede0,tell equelim x?→0 ?(x)=0etf(x)= n k=0 a k x k +x n ?(x) unefonctiond ´efinie auvoisinagedea.Ondit quefadmetund ´evelopp ement limit´ed'ordrenauvoisinagede a,s'ilexiste desr´ eelsa 0 ,a 1 ,...,a n telsque: f(x)= n k=0 a k (x-a) k +o a ((x-a) n Remarque1:danslaprat ique,o nutilisesurtoutlesDL en0,enf aitsi fadmetunDLd'ordre nenadelaf ormef(x)= n k=0 a k (x-a) k +o a ((x-a) n alors,f(a+h)= n k=0 a k (h) k +o 0 (h n )ainsi,parchangementdevariableon s'estramen´ e`aunDLen0. Remarque2:Ilestcl ai rquefadmetenD Lenasietseu le mentsif admetunelimitefiniea 0 ena.Onaalorsf(x)=a 0 +o a (1).Par exemple, e x =1+o 0 (1)etln(1+x)=o 0 (1) Remarque3:D'apr`escequ'onavuenpremi `ere ann´ee ,si festun e fonctiond´efinieena,alorsfadmetunDLd'ordre 1e nasietseu lem entsif estd´ erivableena.Sifn'estpasd´e finieena,alorselleadmetunDLd'ordre

1enasietseu le mentsielleestprolongeab leen unefonctio nd´eriv ableena.

Parexem ple,

1+x=1+

1 2 x+o 0 (x)carlafonctionf:x?→

1+xadmet

f (0)= 1 2 commed´eriv´ee en0.Demˆeme,(3+x) 2 3 =3+ 2 3 4 3 x+o 0 (x). Remarque4:SifadmetunDLd'ordre n?Nena,alorsfadmetun DLd'ordre ppourtoute ntierinf´eri eur`an.Pluspr´ecisemment:sif(x)= n k=0 a k (x-a) k +o a ((x-a) n p k=0 a k (x- a) k +o a ((x-a) p ).(En clair, ilsu ffi tde n'enpren drequ'unb out). Th´eor`eme.Sifposs`edeunDLd'ordrenauvoisinagede a,alors celui-ci estunique. Proposition.Soitfunefonctiond ´efinie auvoisinagede0.Soitn?N.On supposequefadmetunD Len 0delafor mef(x)= n k=0 a k x k +o 0 (x n

36CHAPITRE5.D

EVELOPPEMENTSLIMIT

ES k =0. k =0.

5.3D´evel oppementslimit´esusuels

Leth ´eor`emedeTaylor-Youngesten fait unemachine`afabriquerdesDL. Th´eor`eme(Th´eor`emedeTaylor-Young).Sifestunefonction declasseC n d´efinieauvoisinagedea,alors fadmetauvoisinage dealeDL : f(x)= n k=0 (x-a) k k! f (k) (a)+o a ((x-a) n Onae nparticulie rlesDL` aconnaˆıtresuivant s:

Proposition.Pourtoutn?N:exp(x)=1+x+

x 2 2 x n n! +o 0 (x n ln(1+ x)=x- x 2 2 (-1) n+1 x n n +o 0 (x n ?α?R, (1+x) =1+αx+α(α-1) x 2 2

α(α-1)...(α-n+1)

n! x n +o 0 (x n Exercice:Retrouver`apartircettepropos itionlesDLde 1 1+x 1 1-x ,ln(1-x)et

1+xen0.

Enpr atique,`apartirdesDL´enonc´es danscet tepropri´et´eetdes formules d'op´erationssurlesDLd´ev elopp´ee sdanslasect ionsuiv ante,onestcapable siil sexistentde d´eterminerlesDLdeto uteslesfo nctionsqu'oncroisera.

5.4Op´era tionssurlesDL

Commeonl'ad´ ej`avu, onpeuttoujo ursseramenerd'unDL enunpoint quelconquea?R`aun DLe n0 .C' est pou rqu oi, one xpl iq uer aun iqu eme nt lesop´era tionssurlesDLen0.

