I Tests de compréhension II Exercices PDF

Remarque : Ce n'est pas parce que admet un développement à l'ordre 2 en 0 que est 2 fois dérivable en 0. Exercice 3. Pour réel fixé on définit la

Développements limités

Développements limités. Corrections d'Arnaud Bodin. 1 Calculs. Exercice 1. Donner le développement limité en 0 des fonctions : 1. cosx·expx à l'ordre 3.

Développements limités équivalents et calculs de limites

Allez à : Correction exercice 1 Calculer le développement limité à l'ordre 2 au voisinage de 0 de la ... tend vers 0 lorsque tend vers l'infini.

Feuille dexercices no 4 — Formules de Taylor- Développements

n tend vers l'infini et calculer cette limite. Exercice 4 Donner le développement limité de f `a l'ordre 4 au point 0 ainsi qu'au point 2.

Exercices - Développements limités : corrigé Calculs de DLs

Exercice 1 - Somme et produit de DLs - L1/Math Sup - ? termes de son développement limité seront au moins multipliés par x ... l'infini).

Séries numériques

Remarque : il était inutile de faire un développement limité à l'ordre de ( ). Allez à : Exercice 9. 14. est de signe constant.

Cours danalyse 1 Licence 1er semestre

pour les exercices de TD. développement décimal infini ... (limite d'une suite continuité d'une fonction) et de rappeler les définitions élémentaires ...

I Tests de compréhension II Exercices

II Exercices. Sommes et produits de développements limités. Exercice 1. Calculez le développement limité quand x ? 0 des fonctions suivantes :.

I Tests de compréhension II Exercices

1+3x à l'ordre 2. Exercice 2. Calculez le développement limité à l'ordre 3 quand x ? 0 des fonctions suivantes : (a) (1 + x2)2 cos x. (b) ex sin(x).

Université de Rennes 1 Année 2020-2021

L1 - SPM OM 2Feuille d"exercices 1. Développements limités

I Tests de compréhension

Les tests sont à faire pour vérifier que vous comprenez le cours, les réponses se trouvent en fin de feuille

de TD.

Troncature

Test 1.Le formulaire donne la formule suivante :

sin(x) =xx33! +x55! x77! +x99! +x9"(x);limx!0"(x) = 0 (a)

En déduire un dév eloppementlimité à l"ordre 5 de sin(x)quandx!0, et donner sa partie régulière.

(b)

Même ques tionà l"ordre 4.

Test 2.Donner le développement limité d"ordre2en0du polynômeP(x) =x42x3+ 5x23. Test 3.Trouver un exemple de fonctionfdont le développement limité à l"ordre 2 en0est f(x) = 7 + 13x24x2+x2"(x)

Substitution

Test 4.Donner le développement limité en0des fonctions suivantes (a)ln(1 +x)etln(1x);à l"ordre3(b)2cos(x)etcos(2x);à l"ordre3

Test 5.Donner le développement limité en0de

(a)

3p1 + 3xà l"ordre2(b)4p1 +x2à l"ordre4

Test 6.Soitf(x) = 1 +xx2+x2"(x):Déterminer le développement limité à l"ordre maximum possible

en0def(x3). Test 7.A l"aide de développements limités, déterminerlimx!0ln(1 +x)sinxII Exercices Sommes et produits de développements limités Exercice 1.Calculez le développement limité quandx!0des fonctions suivantes : (a)sin(2x)2cos(x);à l"ordre4(b)(x+x2)2+ cos(x);à l"ordre3 (c)p1 + 2x3p1 + 3x;à l"ordre2

Indications.Utilisez le formulaire des développements limités des fonctions standard. Profitez-en pour

les apprendre par coeur!

Solution.

(a) Cette première question est l"occasion de détailler pas à pas la résolution d"un tel exercice, afin de bien

comprendre les mécaniques de raisonnement et de calcul à mettre en oeuvre. Dans les questions suivantes,

nous irons un peu plus vite et rédigerons les solutions au niveau de détail qu"il faut que vous maîtrisiez.

