NOMBRES de MERSENNE (1588-1648)
- 1 est premier alors n est premier. On voit tout d'abord que a ? 0 et a ? 1 car -1 et 0 ne sont pas premiers. Comme a
Nombres de Mersenne et de Fermat Notes et solutions
Démonstration du corollaire 2. Si n = pq alors 2n ? 1 = (2p) q ? 1 est divisible par 2p ? 1. Si n n'est pas premier alors il existe un entier p tel que n
Exercices de mathématiques - Exo7
Montrer que si p est premier et 8p2 +1 est premier alors 8p2 ?1 est premier. Correction ?. [005297]. Exercice 8 **I. 1. Montrer que ?(kn) ? (N?)2
Les nombres premiers - Lycée dAdultes
22 juil. 2015 Théorème 1 : Tout entier naturel n n ? 2
M2 EFM
Montrer que si an + 1 est premier alors a est pair et n est une puissance de 2. Exercice 18. Critère de Pépin (Test de primalité des nombres de Fermat) [Dem97.
NOMBRES PREMIERS
1 n'est pas premier il admet un seul diviseur. • 2 est un Si n n'est divisible par aucun entier p premier tel que 2 ? p ? ?n
PGCD ET NOMBRES PREMIERS
1. PGCD ET NOMBRES PREMIERS. I. PGCD de deux entiers Si D un diviseur de b et r alors D divise a = bq + r et donc D est un diviseur de a et b.
Arithmétique dans Z
Exercice 16. Soit p un nombre premier. 1. Montrer que ?i ? N0 < i < p on a : Ci p est divisible par
M1MI2016 Codes et Cryptologie Feuille dexercices n 1.
2. Si pgcd(a b)=1 et si pgcd(a
Cours darithmétique
nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux `a n an a0 ... Si a et b sont deux entiers tels que an
[PDF] Les nombres premiers - Lycée dAdultes
22 juil 2015 · Théorème 1 : Tout entier naturel n n ? 2 admet un diviseur premier Si n n'est pas premier alors il admet un diviseur premier p tel que
[PDF] chapitre 1 : divisibilité et premiers
T(n) : Si n ? 2 alors n est un produit de nombres premiers Il y a plusieurs formes variantes de la récurrence La récurrence simple Si on montre T(1) et
[PDF] chapitre 3 : congruences et arithmétique modulaire
Si a et n sont premiers entre eux alors il existe une solution x de ax ? b (mod n) et c'est unique modulo n Existence On cherche une relation de Bezout 7u
[PDF] PGCD ET NOMBRES PREMIERS - maths et tiques
Propriétés : Soit a et b deux entiers naturels non nuls a) PGCD(a ; 0) = a b) PGCD(a ; 1) = 1 c) Si b divise a alors PGCD(a ; b) = b Démonstration de c :
[PDF] MULTIPLES DIVISEURS NOMBRES PREMIERS - maths et tiques
Remarque : Le nombre 1 n'est pas premier car il n'a qu'un seul diviseur Méthode : Démontrer qu'un nombre est premier Vidéo https://youtu be/kLs0TiIz7lc
[PDF] Arithmétique - Exo7 - Exercices de mathématiques
Montrer que si p est premier et 8p2 +1 est premier alors 8p2 ?1 est premier Correction ? [005297] Exercice 8 **I 1 Montrer que ?(kn) ? (N?)2
[PDF] Cours darithmétique
nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux `a n an a0 Si a et b sont deux entiers tels que anbn pour un entier n ? 1 alors ab
[PDF] Concepts de base en arithmétique
La division Euclidienne permet de tester si un entier est divisible par un autre Soient a et b deux entiers tels que b ? 1 Alors il existe un et un seul
[PDF] 1´Enoncé
De mani`ere plus générale on peut montrer que si a et b sont deux entiers premiers entre eux alors il existe une infinité de nombres premiers de la forme an + b
[PDF] Nombres premiers
2 Soit n > 1 n non premier n admet donc un diviseur d autre que 1 et n En effet si p1 divisait k comme p1 divise le produit p1p2 pn alors p1
Cours d"arithm´etique
Premi`ere partie
PierreBornsztein
XavierCaruso
PierreNolin
MehdiTibouchi
D´ecembre 2004
Ce document est la premi`ere partie d"un cours d"arithm´etique ´ecrit pour les ´el`eves pr´e-
parant les olympiades internationales de math´ematiques. Le plan complet de ce cours est :1. Premiers concepts
2. Division euclidienne et cons´equences
3. Congruences
4.´Equations diophantiennes
5. Structure deZ/nZ
6. Sommes de carr´es
7. Polynˆomes `a coefficients entiers
8. Fractions continues
Cette premi`ere partie traite les quatre premiers chapitres. Les quatre derniers chapitres forment quant `a eux la deuxi`eme partie de ce cours. Contrairement `a la seconde partie, cette premi`ere partie se veut le plus ´el´ementairepossible. Les notions abstraites, souvent plus difficiles `a assimiler, mais qui clarifient les id´ees
lorsqu"elles sont comprises, ne sont ´evoqu´ees que dans la seconde partie. Nous conseillons au lecteur de bien maˆıtriser ce premier tome avant de passer `a la lecture du second.Les notions et les th´eor`emes introduits ici sont g´en´eralement tout `a fait suffisants pour
traiter les exercices propos´ees aux olympiades internationales de math´ematiques.Vous trouverez `a la fin de chaque chapitre une s´erie d"exercices de difficult´e variable mais
indiqu´ee par des ´etoiles1. Toutes les solutions sont rassembl´ees `a la fin du document.
