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EXERCICE 5 : corrigé
1) a)Soitnun entier naturel.
u n+1=zn+1-(4 + 2i) =12izn+ 5-4-2i=12izn-(-1 + 2i) =12i(((
zn--1 + 2i1 2i))) 1 2i? z n-2(-1 + 2i)i? =12i? z n-2(-1 + 2i)(-i)i(-i)? =12i(zn-2(-1 + 2i)(-i)) 12i(zn-(2i+ 4)) =12iun.
b)Montrons par récurrence que pour tout tout entier natureln,un=?1 2i? n (-4-2i). •u0=z0-(4 + 2i) =-4-2i=?1 2i? 0 (-4-2i). L"égalité est donc vraie quandn= 0. •Soitn?0. Supposons queun=?1 2i? n (-4-2i). Alors u n+1=12iun(d"après la question a))
12i×?12i?
n (-4-2i) (par hypothèse de récurrence) ?1 2i? n+1 (-4-2i). On a montré par récurrence que pour tout entier natureln,un=?1 2i? n (-4-2i).2)Soitnun entier naturel. L"affixe du vecteur---→AMnest
zAMn=zn-zA=un=?1
2i? n (-4-2i).On en déduit que
zAMn+4=?1
2i? n+4 (-4-2i) =?12i? 4×?12i?
n (-4-2i) =116z---→AMn.Par suite,
AMn+4=1
16---→AM
n. Ainsi, les vecteurs---→AMnet-----→AMn+4sont colinéaires ou encore les pointsA,MnetMn+4sont alignés. http ://www.maths-france.fr 1c?Jean-Louis Rouget, 2016. Tous droits réservés.quotesdbs_dbs28.pdfusesText_34[PDF] liban 2016 svt
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