La première étape du calcul ici est de déterminer le développement limité de chacune des fonctions à

l"ordre 4. Il suffira de sommer ensuite le résultat. 1

On sait que (voir formulaire), pour toutk2N,

sin(u) =u16 u3+1120 u5+:::+(1)k(2k+ 1)!u2k+1+u2k+1"1(u);

où la fonction"1(u)tend vers 0 lorsqueutend vers 0. On veut ici arrêter le développement à l"ordre 4. On

remarque (et c"est parce que la fonction sinus est impaire) que le terme enu4est absent du DL précédent.

Cela signifie simplement que son coefficient est nul. Ainsi le DL à l"ordre 4 qui nous intéresse s"écrit :

sin(u) =u16 u3+u4"2(u);aveclimu!0"2(u) = 0: Mais dans cet exercice, nous cherchons le DL de la fonctionsin(2x)(et non simplementsin(x)) lorsque x!0. Comme2xtend vers 0 lorsquextend vers 0, il suffit donc de poseru= 2xdans le DL précédent pour obtenir : sin(2x) = 2x236 x3+ 24x4"2(2x) = 2x43 x3+ 16x4"2(2x):

Enfin, et ce afin de ne pas traîner des facteurs numériques superflus dans les expressions que nous manipulons,

il est pratique de poser"3(x) = 16"2(2x)et l"on obtient finalement : sin(2x) = 2x43 x3+x4"3(x);aveclimx!0"3(x) = 0: Pour la fonction cosinus, on sait que (voir formulaire), pour toutk2N, cos(u) = 112 u2+124 u41720 u6+:::+1(2k)!(1)ku2k+u2k"4(u);

où la fonction"4(u)tend vers 0 lorsqueutend vers 0. En s"arrêtant à l"ordre 4, et en posant simplement

u=xon écrit : cos(x) = 112 x2+124 x4+x4"5(x);aveclimx!0"5(x) = 0:

Finalement on obtient :

sin(2x)2cos(x) = 2x43 x3+x4"3(x)2 112
x2+124 x4+x4"5(x) soit après simplification et regroupement des termes de même degré : sin(2x)2cos(x) =2 + 2x+x243 x3112 x4+x4"(x);aveclimx!0"(x) = 0; et où l"on a posé"(x) ="3(x)2"5(x)qui a bien la limite voulue en 0.

(b) Nous allons appliquer la même démarche que précédemment (et aller beaucoup plus vite). On déve-

loppe l"expression polynomiale :(x+x2)2=x2+2x3+x4, son DL à l"ordre 3 est doncx2+2x3+x3"1(x)où

la fonction"1(x)tend vers 0 lorsquextend vers 0. On remarque ici que la fonction"1est tout simplement

donnée par :"1(x) =x. De même (cf formulaire),cos(x) = 1x2=2 +x3"2(x)oùlimx!0"2(x) = 0. On remarque également que la fonction cosinus étant paire, le terme d"ordre 3 est absent du DL, son coefficient est nul. En sommant les deux DL obtenus et en regroupant les termes de même degré, on obtient : (x+x2)2+ cos(x) = 1 +12 x2+ 2x3+x3"(x); où l"on a posé"(x) ="1(x) +"2(x)de sorte quelimx!0"(x) = 0. (c) Ici on utilise la formule (voir formulaire) : pour toutk2N, (1 +u)= 1 +u+(1)2 u2+:::+(1)(k+ 1)k!uk+uk"1(u); oùlimu!0"1(u) = 0. On va prendre= 1=2et= 1=3respectivement pour les premier et deuxième termes qui nous intéressent ici. On a alors p1 +u= (1 +u)1=2= 1 +u=2u2=8 +u2"1(u) et

3p1 +v= (1 +v)1=3= 1 +v=3v2=9 +v2"3(v)

2 aveclimu!0"1(u) = limv!0"2(v) = 0. On pose finalementu= 2xetv= 3x(qui tendent bien vers0quand x!0) pour obtenir après simplification et regroupement : p1 + 2x3p1 + 3x= 1 +x12 x2+ 4x2"1(2x)1 +xx2+ 9x2"2(3x)=12 x2+x2"(x)

avec"(x) = 4"1(2x)9"2(3x)qui tend vers 0 lorsquex!0.Exercice 2.Calculez le développement limité à l"ordre 3 quandx!0des fonctions suivantes :

(a)(1 +x2)2cosx(b)exsin(x)(c)cos2x(d)e2xln(1 +x)

Indications.Pour déterminer le DL d"un produit de fonctions il suffit de calculer le produit des DL

respectifs en allant à l"ordre cherché pour chacune des deux fonctions. On tronque ensuite le produit obtenu

toujours à ce même ordre.

