NOMBRES de MERSENNE (1588-1648)
- 1 est premier alors n est premier. On voit tout d'abord que a ? 0 et a ? 1 car -1 et 0 ne sont pas premiers. Comme a
Nombres de Mersenne et de Fermat Notes et solutions
Démonstration du corollaire 2. Si n = pq alors 2n ? 1 = (2p) q ? 1 est divisible par 2p ? 1. Si n n'est pas premier alors il existe un entier p tel que n
Exercices de mathématiques - Exo7
Montrer que si p est premier et 8p2 +1 est premier alors 8p2 ?1 est premier. Correction ?. [005297]. Exercice 8 **I. 1. Montrer que ?(kn) ? (N?)2
Les nombres premiers - Lycée dAdultes
22 juil. 2015 Théorème 1 : Tout entier naturel n n ? 2
M2 EFM
Montrer que si an + 1 est premier alors a est pair et n est une puissance de 2. Exercice 18. Critère de Pépin (Test de primalité des nombres de Fermat) [Dem97.
NOMBRES PREMIERS
1 n'est pas premier il admet un seul diviseur. • 2 est un Si n n'est divisible par aucun entier p premier tel que 2 ? p ? ?n
PGCD ET NOMBRES PREMIERS
1. PGCD ET NOMBRES PREMIERS. I. PGCD de deux entiers Si D un diviseur de b et r alors D divise a = bq + r et donc D est un diviseur de a et b.
Arithmétique dans Z
Exercice 16. Soit p un nombre premier. 1. Montrer que ?i ? N0 < i < p on a : Ci p est divisible par
M1MI2016 Codes et Cryptologie Feuille dexercices n 1.
2. Si pgcd(a b)=1 et si pgcd(a
Cours darithmétique
nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux `a n an a0 ... Si a et b sont deux entiers tels que an
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T(n) : Si n ? 2 alors n est un produit de nombres premiers Il y a plusieurs formes variantes de la récurrence La récurrence simple Si on montre T(1) et
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Si a et n sont premiers entre eux alors il existe une solution x de ax ? b (mod n) et c'est unique modulo n Existence On cherche une relation de Bezout 7u
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Propriétés : Soit a et b deux entiers naturels non nuls a) PGCD(a ; 0) = a b) PGCD(a ; 1) = 1 c) Si b divise a alors PGCD(a ; b) = b Démonstration de c :
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Remarque : Le nombre 1 n'est pas premier car il n'a qu'un seul diviseur Méthode : Démontrer qu'un nombre est premier Vidéo https://youtu be/kLs0TiIz7lc
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Montrer que si p est premier et 8p2 +1 est premier alors 8p2 ?1 est premier Correction ? [005297] Exercice 8 **I 1 Montrer que ?(kn) ? (N?)2
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nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux `a n an a0 Si a et b sont deux entiers tels que anbn pour un entier n ? 1 alors ab
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La division Euclidienne permet de tester si un entier est divisible par un autre Soient a et b deux entiers tels que b ? 1 Alors il existe un et un seul
[PDF] 1´Enoncé
De mani`ere plus générale on peut montrer que si a et b sont deux entiers premiers entre eux alors il existe une infinité de nombres premiers de la forme an + b
[PDF] Nombres premiers
2 Soit n > 1 n non premier n admet donc un diviseur d autre que 1 et n En effet si p1 divisait k comme p1 divise le produit p1p2 pn alors p1
Nombres premiers
Table des matières
I Activités1 et3 page 391
II Définitions etexemples:1
III Théorème fondamental de l"arithmétique3 IV Liste des nombres premiers inférieurs à 1000 :5I Activités1 et 3 page 39
II Définitions et exemples:
Définition
On dit qu"un entier naturelnest premier s"il admet exactement deux diviseurs entiers naturels distincts : 1
etn. Remarque :les premiers entiers naturels premiers sont : 2, 3, 5, 7, 11...Remarque
Ne pas confondre entiers premiers et entiers premiers entreeuxExemple :14 et 15 sont premiers entre eux (aucun diviseur commun), mais aucun des deux n"est premier.
