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Exercice 5 3 points
On considère la suite (zn) de nombres complexes définie pour tout entier naturel n par : {z0=0 zn+1=12izn+5
Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on note Mn le point d'affixe zn. On considère le nombre complexe zA=4+2i et A le point d'affixe zA.1. Soit (un) la suite définie pour tout entiernaturel n par : un=zn-zA
a. Montrer que, pour tout entier naturel n, un+1=12i×un.
b. Démontrer que, pour tout entier naturel n : un= (1 2i)n (-4-2i)2. Démontrer que, pour tout entier naturel n, les points A, Mn et
Mn+4 sont alignés.
S LIBAN mai 2016
CORRECTION
1. Pour tout entier naturel n, un=zn-zA (donc zn=un+zA)
a. Pour tout entier naturel n : un+1=zn+1-zA=12i×zn+5-4-2i=1
2i(un+4+2i)+1-2i=1
2i×un+2i-1+1-2i
un+1=12i×un
b. Remarque L'étude des suites géométriques dans l'ensembles des nombres n'est pas au programme de TS. Alors on effectue un raisonnement par récurrence pour démontrer le résultat demandé. On veut démontrer en utilisant un raisonnement par récurrence que pour tout entier naturel n un=(1 2i)n (-4-2i) Initialisation u0=z0-zA=0-4-2i=-4-2i On admet que (1 2i)0 =1 et (1 2i)0 (-4-2i)=1×(-4-2i)=-4-2iLa propriété est vérifiée pour n=0.
Hérédité
Pour démontrer que la propriété est héréditaire pour tout entier naturel n, on suppose que
un=(1 2i)n (-4-2i) et on doit démontrer que un+1=(12i)n+1
(-4-2i) ; un+1= (12i)×un=(1
2i)×[(1
2i)n (-4-2i)]=(12i)n+1
(-4-2i)Conclusion
Le principe de récurrence nous permet d'affirmer que pour tout entier naturel n, on a : un= (1 2i)n (-4-2i)2. A(4+2i), Mn(zn) et Mn+4(zn+4)
⃗AMn(un) ⃗AMn+4(un+4) un+4= (12i)n+4
(-4-2i)=(1 2i)4×(1
2i)n (-4-2i)=(1 2i)4 un=1 16un donc ⃗AMn+4=116⃗AMn
Conclusion
Les points A, Mn et Mn+4 sont alignés.
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