[PDF] Devoir surveillé n°6 : Angles orientés – Trigonométrie – Dérivation

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Nom : ...........................Jeudi 5 février 2015 - 2h00

Devoir surveillén°6 :

Angles orientés- Trigonométrie - Dérivation

L"énoncé est à rendre avec sa copie.

L"exercice

1est à traiter en premier et à rendre avant d"aborder la suite.

La calculatrice n"est autorisée qu"après avoir rendu l"exercice 1. Le barème n"est qu"indicatif (le devoir est noté sur 25 points).

EXERCICE1(7 points).

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples(QCM).

Pour chacune des cinq questions,plusieurs

affirmationspeuvent être exactes. Cocher la ou les affirmationsexactes pour chaque question, sachant que : •chaque question rapporte au maximum 1 point et au minimum 0 point; •l"absence d"affirmation n"apporteou n"enlève aucun point; •quand il y a plusieurs affirmations justes au sein d"une même question, chacune rapporte une partie du point attribuéà la question; •quand plusieursaffirmationssont cochées, dont des fausses,chaque affirmationfausse en- lève 0,5 point pour la question(avec un minimum de 0 point pour chaque question).

Aucune justification n"est demandée.

1. La mesure principalede-127π

6est :

6?-7π6?5π6?-5π6

2. sin

?-19π

6?est égal à :

?-?3

2?-12??3

2?12

3. L"ensembleSdes solutions de l"équation cosx=-1

2sur ]-π;π] est :

?S=?2π

4. L"ensembleSdes solutions de l"équation sinx=-cos?2π

3?surRest :

?S=?π

6+k×2π;5π6+k×2π,k?Z?

?S=?-π

6+k×2π;11π6+k×2π,k?Z?

?S=?-π

6+k×2π;-5π6+k×2π,k?Z?

5. On donneA=sin?3π

5?-sin?2π5?+cos?-π10?. AlorsAest égale à :

?sin?3π

6.ABCDest un carré, alors?--→BD;-→BA?

est égal à : ??-→AB;--→AD? ??--→DB;--→DC? ??-→AC;-→AB? ??--→DB;-→BA?

7. On a

?--→u;-→v?=10π

7+k×2πet?-→w;-→u?=11π7+k×2πoùk?Z, alors :

??-→v;-→w?=-π

7+k×2π

??-→v;-→w?=6π

7+k×2π?-→vet-→wsont colinéaires de même sens

?-→vet-→wsont colinéaires de sens contraire

Jeudi 5 février 2015 - 2h00

EXERCICE2(4 points).

On a tracé ci-dessous la courbe représentativeCd"une fonctionfdéfinie surRainsi qu"une de ses

tangentes. On sait que :

•le point A(-2; 4) est le sommet deC;

•la tangenteàCau point B(2; 0) passe par le point C(0; 6); •B est le seul point d"intersectiondeCavec l"axe des abscisses. 246
-2 -42 4-2-4-6-8-10-12-14-16-18 A BC

1. Donner, sans justifier,f(-2) etf(2).

2. Donner, en justifiant,f?(-2) etf?(2).

Parmi les quatre courbes proposées ci-dessous déterminer celle qui représente : (a)f?, la fonction dérivée def(b) une fonctiongtelle queg?=f 4 -44-4-8C1 -44-4-8C2 -44-4-8 C3 -44-4-8C4 Nom : ...........................Jeudi 5 février 2015 - 2h00

EXERCICE3(7 points).

fest la fontion définie surR\{3} par :f(x)=x2-11x+28x-3On noteCla courbe représentative defdans un repère du plan.

1.fest dérivable surR\{3} et on notef?la fonction dérivée def.

(a) Justifer quef?(x)=x2-6x+5 (x-3)2. (b) Étudier le signe def?(x) selon les valeurs dex. (c) Établirletableaudevariationdelafonctionf(onindiqueralesextremumslocauxdef). (d) SoitAle point de la courbeCdont l"abscisse est 4 etTla tangente enAà la courbeC.

Déterminer une équation de la droiteT.

2. Dans le repère ci-dessous :

(a) placer les points correspondant aux extremumslocaux defainsi queA; (b) tracerTet les tangentes horizontalesà la courbeC; (c) tracerC. 246
-2 -4 -6 -8 -10 -122 4 6 8-2-4-6O xy

Jeudi 5 février 2015 - 2h00

EXERCICE4(7 points).

On rappelle que le volume d"une pyramide est le tiers du produit de l"aire de sa base par sa hauteur.

Au centre d"un hall d"exposition, on doit monter deux standsen toile réservés à l"accueil des visi-

teurs.

Le premier a la forme d"une pyramide régulière à base carrée et le second celle d"un cube; ils sont

accolés à la base par un côté et s"étalent sur une longueur totale de 10m.

Pour des raisons esthétiques, le responsable de la décoration exige que la hauteur de la pyramide

soit égale au côté de sa base et souhaite que l"aire totale occupée au sol par ces deux stands soit la

plus petite possible. Le responsable techniquesouhaiteque le volumetotal de cesdeux standssoit le pluspetit possible pour permettreune économie d"énergie. x x 10 Ils s"adressent à l"ingénieur en chef (c"est vous) pour qu"il trouve la meilleure solution.

On notexla longueur, et donc la hauteur, en mètres de la pyramide,xétant compris entre 0 et 10.

OnnoteAlafonctionquiàxassociel"airetotaleoccupéeausol parlesdeuxstandsetVlafonction qui àxassocie leur volume total, ces deux fonctions étant définiessur [0; 10].

1. (a) CalculerA(x) en fonction dex.

(b) Déterminer le sens de variation de la fonctionA, dresser son tableau de variation et préciser son minimum sur [0; 10].

2. (a) Montrer queV(x)=-2

3x3+30x2-300x+1000.

(b) Déterminer le sens de variation de la fonctionV, dresser son tableau de variation et préciser son minimum sur [0; 10]. En donner une valeur approchée arrondie à l"unité.

3. Vous êtes l"ingénieur : quelle valeur entière dexchoisiriez-vous?Expliquer votre choix.

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