Notation:SifadmetunDLen 0d'ordre n,delaformef(x)=

n k=0 a k x k o 0 (x n )ondiraalorsquelepolynˆome n k=0 a k x k estla partier´eguli`ere duDLd'o rdrendefen0.

5.4.OP

ERATIONSSURLESDL37

Proposition.Soitn?N.Soientfetgdeuxfonctionsd ´efiniesen 0et admettantauvoisinage de0,und ´eveloppement limit´ed'ordrendepar ties r´eguli`eresrespectivesPetQ.Alor s: -f+gadmetunDLen0depar tier´eguli`ereP+Q. -fgadmetunD Ld'ordr enen0,dontla partie r´eguli `ereestobtenue ennegar dantdansle produitPQquelester mesdede gr´einf´er ieurou

´egaln.

Exercice:DonnerleDL` al'ordre 3en 0deln(1+x)+2e

x ln(1+ x) 1-x ln(1-x 2 ),e x 1+x.

Proposition.Soientfetgdeuxfonctionstel les quef(D

f )?D g ,admettant toutesdeuxun DLd'or drenen0,dep artiesr ´eguli`eresrespectives PetQ.

Onsupp osequelim

x?→0 f(x)=0.Alor sg◦fadmetauvoisinage de0unDL d'ordrendontlap artie r´eguli`ereestobtenueen negardantquelestermes deQ◦Pdedegr ´einf´erieurou´egal`a n.

Exercice:DonnerleDL en0 `al'ordre3de

1+ln(1+x),e

1+x-1 NB:C ett epropri´et´etr aiteducasparticuliero`ulim x?→0 f(x)=0,cicen'est paslec asons 'adapte!

Exercice:DonnerleDLen 0`a l'ordre3 deexp(

1 1+x 1+e x ,et ln(1+ 1+x). Proposition.Silafonction fadmetauvoisinage de0,und ´eveloppement limit´ed'ordrenetap ourlimite0en0,alors 1 1+f admetunD Ld'ordr en en0.

Exercice:DonnerleDLd'ordre 3en 0dex?→

1+ln(1-x)

etde 2 e x Corollaire.Silafonction fadmeten0unDL d'ordred'ordr enetsi lim x?→0 f(x)?=0,alors lafonction 1 f admeten0unDL d'ordren. Remarque:Cesd euxderni`eres preuvesdonnentunem´ethode pratique depour calculerle sDLdesfractions.

Exercice:CalculerlesDLen0,`a l'orde 2de

1 3+x e x 2+x 2

Remarque:Silim

x?→0 f(x)=0,alors 1quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50

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Chapitre5

D´eveloppementslimit´es

34CHAPITRE5.D

EVELOPPEMENTSLIMIT

5.1Pr´eli minaires:relationsdecomparaison

Remarque:f=o

ε(x)=

0etf(x)=ε(x)g(x).

Exemple:x

5.2G´en´ eralit´essurlesd´eveloppementslimi-

ERALIT

ESSURLE SD

EVELOPPEMENTSLIMIT

1enasietseu le mentsielleestprolongeab leen unefonctio nd´eriv ableena.

Parexem ple,

1+x=1+

1+xadmet

36CHAPITRE5.D

EVELOPPEMENTSLIMIT

5.3D´evel oppementslimit´esusuels

Proposition.Pourtoutn?N:exp(x)=1+x+

α(α-1)...(α-n+1)

1+xen0.

5.4Op´era tionssurlesDL

Notation:SifadmetunDLen 0d'ordre n,delaformef(x)=

5.4.OP

ERATIONSSURLESDL37

´egaln.

Exercice:DonnerleDL` al'ordre 3en 0deln(1+x)+2e

Proposition.Soientfetgdeuxfonctionstel les quef(D

Onsupp osequelim

Exercice:DonnerleDL en0 `al'ordre3de

1+ln(1+x),e

Exercice:DonnerleDLen 0`a l'ordre3 deexp(

Exercice:DonnerleDLd'ordre 3en 0dex?→

1+ln(1-x)

Exercice:CalculerlesDLen0,`a l'orde 2de

Remarque:Silim