Exercices - Développements limités : corrigé Calculs de DLs PDF

Remarque : Ce n'est pas parce que admet un développement à l'ordre 2 en 0 que est 2 fois dérivable en 0. Exercice 3. Pour réel fixé on définit la

Développements limités

Développements limités. Corrections d'Arnaud Bodin. 1 Calculs. Exercice 1. Donner le développement limité en 0 des fonctions : 1. cosx·expx à l'ordre 3.

Développements limités équivalents et calculs de limites

Allez à : Correction exercice 1 Calculer le développement limité à l'ordre 2 au voisinage de 0 de la ... tend vers 0 lorsque tend vers l'infini.

Feuille dexercices no 4 — Formules de Taylor- Développements

n tend vers l'infini et calculer cette limite. Exercice 4 Donner le développement limité de f `a l'ordre 4 au point 0 ainsi qu'au point 2.

Exercices - Développements limités : corrigé Calculs de DLs

Exercice 1 - Somme et produit de DLs - L1/Math Sup - ? termes de son développement limité seront au moins multipliés par x ... l'infini).

Séries numériques

Remarque : il était inutile de faire un développement limité à l'ordre de ( ). Allez à : Exercice 9. 14. est de signe constant.

Cours danalyse 1 Licence 1er semestre

pour les exercices de TD. développement décimal infini ... (limite d'une suite continuité d'une fonction) et de rappeler les définitions élémentaires ...

I Tests de compréhension II Exercices

II Exercices. Sommes et produits de développements limités. Exercice 1. Calculez le développement limité quand x ? 0 des fonctions suivantes :.

I Tests de compréhension II Exercices

1+3x à l'ordre 2. Exercice 2. Calculez le développement limité à l'ordre 3 quand x ? 0 des fonctions suivantes : (a) (1 + x2)2 cos x. (b) ex sin(x).

Exercices - Développements limités: corrigéCalculs de DLs

Exercice 1- Somme et produit de DLs-L1/Math Sup-?

1. Il suffit d"écrire

11-x= 1 +x+x2+x3+o(x3)

e x= 1 +x+x22 +x36 +o(x3) et de faire la différence :

11-x-ex=x22

+5x36 +o(x3).

2. Il suffit d"écrire

⎷1 +x= 1 +x2 -x28 +x316 -5x4128 +o(x4) ⎷1-x= 1-x2 -x28 -x316 -5x4128 +o(x4) et de faire la somme : ⎷1 +x+⎷1-x= 2-x24 -5x464 +o(x4).

3. On écrit

sin(x) =x-x36 +x5120 +o(x6) cos(2x) = 1-2x2+2x43 +o(x5). Remarquons qu"il n"est pas nécessaire d"aller jusqu"à l"ordre 6 pourcos(2x)car tous les termes de son développement limité seront au moins multipliés parx, et on gagne un ordre. On en déduit, en effectuant le produit sin(x)cos(2x) =x-13x36 +121x5120
+o(x6).

4. On écrit les développements limités

cosx= 1-x22 +x424 +o(x4) ln(1 +x) =x-x22 +x33 -x44 +o(x4) et on effectue le produit pour trouver (cosx)ln(1 +x) =x-x22 -x36 +o(x4).http://www.bibmath.net1

Exercices - Développements limités: corrigé5. C"est la même méthode, encore plus facile car1 +x3= 1 +x3+o(x3). Puisque d"autre

part⎷1-x= 1-x2 -x28 -x316 +o(x3) on trouve en effectuant le produit (1 +x3)⎷1-x= 1-x2 -x28 +15x316

6. Puisqueln(1+x)≂0x, il est là aussi simplement nécessaire d"effectuer un DL deln(1+x)

à l"ordre 3. En effectuant le produit, on va automatiquement gagner un ordre. Donc, en

écrivant

ln(1 +x) =x-x22 +x33 +o(x3) on trouve ?ln(1 +x)?2=x2-x3+11x412 +o(x4).

Exercice 2- Composition de DLs-L1/Math Sup-?

1. On commence par écrire

sinxx = 1-x26 +x4120 +o(x4).

On peut donc écrire

ln ?sinxx = ln(1 +u)avecu=-x26 +x4120 +o(x4). En particulier, on remarque queo(u2) =o(x4). De plus, on sait que ln(1 +u) =u-u22 +o(u2). On calcule les puissances deu, et on les tronque à l"ordre 4. Ainsi, u=-x26 +x4120 +o(x4) u

2=x436

+o(x4).

Il vient

ln ?sinxx =-x26 +?1120 -12×36? x

4+o(x4)

-x26 -x4180 +o(x4).http://www.bibmath.net2 Exercices - Développements limités: corrigé2. On poseu= sinx=x-x36 +o(x4).utend vers 0 lorsquextend vers 0, et on peut bien

écrire que

exp(u) = 1 +u+u22 +u36 +u424 +o(u4). Mais, u=x-x36 +o(x4) u

2=x2-x43

+o(x4) u

3=x3+o(x4)

4=x4+o(x4).

