NOMBRES de MERSENNE (1588-1648)
- 1 est premier alors n est premier. On voit tout d'abord que a ? 0 et a ? 1 car -1 et 0 ne sont pas premiers. Comme a
Nombres de Mersenne et de Fermat Notes et solutions
Démonstration du corollaire 2. Si n = pq alors 2n ? 1 = (2p) q ? 1 est divisible par 2p ? 1. Si n n'est pas premier alors il existe un entier p tel que n
Exercices de mathématiques - Exo7
Montrer que si p est premier et 8p2 +1 est premier alors 8p2 ?1 est premier. Correction ?. [005297]. Exercice 8 **I. 1. Montrer que ?(kn) ? (N?)2
Les nombres premiers - Lycée dAdultes
22 juil. 2015 Théorème 1 : Tout entier naturel n n ? 2
M2 EFM
Montrer que si an + 1 est premier alors a est pair et n est une puissance de 2. Exercice 18. Critère de Pépin (Test de primalité des nombres de Fermat) [Dem97.
NOMBRES PREMIERS
1 n'est pas premier il admet un seul diviseur. • 2 est un Si n n'est divisible par aucun entier p premier tel que 2 ? p ? ?n
PGCD ET NOMBRES PREMIERS
1. PGCD ET NOMBRES PREMIERS. I. PGCD de deux entiers Si D un diviseur de b et r alors D divise a = bq + r et donc D est un diviseur de a et b.
Arithmétique dans Z
Exercice 16. Soit p un nombre premier. 1. Montrer que ?i ? N0 < i < p on a : Ci p est divisible par
M1MI2016 Codes et Cryptologie Feuille dexercices n 1.
2. Si pgcd(a b)=1 et si pgcd(a
Cours darithmétique
nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux `a n an a0 ... Si a et b sont deux entiers tels que an
[PDF] Les nombres premiers - Lycée dAdultes
22 juil 2015 · Théorème 1 : Tout entier naturel n n ? 2 admet un diviseur premier Si n n'est pas premier alors il admet un diviseur premier p tel que
[PDF] chapitre 1 : divisibilité et premiers
T(n) : Si n ? 2 alors n est un produit de nombres premiers Il y a plusieurs formes variantes de la récurrence La récurrence simple Si on montre T(1) et
[PDF] chapitre 3 : congruences et arithmétique modulaire
Si a et n sont premiers entre eux alors il existe une solution x de ax ? b (mod n) et c'est unique modulo n Existence On cherche une relation de Bezout 7u
[PDF] PGCD ET NOMBRES PREMIERS - maths et tiques
Propriétés : Soit a et b deux entiers naturels non nuls a) PGCD(a ; 0) = a b) PGCD(a ; 1) = 1 c) Si b divise a alors PGCD(a ; b) = b Démonstration de c :
[PDF] MULTIPLES DIVISEURS NOMBRES PREMIERS - maths et tiques
Remarque : Le nombre 1 n'est pas premier car il n'a qu'un seul diviseur Méthode : Démontrer qu'un nombre est premier Vidéo https://youtu be/kLs0TiIz7lc
[PDF] Arithmétique - Exo7 - Exercices de mathématiques
Montrer que si p est premier et 8p2 +1 est premier alors 8p2 ?1 est premier Correction ? [005297] Exercice 8 **I 1 Montrer que ?(kn) ? (N?)2
[PDF] Cours darithmétique
nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux `a n an a0 Si a et b sont deux entiers tels que anbn pour un entier n ? 1 alors ab
[PDF] Concepts de base en arithmétique
La division Euclidienne permet de tester si un entier est divisible par un autre Soient a et b deux entiers tels que b ? 1 Alors il existe un et un seul
[PDF] 1´Enoncé
De mani`ere plus générale on peut montrer que si a et b sont deux entiers premiers entre eux alors il existe une infinité de nombres premiers de la forme an + b
[PDF] Nombres premiers
2 Soit n > 1 n non premier n admet donc un diviseur d autre que 1 et n En effet si p1 divisait k comme p1 divise le produit p1p2 pn alors p1
M1MI2016 Codes et Cryptologie
Feuille d"exercices n
1. Arithmétique1Sia= 462etb= 104, calculezd= pgcd(a;b), ainsi que deux entiersuetvtels queau+bv=d. Calculezppcm(a;b).2Calculez par la méthode de votre choix les pgcd suivants :pgcd(46848;2379),pgcd(13860;4488),
pgcd(42098;36146),pgcd(30076;12669;21733),ppgcd(4096;11111111111111).3Montrez quepgcd(ab;ac) =apgcd(b;c).4Montrez quepgcd(2n3+ 5n2+ 4n+ 1;2n2+n) = 2n+ 1.5Le Lemme de Gauss.Montrez que, siajbcetpgcd(a;b) = 1, alorsajc.6Trouvez deux entiersuetvtels que29u+ 24v= 3, puis déterminez tous les couples
(u;v)2Z2tels que29u+ 24v= 3. Mêmes questions pour30u+ 35v= 100,13u+ 19v= 4.7Soitd= pgcd(a;b). Déterminez tous les couples(u;v)2Z2tels qued=au+bv.8Démontrez les résultats suivants :