Solution.

(a) On écrit donc (1 +x2)2= 1 + 2x2+x3"1(x);aveclimx!0"1(x) = 0; d"une part et cosx= 1x22 +x3"2(x);aveclimx!0"2(x) = 0;

d"autre part. On remarque que dans les deux cas, le terme enx3du DL est absent car son coefficient est nul,

mais ce sont bien des DL à l"ordre 3 que nous avons écrit.

On multiplie ensuite ces deux expressions entre elles en ne gardant que les termes d"ordre au plus 3, le

reste étant absorbé dans la définition d"une nouvelle fonction"(x)qui tend vers 0 lorsquex!0:

(1 +x2)2cosx=1 + 2x2+x3"1(x)1x2=2 +x3"2(x) = 1 + 2x2+x3"1(x)x2=21 + 2x2+x3"1(x)+x3"2(x)1 + 2x2+x3"1(x) = 1 + 2x2+x3"1(x)x2=2x4x5"1(x)=2 +x3"2(x) + 2x5"2(x) +x6"1(x)"2(x) = 1 + 3x2=2 +x3"(x):

Avec, si l"on veut détailler les calculs (ce qui n"est pas demandé!),"(x) =x+"1(x)x2"1(x)=2 +"2(x) +

2x2"2(x) +x3"1(x)"2(x).

(b) Avec la même méthode que précédemment : e xsin(x) =1 +x+x2=2 +x3=6 +x3"1(x)xx3=6 +x3"2(x) =x+x2+x3=3 +x3"(x):

où la fonction"regroupe les fonctions"1et"2ainsi que tous les termes (après factorisation parx3) d"ordres

1 et supérieurs et tend de fait vers 0 lorsquextend vers 0.

2(x) =1x2=2 +x3"1(x)2

= 1x2+x3"(x); oùlimx!0"(x) = 0. (d) Et toujours avec la même méthode : e

2xln(1 +x) =1 + 2x+ (2x)2=2 + (2x)3=6 +x3"1(x)xx2=2 +x3=3 +x3"2(x)

=x+ 3x2=2 + 4x3=3 +x3"(x);

oùlimx!0"(x) = 0.Exercice 3(Pour aller plus loin).Calculer le développement limité en0def(x)g(x)à l"ordre maximum

possible, sachant que :f(x) =xx2+x2"1(x),limx!0"1(x) = 0, etg(x) = 2x+x2+x2"2(x),limx!0"2(x) = 0. 3

Indications.En général, l"ordre maximum possible est donné par le plus petit ordre disponible dans

chacun des termes du produit. Ici on peut faire mieux.

Solution.Le DL des fonctionsfetgétant donné chacun à l"ordre 2, nous pouvons a priori déterminer

le DL def(x)g(x)à cet ordre. Cependant, remarquons quef(x) =x(1x+x"1(x))et queg(x) =

x(2 +x+x"2(x)). Ainsi le produit des termes entre parenthèse, qui sont chacun d"ordre 1, donne un DL

que l"on doit tronquer à l"ordre 1, mais comme l"ensemble est multiplié pârx2, le DL defgobtenu est

finalement d"ordre 3. En détail, cela donne : f(x)g(x) =xx2+x2"1(x)2x+x2+x2"2(x) =x2[1x+x"1(x)][2 +x+x"2(x)] =x2[2x+x"(x)] = 2x2x3+x3"(x);

où"(x)regroupe les termes contenant les fonctions"1(x)et"2(x)ainsi que les termes (après factorisation

parx3) d"ordre 1 et supérieurs, etlimx!0"(x) = 0.Se ramener à des développements limités connus

Exercice 4(Attention au piège).On veut calculer le développement limité dee1+xà l"ordre 2 quand

x!0. (a) Que v a-t-onobtenir si on fait la substitution u= 1 +xdans le développement limité deeuen0? (b)

En utilisan tque ea+b=eaeb, déterminer le développement limité dee1+xà l"ordre 2 quandx!0.