En remplaçant, on trouve

exp(sin(x)) = 1 +x+x22 -x48 +o(x4).

3. On écrit

(cosx)sinx= exp?sinxln(cosx)?. On va donc devoir composer deux DLs, et faire un produit! Soit d"abordu=-x22 +x424 o(x5). On a ln(cosx) = ln(1 +u) =u-u22 +u33 -u44 +u55 +o(u5).

D"autre part,

u=-x22 +x424 +o(x5) u 2=x44 +o(x5) u

3=o(x5)

4=o(x5)

5=o(x5)

Il vient

ln(cosx) =-x22 -x412 +o(x5).

On en déduit

sin(x)ln(cosx) =? x-x39 +x5120 +o(x5)?? -x22 -x412 +o(x5)? =-x32 +o(x5)

Finalement, on posev=-x32

+o(x3), et on voit quev2=o(x5). On obtient donc exp ?sinxln(cosx)?= exp(v) = 1 +v+O(v2) = 1-x32 +o(x5). Il y avait finalement moins de calculs que l"on ne pouvait le craindre!http://www.bibmath.net3 Exercices - Développements limités: corrigé4. On commence par étudier le DL de 1x ln(coshx). Au voisinage de 0, le DL à l"ordre 4 du cosinus hyperbolique est donné par coshx= 1 +x22 +x424 +o(x4).

Celui deln(1 +u)est donné par

ln(1 +u) =u-u22 +o(u2). Il est n"est pas nécessaire d"aller plus loin, car en posantu=x22 +x424 +o(x4), on a déjà o(u2) =o(x4). Puisqueu2=x44 +o(x4), on a en introduisant dans le DL deln(1 +u): 1x ln(coshx) =x2 -x312 +o(x3) (on se contente de DLs à l"ordre 3 car on va les multiplier parxà la fin). Pour trouver le

DL de(coshx)1x

, on doit encore composer par l"exponentielle : exp(v) =v+v22 +v36 +o(v3) avec v=x2 -x312 +o(x3) v 2=x24 +o(x3) v 3=x38 +o(x3).

On trouve donc

(coshx)1x = 1 +x2 +x28 -x316 +o(x3).

Pour la fonction initiale, ceci donne

x(coshx)1x =x+x22 +x38 -x416 +o(x4).

Exercice 3- Inverse de DL-L1/Math Sup-?

1. On poseu=x+x2, qui tend bien vers 0 lorsquextend vers 0, et on utilise

11 +u= 1-u+u2-u3+u4+o(u4).

On calcule les puissances deu, mais bien sûr on les tronque à l"ordre 4. On trouve : u=x+x2 u

2=x2+ 2x3+x4

3=x3+ 3x4+o(x4)

4=x4+o(x4)http://www.bibmath.net4

Exercices - Développements limités: corrigéAinsi, en remplaçant, on trouve

11 +x+x2= 1-x+x3-x4+o(x4).

2. On commence par calculer le DL (à l"ordre 4 simplement!) deg(x) =1cosx. Pour cela, on

remarque que g(x) =11-x22 +x424 +o(x4)=11-u avec u=x22 -x424 +o(x4) u 2=x44 +o(x4)

On déduit du DL de

11-uque

g(x) = 1 +x22 +5x424 +o(x4).

On multiplie alors ce DL avec celui du sinus :

sin(x) =x-x36 +x5120 +o(x5) et on trouve tanx=x+x33 +2x515 +o(x5).

3. A l"ordre 2, on a

cos(x) + 1 = 2-x22 +o(x2), d"où

1cosx+ 1=12

×11-x24

+o(x2)=12 +x28 +o(x2).

On multiplie ce DL par celui desinx-1

sinx-1 =-1 +x+o(x2).

On trouve finalement

sinx-12 + cosx=-12 +x2 -x28 +o(x2).

4. Ici, il faut faire un DL à l"ordre 4 du numérateur et du dénominateur car les termes enx

vont se simplifier. On trouve ln(1 +x)sinx=x-x22 +x33 -x44 +o(x4)x-x36 +o(x4)=1-x2 +x23 -x34 +o(x3)1-x26 +o(x3).http://www.bibmath.net5 Exercices - Développements limités: corrigéOn effectue ensuite le DL à l"ordre 3 de

11-x26

+o(x3)= 1 +x26 +o(x3) puis le produit et on trouve finalement ln(1 +x)sinx= 1-x2 +x22 -x33 +o(x3).

Exercice 4- DLs pas en 0!-L1/Math Sup-?

1. On posex= 2 +h, d"où

⎷2 +h=⎷2 ?1 + h2 =⎷2 1 +12 h2 -18 h2 2 +116
h2 3 +o(h3)? ⎷2 + ⎷2 4 h-⎷2 32
h2+⎷2 128
h3+o(h3).

En revenant àx, on a

⎷x=⎷2 + ⎷2 4 (x-2)-⎷2 32
(x-2)2+⎷2 128
(x-2)3+o((x-2)3).