1. Siadivisecetbdivisecet sipgcd(a;b) = 1alorsabdivisec.
2. Sipgcd(a;b) = 1et sipgcd(a;c) = 1alorspgcd(a;bc) = 1.
3. Sipest un nombre premier et sipdiviseabalorspdiviseaoupdiviseb.9Faire la liste des nombres premiers inférieurs à100. On pourra utiliser le crible d"Ératosthène.10Nombres de Mersenne.Un nombre de Mersenne est un nombre entier de la forme
M p= 2p1. Montrez que, siMpest premier, alorspest premier (on pourra utiliser la formule x n1 = (x1)(xn1++x+1)). Vérifiez queM2,M3,M5,M7sont premiers mais pasM11.On connait47nombres premiers de Mersenne. On conjecture qu"il en existe une infinité.11Nombres parfaits.Un entier positifaest un nombre parfait si la somme de ses diviseurs
positifs est égale à2a. Montrez que, sia= 2npavecppremier,aest parfait si et seulement sip= 2n+11. En déduire quepest un nombre premier de Mersenne et donc quen+ 1est un nombre premier (voir l"exercice sur les nombres de Mersenne). Calculez les quatre premiers nombres parfaits.12Nombres de Fermat.Un nombre de Fermat est un nombre entier de la formeFn= 22n+1.
1. Montrez que, si2a+ 1est premier, alorsaest nécessairement une puissance de2(on
pourra utiliser la formule : sinest impair,xn+ 1 = (x+ 1)(xn1xn2+ x+ 1)).2. Vérifiez queF0,F1,F2,F3,F4sont premiers, mais queF5n"est pas premier (on pourra
chercher un facteur de la forme128k+ 1).3. Montrez les propriétés suivantes :
F n= (Fn11)2+ 1 F n=Fn1+ 22n1F0:::Fn2 F n=F2n12(Fn21)2 F n= (F0F1:::Fn1) + 2 et déduire de la dernière qu"il sont deux à deux premiers entre eux. On ne connait aucun autre nombre premier de Fermat..13Plimpton 322 On appelletriplet pythagoricienun triplet d"entiers(a;b;c)tels quea2+b2=c2. Le but de cet exercice est de décrire tous les triplets pythagoriciens.1. Montrez que, simetnsont des entiers premiers entre eux, alors
a=m2n2; b= 2mn; c=m2+n2(1) est un triplet pythagoricien. Dans la suite, on suppose quea;b;cn"ont aucun diviseur commun, et quea2+b2=c2. Notre but est de montrer qu"alors(a;b;c)est de la forme (1).2. Montrez quepgcd(a;b) = pgcd(b;c) = pgcd(c;a) = 1.
3. Montrez queaoubest pair.
On suppose désormais quebest pair et on poseb= 2b0.4. Montrez queu= (c+a)=2etv= (ca)=2sont entiers et premiers entre eux.
5. Montrez queuv=b02et en déduire queuetvsont des carrés d"entiers.
6. Conclure.
7. Pour quelles valeurs demetnobtient-ona= 10441etc= 20809?
14Euclide a décidé de travailler sur les entiers écrits en base2pour se préparer à la révolution
numérique.Sia=a0+ 2a1+ 4a2++ 2nanavecak= 0;1est l"écriture binaire dea, il notea= a nan1:::a1a0.1. Écrire en binaire les nombres16,13,280.
2. Convertir en base10le nombre binaire101010.
3. Quel est l"effet de la multiplication par une puissance de2sur un nombre binaire?
4. Posez et effectuez l"addition et la soustraction dea= 11100010etb= 10011111.
Euclide souhaite effectuer son célèbre algorithme sur des nombres binaires, mais comme il a du mal avec les multiplications et les divisions, il remplace les divisions euclidiennesa=bq+rpar a=b2k+roù il prendkle plus grand possible tel queb2ka.5. Expliquez pourquoi, dans l"exécution de son algorithme, Euclide va parfois obtenir un
reste plus grand que le diviseur. Que doit-il faire dans ce cas? Exemple :a= 1101et b= 100.6. Effectuez cet algorithme sura= 100001010etb= 111000pour calculer leur pgcd.
7. Montrez que, dans cette pseudo-division euclidienne,r < a=2.
8. En déduire que, dans la suite des restes successifsr0=a,r1=b;:::;rk;:::calculés au
cours de l"algorithme, on ark< a=2k=2.9. En déduire que le nombre de pseudo-divisions dans cet algorithme est au plus deux fois
le nombre de chiffres binaires dea.10. À l"aide de ce qui précède, comparer le nombre de divisions euclidiennes effectuées pour
calculer le pgcd de deux entiers, d"une part dans l"algorithme d"Euclide, et d"autre part dans la méthode consistant à d"abord factoriser ces entiers par divisions successives.quotesdbs_dbs41.pdfusesText_41[PDF] français vacances statistiques 2016
[PDF] tourisme français ? l'étranger
[PDF] ou partent les français en vacances
[PDF] pourcentage de français qui partent en vacances ? l'étranger
[PDF] nombre marche tour eiffel 2 etage
[PDF] hauteur tour eiffel 1er etage
[PDF] 1 etage combien de marches
[PDF] combien de marches pour monter au deuxième étage de la tour eiffel
[PDF] fonction logarithme bac pro exercice
[PDF] nombre de molécules dans 1 litre d'air
[PDF] nombre d'atomes sur terre
[PDF] pv=nrt
[PDF] liste segpa meurthe et moselle
[PDF] erea briey telephone
