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Nouvelle-Calédonie-mars-2015.

Or,a>0

1-lna=0⇔1=lna⇔e=a

1-lna>0⇔1>lna⇔e>a

1-lna<0⇔1 On donne le signe dea-alnasous la forme d'un tableau : d. Sia0

ΔaetΓn'ont pas de point d'intersection.

Sia>ealorsa-alna<0

faest continue et strictement décroissante sur]-∞;lna]à valeurs dans[a-alna;+∞[. Or, 0 appartient à

cet intervalle donc le théorème des valeurs intermédiaires nous permet d'affirmer que l'équation

fa(x)=0admet une solution unique

αappartenant à l'intervalle]-∞;lna].

faest continue et strictement croissante sur [lna;+∞[à valeurs dans[a-alna;+∞[. Or, 0 appartient à cet

intervalle donc le théorème des valeurs intermédiaires nous permet d'affirmer que l'équation

fa(x)=0admet une solution uniqueβappartenant à l'intervalle [lna;+∞[. Conséquence : l'équation aux abscisses des points d'intersection deΓet

Δafa(x)=0admet deux solutions

distinctesαet βdoncΓetΔaont deux points d'intersection distincts.

Sia=ealorsa-alna=e-e=0

ΓetΔaont un point commun le point de coordonnées(1;e)

Remarque : Δeest la tangente à

Γau point de coordonnées(1;e).

Graphique :

Nouvelle-Calédonie-mars-2015.

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