Théorème :
1. Tout entier natureln?2 admet au moins un diviseur premier.
n3. L"ensemblePdes nombres premiers est infini.
Démonstration :
1. Supposonsn≥2.
1 Sinest premier, commenest un diviseur de lui-même, c"est clair.Supposonsnnon premier.
On considère l"ensemble des diviseurs den.
On rappelle que toute partie non vide deNadmet un plus petit élément. L"ensemble des diviseurs dendistincts denest non vide (il contient au moins un diviseur propre (?=n) den), donc admet un plus petit élémentp. Soitdun diviseur dep, différent de 1. (dexiste, par exemplep).On en déduit qued=p, donc quepest premier.
2. Soitn>1,nnon premier.nadmet donc un diviseurdautre que 1 etn.
Il existed?entier non nul tel quen=dd?.
d≥2 etd?≥2. n.3. On effectue une
démonstration par l"absurde. On suppose que l"ensemblePest fini; avecnélémentsp1,p2, ...pn.On pose
k=p1p2×pn+1.On a deux cas possibles :
kest premier.Orkest plusgrandquechacundes nombresp1,p2, ...,pn.ona doncunnouveaunombrepremier, qui n"est pas dans la liste supposée complète des nombres premiers. On a une contradiction.
kn"est pas premier.
p1ne divise pask. En effet, sip1divisaitk, commep1divise le produitp1p2...pn, alorsp1diviserait
la différencek-p1p2...pn, c"est-à-dire 1. On obtiendraitp1=1, ce qui est impossible, puisquep1est
premier.De même avec les autres nombresp2,p3, ...,pn.
On en déduit quekn"admet aucun diviseur premier, ce qui contredit la première partie du théorème
(tout entier autre que 1 admet au moins un diviseur premier)Remarque
On ne connaît pas la liste de tous les nombres premiers. On n"apas de formule permettant de les trouver
tous.pas. Nous verronsque c"est sur cette difficultéà savoir si ungrandnombreest premier ou pas que reposent
la plupart des codes secrets utilisés en cryptographie.Testde primalité :
Soitnun entier naturel≥2. Sinn"est divisible par aucun nombre premier dont le carré est inférieur ou égal àn,
alorsnest premier.Moyens de trouverles premiers nombres premiers :
1.Crible d"Erathosthène :
On dresse par exemple la liste des nombres entre 1 et 100 dans un tableau. On barre la case contenant 1,
puis celles contenant les multiplesde 2 (sauf 2), les multiplesde 3 (sauf 3) et ainsi de suite.Page 2/
52. Trouver un algorithmeprogrammablesur une calculatrice.
Pour tester si un nombre est premier, on le divise par 2, puis par 3, puis par tous les entiersaà partir dea
Remarque :kdivisensiE?n
k? =nk.Exercice :
1. Développer (a2+8)2, puis factorisera4+64.
2. Montrer quea4+64 n"est pas premier, quel que soitaentier au moins égal à 1.
Solution :
1. (a4+8)2=a4+16a2+64, donca4+64=(a4+8)2-16a2=(a2+8-4a)(a2+8+4a).
2.a2+8-4a=(a-2)2+4≥4.
a2+8+4a=(a+2)2+4≥4
Ainsi,a4+64=m×navecmetnentiers strictement supérieurs à 1, donc ce nombre n"est paspremier. III Théorème fondamental de l"arithmétiqueThéorème fondamental del"arithmétique
Tout naturel strictement supérieur à 1 se décompose en produit de facteurs premiers et cette décomposi-
tion est unique à l"ordre des facteurs près.Démonstrationde l"existence :
Soitn≥2.
Sinest premier,nse décompose en un seul facteur premier, lui-même. Sinn"est pas premier, il admet au moins un diviseur premierpetn=p×d1, avec 11 On a alorsn=p×p?×d2.
