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EXERCICE 5 : corrigé

1) a)Soitnun entier naturel.

u n+1=zn+1-(4 + 2i) =1

2izn+ 5-4-2i=12izn-(-1 + 2i) =12i(((

zn--1 + 2i1 2i))) 1 2i? z n-2(-1 + 2i)i? =12i? z n-2(-1 + 2i)(-i)i(-i)? =12i(zn-2(-1 + 2i)(-i)) 1

2i(zn-(2i+ 4)) =12iun.

b)Montrons par récurrence que pour tout tout entier natureln,un=?1 2i? n (-4-2i). •u0=z0-(4 + 2i) =-4-2i=?1 2i? 0 (-4-2i). L"égalité est donc vraie quandn= 0. •Soitn?0. Supposons queun=?1 2i? n (-4-2i). Alors u n+1=1

2iun(d"après la question a))

1

2i×?12i?

n (-4-2i) (par hypothèse de récurrence) ?1 2i? n+1 (-4-2i). On a montré par récurrence que pour tout entier natureln,un=?1 2i? n (-4-2i).

2)Soitnun entier naturel. L"affixe du vecteur---→AMnest

z

AMn=zn-zA=un=?1

2i? n (-4-2i).

On en déduit que

z

AMn+4=?1

2i? n+4 (-4-2i) =?12i? 4

×?12i?

n (-4-2i) =116z---→AMn.

Par suite,

AMn+4=1

16---→AM

n. Ainsi, les vecteurs---→AMnet-----→AMn+4sont colinéaires ou encore les pointsA,MnetMn+4sont alignés. http ://www.maths-france.fr 1c?Jean-Louis Rouget, 2016. Tous droits réservés.quotesdbs_dbs28.pdfusesText_34
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