Indications.Attention : un développement limité fait intervenir les puissances successives d"une quantité

(peu importe qu"on l"appellex,u, ou autre chose...) qui, par construction, doit être " petite », en d"autres

termes, qui doit tendre vers 0. Ici la quantitéu= 1 +xtend-elle vers 0 lorsquextend vers 0? Solution.(a) Le DL de la fonction exponentielle donneeu= 1+u+u2=2+u2"(u)aveclimu!0"(u)=0, donc e

1+x= 1 + (1 +x) + (1 +x)2=2 + (1 +x)2"(1 +x)

Ce n"est pas un développement limité! Dans le terme de reste(1+x)2"(1+x), le facteur"(1+x)ne tend

pas vers 0 quandx!0, et on a développé en puissance du facteur(1 +x)qui ne tend pas vers 0 lorsque

x!0... Important: Pour substituerxàu, on doit avoirx!0siu!0.

(b) On veut se ramener à la fonctionexdont on connaît le DL en 0. On écrit donce1+x=e1ex=eex.

Il y a simplement un facteure(c"est un nombree'2;71828:::) devant la fonction exponentielle. On obtient

donce1+x=e(1 +x+x2=2 +x2"1(x)) (aveclimx!0"1(x) = 0) =e+ex+ex2=2 +x2"(x) oùlimx!0"(x) = 0en ayant posé"(x) =e"1(x). Commentaire.La moindre des choses est que le coefficient constant du DL soit la limite en0de la

fonction. Ici, quandx!0,e1+x!e, c"est bien le terme constant du DL obtenu en (b).Exercice 5(Exercice important).Calculer les développements limités suivants à l"ordre 2 quandx!0en

se ramenant à des DL connus : (a)

14 + 3x(b)3x2(c)p2 +x

(d)

3p2 + 3x(e)ln(5 + 3x)(f)e3+2x

Solution.

(a)

14+3x=14(1+

34
x)=14

11+upouru=3x4

qui tend bien vers0quandx!0.

On connait le développement limité de

11+uau voisinage de 0 à l"ordre 2, donné par

11 +u= 1u+u2+u2"(u)

Par substitution deupar sa valeur, on obtient

11 +u= 134

x+916 x2+916 x2"(34 x) = 134 x+916 x2+x2"1(x)

Multipliant par

14 , on obtient

14 + 3x= 1316

x+964 x2+x2"2(x) (b)

3x2=32(1x2

)=32quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50

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Université de Rennes 1 Année 2020-2021

I Tests de compréhension

Troncature

Test 1.Le formulaire donne la formule suivante :

Même ques tionà l"ordre 4.

Substitution

Test 5.Donner le développement limité en0de

3p1 + 3xà l"ordre2(b)4p1 +x2à l"ordre4

Solution.

On sait que (voir formulaire), pour toutk2N,

Finalement on obtient :

3p1 +v= (1 +v)1=3= 1 +v=3v2=9 +v2"3(v)

Solution.

2x2"2(x) +x3"1(x)"2(x).

1 et supérieurs et tend de fait vers 0 lorsquextend vers 0.

2(x) =1x2=2 +x3"1(x)2

2xln(1 +x) =1 + 2x+ (2x)2=2 + (2x)3=6 +x3"1(x)xx2=2 +x3=3 +x3"2(x)

1+x= 1 + (1 +x) + (1 +x)2=2 + (1 +x)2"(1 +x)

14 + 3x(b)3x2(c)p2 +x

3p2 + 3x(e)ln(5 + 3x)(f)e3+2x

Solution.

14+3x=14(1+

11+upouru=3x4

On connait le développement limité de

11+uau voisinage de 0 à l"ordre 2, donné par

11 +u= 1u+u2+u2"(u)

Par substitution deupar sa valeur, on obtient

11 +u= 134

Multipliant par

14 + 3x= 1316

3x2=32(1x2