On continue...
Les entiersd1,d2, ...,dnforment une suite strictement décroissante de naturels : oncontinue jusqu"à ce qu"on
arrive à 1. On a alors la décomposition.
On admet l"unicité. (on la démontrera plus tard, dans un autre chapitre) Exemple :donner la décompositionde 5544.
On effectue des divisions successives par les facteurs premiers pris dans l"ordre croissant. On peut aussi programmer la calculatrice.
Page 3/
5 Propriété
Un naturelddivise un naturelnsi, et seulement si, les facteurs premiers de la décomposition en facteurs
dans celle ded. Démonstration :
Supposons queddivisen. Soitpun facteur premier de la décomposition dedetαl"exposant depdans cette
décomposition. Alorsn=d×q=(pαa)q, avecaetqentiers.
On an=pα(aq). Soitβl"exposant depdans la décomposition en facteurs premiers deaqetγl"exposant dep
dans celle den. 1pb? 2...pl?
Alorsn=pa-a?
1pb-b?
2...pl-l?
r×detddivisen. Exemple :
Cherchons les diviseurs de 648. 648=23×34. Ses diviseurs sont de la forme 2a×3bavecaetbentiers tels que
Pour les trouver tous, il suffit de faire un arbre. On remarque que le nombre de ces diviseurs est le nombre totalde sous-branches de l"arbre, qui est 4×5=20.
La listedes diviseursde 648 est : {1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 3 ; 6 ; 12 ; 24 ; 9 ; 18; 36 ; 72 ; 27 ; 54 ; 108 ; 216 ; 81 ; 162 ; 324 ; 648}
Propriété
Sin=pα11···pαk
k, le nombre de diviseurs est(α1+1)×···(αk+1) Page 4/
5 IV Liste des nombres premiers inférieursà 1000 : 2357111317192329
31374143475359616771
7379838997101103107109113
127131137139149151157163167173
179181191193197199211223227229
233239241251257263269271277281
283293307311313317331337347349
353359367373379383389397401409
419421431433439443449457461463
467479487491499503509521523541
547557563569571577587593599601
607613617619631641643647653659
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On a alorsn=p×p?×d2.
On continue...
Les entiersd1,d2, ...,dnforment une suite strictement décroissante de naturels : oncontinue jusqu"à ce qu"on
arrive à 1.On a alors la décomposition.
On admet l"unicité. (on la démontrera plus tard, dans un autre chapitre)Exemple :donner la décompositionde 5544.
On effectue des divisions successives par les facteurs premiers pris dans l"ordre croissant.On peut aussi programmer la calculatrice.
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5Propriété
Un naturelddivise un naturelnsi, et seulement si, les facteurs premiers de la décomposition en facteurs
dans celle ded.Démonstration :
Supposons queddivisen. Soitpun facteur premier de la décomposition dedetαl"exposant depdans cette
décomposition.Alorsn=d×q=(pαa)q, avecaetqentiers.
On an=pα(aq). Soitβl"exposant depdans la décomposition en facteurs premiers deaqetγl"exposant dep
dans celle den. 1pb?2...pl?
Alorsn=pa-a?
1pb-b?
2...pl-l?
r×detddivisen.Exemple :
Cherchons les diviseurs de 648. 648=23×34. Ses diviseurs sont de la forme 2a×3bavecaetbentiers tels que
Pour les trouver tous, il suffit de faire un arbre.On remarque que le nombre de ces diviseurs est le nombre totalde sous-branches de l"arbre, qui est 4×5=20.
La listedes diviseursde 648 est : {1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 3 ; 6 ; 12 ; 24 ; 9 ; 18; 36 ; 72 ; 27 ; 54 ; 108 ; 216 ; 81 ; 162 ; 324 ; 648}
Propriété
Sin=pα11···pαk
k, le nombre de diviseurs est(α1+1)×···(αk+1)Page 4/
5 IV Liste des nombres premiers inférieursà 1000 :2357111317192329
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