2. On poseu=1x

, de sorte que ⎷x+ 2⎷x =⎷1 + 2u = 1 +u-u22 +u32 +o(u3) = 1 + 1x -12x2+12x3+o?1x 3?

3. On commence par écrire

ln x+?1 +x2? -lnx= ln?

1 +?1 +

1x 2?

On pose alorsu=1x

, puis on écrit, pour se ramener à un DL du logarithme en 0, ln

1 +?1 +u2?

= ln?

1 +⎷1 +u2-12

Or, ⎷1 +u2-12 =u24 -u416 +o(u4) d"où, par composition de DLS, ln

1 +?1 +u2?

=u24 -3u432 +o(u4).

Revenant à la fonction initiale, on trouve

ln x+?1 +x2? -lnx= ln2 +14x2-332x4+o?1x 4? .http://www.bibmath.net6

Exercices - Développements limités: corrigéExercice 5- Ordre le plus grand possible-L1/Math Sup-??

On écrit :11 +bx2= 1-bx2+b2x4-b3x6+o(x6)

ce qui donne, par produit

1 +ax21 +bx2= 1 + (a-b)x2+ (b2-ab)x4+ (-b3+ab2)x6+o(x6).

Finalement, le développement limité de la fonction est donné par cosx-1 +ax21 +bx2=? -a+b-12 x 2+? -b2+ab+124 x 4+? +b3-ab2-1120 x 6. Le terme d"ordre 2 disparait sib-a= 1/2, et celui d"ordre 4 disparait aussi si -b(b-a) =-124 ??b= 1/12. Dans ce cas, on trouvea=-5/12et pour ces valeurs deaetb, on trouve une partie principale de degré 6 : cosx-1 +ax21 +bx2=1480 x6.

Exercice 6- Astucieux!-L1/Math Sup-??

On écritex=?100k=1xkk!+o(x100), de sorte que

ln 99?
k=1x kk!? = ln? e x-x100100! +o(x100)? =x-ln?

1-e-x?x100100!

+o(x100)?? =x-e-xx100100! +o(e-xx100).

Maise-x= 1 +o(1), et donc

ln 99?
k=1x kk!? =x-x100100! +o(x100).quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50

[PDF] Exercices - Développements limités : corrigé Calculs de DLs

Exercice 1- Somme et produit de DLs-L1/Math Sup-?

1. Il suffit d"écrire

11-x= 1 +x+x2+x3+o(x3)

11-x-ex=x22

2. Il suffit d"écrire

3. On écrit

4. On écrit les développements limités

6. Puisqueln(1+x)≂0x, il est là aussi simplement nécessaire d"effectuer un DL deln(1+x)

écrivant

Exercice 2- Composition de DLs-L1/Math Sup-?

1. On commence par écrire

On peut donc écrire

2=x436

Il vient

4+o(x4)

écrire que

2=x2-x43

3=x3+o(x4)

4=x4+o(x4).

En remplaçant, on trouve

3. On écrit

D"autre part,

3=o(x5)

4=o(x5)

5=o(x5)

Il vient

On en déduit

Finalement, on posev=-x32

Celui deln(1 +u)est donné par

DL de(coshx)1x

On trouve donc

Pour la fonction initiale, ceci donne

Exercice 3- Inverse de DL-L1/Math Sup-?

1. On poseu=x+x2, qui tend bien vers 0 lorsquextend vers 0, et on utilise

11 +u= 1-u+u2-u3+u4+o(u4).

2=x2+ 2x3+x4

3=x3+ 3x4+o(x4)

4=x4+o(x4)http://www.bibmath.net4

11 +x+x2= 1-x+x3-x4+o(x4).

2. On commence par calculer le DL (à l"ordre 4 simplement!) deg(x) =1cosx. Pour cela, on

On déduit du DL de

11-uque

On multiplie alors ce DL avec celui du sinus :

3. A l"ordre 2, on a

1cosx+ 1=12

×11-x24

On multiplie ce DL par celui desinx-1

On trouve finalement

4. Ici, il faut faire un DL à l"ordre 4 du numérateur et du dénominateur car les termes enx

11-x26

Exercice 4- DLs pas en 0!-L1/Math Sup-?

1. On posex= 2 +h, d"où

En revenant àx, on a

2. On poseu=1x

3. On commence par écrire

1 +?1 +

On pose alorsu=1x

1 +?1 +u2?

1 +⎷1 +u2-12

1 +?1 +u2?

Revenant à la fonction initiale, on trouve

On écrit :11 +bx2= 1-bx2+b2x4-b3x6+o(x6)

1 +ax21 +bx2= 1 + (a-b)x2+ (b2-ab)x4+ (-b3+ab2)x6+o(x6).

Exercice 6- Astucieux!-L1/Math Sup-??

On écritex=?100k=1xkk!+o(x100), de sorte que

1-e-x?x100100!

Maise-x= 1 +o(1), et donc