[PDF] CORRIGÉ DEVOIR SURVEILLÉ N° 5 PREMIÈRE S 1

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CORRIGÉ DEVOIR SURVEILLÉ N° 5 PREMIÈRE S 1

EXERCICE 1 : 1. Résolution des équations trigonométriques dans l'intervalle ] - ?; ? ] : a) cos(x -

3) = 1

?2 = ?2

2 = cos(?

4) équivaut à x - ?

3 = ?

4 [2?] ou x - ?

3 = ??

4 [2?],

soit x = 4 + ?

3 [2?] ou x = ??

4 + ?

3 [2?], soit x = 7?

12 = ?5?

12 ou x = ?

12; S = {?

12; ?5?

12}. b) sin(x +

2) + cos(x) = 1 équivaut à cos(x) + cos(x) = 1 équivaut à cos(x) = 1

2 = cos(?

3) équivaut à

x =

3 [2?] ou x = ??

3 [2?] ; S = {?

3; ?? 3}. c) sin(x) = cos( 3?

4) équivaut à cos(?

2 - x) = cos(3?

4) équivaut à ?

2 - x = 3?

4 [2?] ou ?

2 - x = ?3?

4 [2?], équivaut à x = ?

2 - 3?

4 [2?] ou x = ?

2 + 3?

4 [2?], soit x = - ?

4 [2?] ou x = 5?

4 = ?3?

4 [2?];

S = {-

4; ?3?

4}.

2. Tous les points sur le cercle trigonométrique correspondant aux angles solutions

trouvées dans les trois équations :

EXERCICE 2 :

Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O; ??, ??).

On considère les points A(3; -

?3) et B(?3; 3).

1. Les coordonnées polaires du point A : on calcule

OA = ?32????3?

2 = ?9?3 = ?12 = 2?3.

Soit ? = (

?? ; ?OA). Alors cos(?) = 3

2?3 = ?3

2, et sin(?) = ??3

2?3 = ?1

2, d'où ? =

6 [2?]. Les coordonnées polaires du point B : on calcule OB = ???3?

2?32 = ?12 = 2?3.

Soit ? = (

?? ; ?OB). Alors cos(?) = ?3

2?3 = 1

2, et sin(?) = 3

2?3 = ?3

2, d'où ? = ?

3.

2. Les points A et B dans le repère ci-contre :

3. On sait que OA = OB = 2

?3; de plus AB = ??xB?xA?2??yB?yA?2 = ???3?3?

2??3??3?

2 = ?3?6?3?9??9?6?3?3? = ?24 = 2?6. On remarque que AB² = OA² + OB²; donc le triangle OAB est rectangle isocèle en O.

4. On considère le point E défini par

?OE = ?OA + ?OB. a) Le point E sur la figure. b) Les coordonnées cartésiennes du point E : E(xA + xB; yA + yB) , soit E(3 + ?3; - ?3 + 3). c) Comme ?OE = ?OA + ?OB, alors OAEB est un parallélogramme. De plus OA = OB, donc c'est un losange; de plus l'angle ?AOB = 90° , donc c'est un carré. d) La droite (OE) est une diagonale du carré, donc une bissectrice de l'angle ?AOB, donc l'angle ?AOE = 45°, et une mesure de l'angle (?OA; ?OE) = ?

4. Ainsi, par le relation de

Chasles, une mesure de l'angle (

??; ?OE) = (??; ?OA) + (?OA; ?OE) = ?? 6 + ? 4 = ? 12. e) On sait que OE = AB (puisque OAEB est un carré), donc OE = 2 ?6 et (??; ?OE) = ?

12. D'où E(2?6; ?

12).

On en déduit les valeurs exactes de cos(

12): cos(?

12) = xE

OE = 3??3

2?6 = ?3??3??6

2?6 = 3?6?3?2

3?4 = ?6??2

4. Et de sin(?

12) = yE

OE = 3??3

2?6 = ?3??3??6

2?6 = 3?6?3?2

3?4 = ?6??2

4. EXERCICE 3 : On considère la fonction f définie par f(x) = 5x2?4x x2?1 et C la courbe représentative de f dans un repère orthonormé du plan.

1. L'ensemble de définition de la fonction f est \{- 1 ; 1}, puisque le dénominateur doit être non nul,

soit x2 - 1 ? 0, soit (x - 1)(x + 1) ? 0.

2. La fonction f est de la forme

u v de dérivée u'v?uv' v2; d'où f '(x) = ?10x?4??x2?1???5x2?4x?2x ?x2?1?2 =

10x3?10x?4x2?4??10x3?8x2?

?x2?1?2 = 4x2?10x?4 ?x2?1?2, qui est du signe du numérateur, puisque le dénominateur est

un carré. On calcule le discriminant ? = (- 10)2 - 4?4?4 = 36 = 62 > 0 ; il y a donc deux racines: x1 =

10?6

2?4= 2

et x2 = 10?6

2?4 = 1

2. Donc la dérivée f '(x) est positive pour les valeurs extérieures aux racines 1

2 et 2, et négative

pour les valeurs entre les racines.

4. Le tableau de variations de la fonction f :

5. Les extremums de la fonction f : f admet un

maximum local égal à f( 1

2) = 1 atteint en x = 1

2 et un minimum local f(2) = 4 atteint en x = 2.

6. Pour déterminer les points d'intersection de la

courbe C avec l'axe des abscisses, on résout l'équation f(x) = 0 :

5x2?4x

x2?1 = 0; soit 5x2 - 4x = 0, soit x(5x - 4) = 0. Les solutions sont 0 et 4

5. Les

coordonnées des points d'intersection de C avec (0x) sont (0; 0) et ( 4

5; 0).

7. Une équation de la tangente T

0 à C au point d'abscisse 0 : y = f '(0)(x - 0) + f(0) = 4x, et la tangente T2 à C au

point d'abscisse 2 : y = f '(2)(x - 2) + f(2) = 0 + 4 = 4 (tangente horizontale).

8. Pour étudier la position relative de la courbe C et de la tangente T0 , on cherche le signe de la différence

f(x) - 4x =

5x2?4x

x2?1 - 4x = 5x2?4x?4x?x2?1? x2?1 = 5x2?4x?4x3?4x x2?1 = x2?5?4x? x2?1. On réalise un tableau de signes :

9. Pour montrer que, pour tout réel x < - 1, f(x) > 5, on

résout l'inéquation

5x2?4x

x2?1 > 5, soit

5x2?4x?5?x2?1?

x2?1 > 0, soit ?4x?5 x2?1 > 0. Si x < - 1, alors - 4x > 4, et - 4x + 5 > 9; ainsi que x2 > 1. Donc ?4x?5 x2?1 > 0.

Ainsi, pour tout réel x < - 1, f(x) > 5.

10. Représentation graphique de la fonction f ainsi que les

tangentes citées dans les questions précédentes : x-?- 10,5 12?? f '(x) + || + 0 - || - 0 + f(x)|||||| 1 || 4 x-?- 1 1 10 1 1,25??

Signe de 5 - 4x- - 0 +

Signe de x2 - 1+ 0 -

1 0 + +

f(x) - 4x - || + || - 0 +

Position relative

de C et T 0 T

0 est au-dessus

de C C est au-dessus de T

0 T

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