Nous vous souhaitons bon apprentissage et bonne lecture. 1 Plus nous avons jug´e l"exercice difficile, plus le nombre d"´etoiles est important. 1Liste des abbr´evations :
AMM American Mathematical Monthly
APMO The Asian Pacific Mathematics Olympiad
CG Concours g´en´eral
OIM Olympiades Internationales de Math´ematiquesSL Short List
TDV Tournoi Des Villes
Liste des notations :
?ensemble videNensemble des entiers naturels (positifs ou nuls)
N ?ensemble des entiers naturels strictement positifsZensemble des entiers relatifs
Qensemble des nombres rationnels
Rensemble des nombres r´eelsPsymbˆole de sommation2Qsymbˆole de produit3 a|b adiviseb [x]partie enti`ere dex {x}partie d´ecimale dex pgcdplus grand commun diviseur a?bpgcd(a,b) ppcmplus petit commun multiple a?bppcm(a,b) a≡b(modN)aest congru `abmoduloN pun nombre premier v p(n)valuationp-adique den d(n)nombre de diviseurs positifs denσ(n)somme des diviseurs positifs den
?fonction indicatrice d"Euler s b(n)somme des chiffres denen baseb π(n)nombre de nombres premiers inf´erieurs ou ´egaux `an a n...a0b´ecriture en baseb n!factorielle den:n! = 1×2× ··· ×n C k ncoefficient binomial : Ck n=n! k!(n-k)! u n≂vnles suites(un)et(vn)sont ´equivalentes 2 Une somme index´ee par l"ensemble vide est ´egale `a0.3Un produit index´e par l"ensemble vide est ´egale `a1.
2Table des mati`eres
1 Premiers concepts 4
1.1 Divisibilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Valuationp-adique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4 Quelques fonctions arithm´etiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5 Nombres rationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 Division euclidienne et cons´equences 24
2.1 Division euclidienne et d´ecomposition en baseb. . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2 Algorithme d"Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3 Algorithme d"Euclide ´etendu et th´eor`eme de B´ezout . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4 Lemme de Gauss et cons´equences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3 Congruences 37
3.1 D´efinition, premi`eres propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2 Crit`eres de divisibilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3 Ordre d"un ´el´ement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.4 Th´eor`eme chinois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.5 Congruences modulop. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.6 Congruences modulopn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.7 Coefficients binomiaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4´Equations diophantiennes 56
4.1 Quelques r´eflexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.2 Utilisation des congruences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.3 Descente infinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.4´Equations de degr´e2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.5´Equations de degr´e3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5 Corrig´e des exercices 75
5.1 Exercices de"Premiers concepts». . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.2 Exercices de"Division euclidienne et cons´equences». . . . . . . . . . . . . 103
5.3 Exercices de"Congruences». . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.4 Exercices de"´Equations diophantiennes». . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
31 Premiers concepts
Cette section, comme son nom l"indique, pr´esente le concept de base de l"arithm´etique,`a savoir la divisibilit´e. On introduit ensuite les nombres premiers ce qui permet d"´enoncer le
th´eor`eme fondamental de l"arithm´etique (c"est-`a-dire la d´ecomposition en facteurs premiers)
dans lequel les nombres premiers jouent le rˆole de briques ´el´ementaires pour la fabrication
des nombres.1.1 Divisibilit´e
D´efinition 1.1.1Siaetbsont deux entiers, on dit queadiviseb, ou quebestdivisible para, s"il existe un entierqtel queb=aq. On dit encore queaest undiviseurdeb, ou que best unmultipledea. On le notea|b.Propri´et´es
