Feuille dexercices no 4 — Formules de Taylor- Développements PDF

Remarque : Ce n'est pas parce que admet un développement à l'ordre 2 en 0 que est 2 fois dérivable en 0. Exercice 3. Pour réel fixé on définit la

Développements limités

Développements limités. Corrections d'Arnaud Bodin. 1 Calculs. Exercice 1. Donner le développement limité en 0 des fonctions : 1. cosx·expx à l'ordre 3.

Développements limités équivalents et calculs de limites

Allez à : Correction exercice 1 Calculer le développement limité à l'ordre 2 au voisinage de 0 de la ... tend vers 0 lorsque tend vers l'infini.

Feuille dexercices no 4 — Formules de Taylor- Développements

n tend vers l'infini et calculer cette limite. Exercice 4 Donner le développement limité de f `a l'ordre 4 au point 0 ainsi qu'au point 2.

Exercices - Développements limités : corrigé Calculs de DLs

Exercice 1 - Somme et produit de DLs - L1/Math Sup - ? termes de son développement limité seront au moins multipliés par x ... l'infini).

Séries numériques

Remarque : il était inutile de faire un développement limité à l'ordre de ( ). Allez à : Exercice 9. 14. est de signe constant.

Limite continuité

dérivabilité

Cours danalyse 1 Licence 1er semestre

pour les exercices de TD. développement décimal infini ... (limite d'une suite continuité d'une fonction) et de rappeler les définitions élémentaires ...

I Tests de compréhension II Exercices

II Exercices. Sommes et produits de développements limités. Exercice 1. Calculez le développement limité quand x ? 0 des fonctions suivantes :.

I Tests de compréhension II Exercices

1+3x à l'ordre 2. Exercice 2. Calculez le développement limité à l'ordre 3 quand x ? 0 des fonctions suivantes : (a) (1 + x2)2 cos x. (b) ex sin(x).

Universite Bordeaux 1Annee 2012-2013

M1MI2011

Feuille d'exercices n

o4 | Formules de Taylor- Developpements limitesExercice 1 SoientIun intervalle ouvert deRetf:I!Rune fonctionnfois derivable surI.

1. Donner l'expression du polyn^ome de Taylor defa l'ordrenen un pointx02I.

2. Rappeler l'enonce des formules de Taylor-Young et Taylor-Lagrange pour la fonction

fau pointx0, en indiquant soigneusement les hypotheses.

Exercice 2

1. Montrer que8x2R+,xx3=6sin(x)xx3=6 +x5=120.

2. Montrer que8x2R+,xx2=2ln(1 +x)x.

3. Montrer que

8x2[0;+1[;0ex1xx22

Exercice 3

1. Soitnun entier.Ecrire la formule de Taylor avec reste integral au voisinage de 0 a

l'ordrenpour la fonction cos(x).

2. En deduire que la suite de terme generalun=Pn

k=0(1)k=(2k)! a une limite quand ntend vers l'inni, et calculer cette limite.

Exercice 4

Calculer les developpements limites en 0 a l'ordrendes fonctions suivantes :

1.f(x) = cos(x2) + sin(x) avecn= 6.

2.f(x) = cos(2x)p1 +xavecn= 3.

3.f(x) =1+x+x21xx2, avecn= 4.

4.f(x) = (sin(x3))13

,n= 13.

5.f(x) =(1+x)100(12x)40(1+2x)60, avecn= 2.

6.f(x) = ln(1 +xsin(x)), etn= 4.

7.f(x) =ecos(x),n= 4.

8.f(x) = (1 + cos(x))1=3,n= 4.

9.f(x) =xe

x1,n= 4.

10.f(x) = (1 +x)1x

,n= 3. (On aura posef(0) =e).

Exercice 5

Soitf(x) =x2+3x+1. Donner le developpement limite defa l'ordre 4 au point 0 ainsi qu'au point 2. 1

Exercice 6

1. Calculer le developpement limite a l'ordre 4 en 0 dep1 + sin(x)sh(x).

2. Calculer le developpement limite a l'ordre 3 en 1 de arcsin(ln

2(x)).

Exercice 7

Soitf(x) = ln(x2+ 2x+ 2).

1. Calculer le developpement limite defa l'ordre 3 en 0.

2. Donner la tangente a la courbe representative defau voisinage du pointx= 0.

Donner la position de la courbe par rapport a cette tangente et representer som- mairement le graphe defau voisinage du point 0.

Exercice 8

On considere la fonctionfsurRdenie par :f(x) = (ex1)=xsix6= 0, etf(0) = 1.

1. Demontrer quefest derivable surR, et calculerf0(x) pour toutx.

2. Montrer quefest en fait deux fois derivable surR, et donnerf00(0).

3. Ecrire la formule de Taylor-Young en 0 a l'ordre 2 pourf. Preciser la position de la courbe representative defpar rapport a sa tangente en 0.

4. Determiner les variations de:=xexex+ 1. En deduire quefest strictement

croissante surR.

5. Determiner l'intervalle imageJde la fonctionf, et montrer que la fonction reciproque

gdefest deux fois derivable surJ.

Exercice 9

1. Calculer les limites suivantes en 0 :

2. (

11+x2cos(x))1x

2. 3. xcos(x)sin(x)xln(1+x2). 4. arctan(x)xsin(x)x. 5. 1sin

2(x)1sinh

2(x). 6. ( eax+ebx2 )1=x, (aetbreels quelconques).

Exercice 10

Rechercher les asymptotes aux graphes des fonctions suivantes :

1.f(x) =x1+e1=x.

2.g(x) = [(x22)(x+ 3)]1=3.

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