+Siaetbsont deux entiers avecb?= 0,bdiviseasi et seulement si la fractiona b est un entier. +Tous les entiers divisent0, et sont divisibles par1. +Un entiernest toujours divisible par1,-1,net-n. +Sia|b, etb|c, alorsa|c. +Sia|b1,b2,...,bn, alorsa|b1c1+b2c2+...+bncn, quels que soient les entiersc1,c2,...,cn. +Siadivisebetb?= 0, alors|a|6|b|. +Siadivisebetbdivisea, alorsa=±b. +Siaetbsont deux entiers tels quean|bnpour un entiern>1, alorsa|b.Toutes les propri´et´es list´ees pr´ec´edemment sont imm´ediates, `a l"exception de la derni`ere dont
la d´emonstration n"est pas triviale sans bagage arithm´etique. Une preuve possible consiste`a utiliser la caract´erisation de la divisibilit´e par les valuationsp-adiques (voir paragraphe
1.3). Voyons imm´ediatement deux exercices qui montrent comment on peut manipuler la no- tion de divisibilit´e :Exercice
: Soientxetydes entiers. Montrer que2x+ 3yest divisible par7si et seulement si5x+ 4yl"est.Solution
: Supposons que7divise2x+3y, alors il divise6(2x+ 3y)-7(x+ 2y) = 5x+4y. R´eciproquement si7divise5x+ 4y, il divise6(5x+ 4y)-7(4x+ 3y) = 2x+ 3y.⎷Exercice
: Pour quels entiersnstrictement positifs, le nombren2+ 1divise-t-iln+ 1?Solution
: Sin2+1divisen+1, comme tout est positif, on doit avoirn2+16n+1, ce qui n"est v´erifi´e que pourn= 1. On v´erifie ensuite quen= 1est bien solution.⎷ 4Parties enti`eres
D´efinition 1.1.2Sixest un r´eel, on appellepartie enti`eredex, et on note[x], le plus grand entier inf´erieur ou ´egal `ax. Ainsi, on a[x]6x <[x] + 1. Remarque.On d´efinit aussi lapartie d´ecimaledex, comme la diff´erencex-[x]. La partied´ecimale dexest souvent not´ee{x}. Cette notion est moins utilis´ee que la notion de partie
enti`ere et les conventions de notations sont moins usuelles `a ce propos : lors d"un exercice,ou d"un expos´e, il est toujours de bon goˆut de commencer par pr´eciser les notations qui vont
ˆetre employ´ees par la suite.
Notons qu"il fautˆetre prudent avec les nombres n´egatifs : autant pour les nombres positifs, la partie enti`ere correspond au nombre auquel on retire ses chiffres apr`es la virgule, autantce n"est pas le cas pour les nombres n´egatifs. En effet, si on suit la d´efinition, on voit par
exemple que[-3,5] =-4.Les parties enti`eres et parties d´ecimales ob´eissent `a quelques propri´et´es ´el´ementaires que
nous listons ci-dessous :Propri´et´es ´el´ementaires
+On a toujoursx= [x] +{x}. +Pour tout r´eelx, on ax-1<[x]6x +Sixest entier,[x] =xet{x}= 0. Et r´eciproquement si l"une des deux ´egalit´es est v´erifi´ee, alorsxest entier. +[-x] =-[x]-1sauf sixest entier, auquel cas[-x] =-[x]. +Sixetysont deux r´eels,[x] + [y]6[x+y]6[x] + [y] + 1. +Sim >0est un entier, alors il y a exactement[x m ]multiples demcompris entre1et x.La d´emonstration des propri´et´es consiste en de simples manipulations de la d´efinition et
principalement de l"in´egalit´e[x]6x <[x] + 1. Elle est laiss´ee au lecteur. On remarquera que tr`es souvent les questions faisant intervenir des parties enti`eres se r´esument `a de la manipulation d"in´egalit´es comme le montre par exemple l"exercice suivant :Exercice
: On suppose que4n+ 2n"est pas le carr´e d"un nombre entier. Montrer que pour n>0, on a :h⎷ n+⎷ n+ 1i =h⎷4n+ 2i
Solution
: Remarquons tout d"abord que l"on a toujours l"in´egalit´e : n+⎷ n+ 1<⎷ 4n+ 2 En effet, en ´elevant au carr´e, on a `a comparer2n+ 1 + 2⎷ n2+net4n+ 2, soit2⎷
n 2+net2n+ 1et l"in´egalit´e devient ´evidente apr`es une nouvelle ´el´evation au carr´e.
Il reste `a prouver qu"il n"existe aucun entierktel que : n+⎷ n+ 1< k6⎷ 4n+ 2 5 soit, encore en ´elevant au carr´e qu"il n"existe aucun entierktel que :2n+ 1 + 2⎷
n2+n < k264n+ 2
Mais il est clair que4n+ 1<2n+ 1 + 2⎷
quotesdbs_dbs41.pdfusesText_41[PDF] français vacances statistiques 2016
[PDF] tourisme français ? l'étranger
[PDF] ou partent les français en vacances
[PDF] pourcentage de français qui partent en vacances ? l'étranger
[PDF] nombre marche tour eiffel 2 etage
[PDF] hauteur tour eiffel 1er etage
[PDF] 1 etage combien de marches
[PDF] combien de marches pour monter au deuxième étage de la tour eiffel
[PDF] fonction logarithme bac pro exercice
[PDF] nombre de molécules dans 1 litre d'air
[PDF] nombre d'atomes sur terre
[PDF] pv=nrt
[PDF] liste segpa meurthe et moselle
[PDF] erea briey telephone