[PDF] Feuille dexercices 7 Diagonalisation. Exercice 1. On consid`

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Licence 2 Eco-gestion2020{2021Feuille d'exercices 7 DiagonalisationExercice1On considere l'endomorphismefdeR3deni parf: (x;y;z)7!(3xz;2x+4y+2z;x+3z).

1. Determiner la matriceA=Mat(f)Bdefdans la base canonique deR3.

2. Determiner le polyn^ome caracteristique def. En deduire les valeurs propres def.

3. Determiner une base pour chaque espace propre def. L'endomorphismefest-il diago-

nalisable?

4. Trouver une matricePtelle queA=PDP1, ouDest une matrice diagonale que l'on

explicitera.

5. Determiner la matriceAn, pour toutn1.

Solution11. La matrice de l'endomorphismefdans la base canonique est donnee par

Mat(f)B0

@3 01 2 4 2

1 0 31

A

2. Le polyn^ome caracteristique defest celui associe a la matriceA:

p

A() = det(AI3) =

301
2 42 1 0 3 Je developpe ce determinant par rapport a la deuxieme colonne, puisqu'elle contient un maximum de termes nuls. On a donc p

A() = (4)31

1 3 = (4)((3)21): On a pas d'autre choix que de developper la parenthese pour en trouver les racines, ce qui donne p

A() = (4)(26+ 8):

Le polyn^ome26+ 8 est de degre 2, on sait donc facilement trouver ses racines en en calculant le discriminant et on obtient les deux racines 4 et 2, autrement dit p

A() =(4)2(2):

3. On rappelle que les espaces propres deA, notesEouest une valeur propre deA,

sont simplement denis par E = ker(AI3): Il s'agit donc simplement ici de determiner des bases pour des noyaux, ce que l'on sait parfaitement faire avec la methode de Gauss ou par resolution d'un systeme. | Base deE2= ker(A2I3) : 0 @1 011 0 0

2 2 20 1 0

1 0 10 0 1

1 A

C3 C3+C1!0

@1 0 01 0 1

2 2 40 1 0

1 0 00 0 1

1 A C

3 C32C2!0

@1 0 01 0 1

2 2 00 12

1 0 00 0 1

1 A

Une base deE2est donc donnee par8

:0 @1 2 11 A9= | Base deE4= ker(A4I3) : 0 @1 011 0 0

2 0 20 1 0

1 010 0 1

1 A

C3 C3C1!0

@1 0 01 01

2 0 00 1 0

1 0 00 0 1

1 A

Une base deE4est donc donnee par8

:0 @0 1 01 A ;0 @1 0 11 A9= On a donc dim(E2) + dim(E4) = 3 etAest diagonalisable.

4. Notons

P=0 @1 01 2 1 0

1 0 11

A la matrice de passage obtenue gr^ace aux vecteurs de la question precedente. Le cours assure que l'on a alors A=P0 @2 0 0 0 4 0

0 0 41

A P1:

5. Pour toute matriceBet pour tout entiern, on a toujours

(PBP1)n=PB(P1P)BP1:::PB(P1P)BP1=PBnP1:

On a donc pour tout entiern

A n= (PDP1)n=PDnP1: On calcule donc l'inverse dePavec la methode de Gauss par exemple et on trouve P 1=0 @1=2 0 1=2 1 1 1

1=2 0 1=21

A

On calcule donc

A n=PDnP1=0 @1 01 2 1 0

1 0 11

A0 @2 0 0 0 4 0

0 0 41

An 0 @1=2 0 1=2 1 1 1

1=2 0 1=21

A 0 @1 01 2 1 0

1 0 11

A0 @2n0 0 0 4 n0 0 0 4 n1 An 0 @1=2 0 1=2 1 1 1

1=2 0 1=21

A = 2n10 @2n+ 1 0 12n 2(2 n1) 2n+12(2n1)

12n0 2n+ 11

A Ne vous inquietez pas si vous ne trouvez pas le m^eme resultat, on ne vous demandera pas a l'examen de faire des calculs aussi lourds... L'important est que vous compreniez la methode. Exercice2Diagonaliser les matrices suivantes, lorsque cela est possible. A=0 @1 1 1 11 1 1 111 A ;B=0 @21 1 1 01 22 11
A

Solution2| MatriceA.

On commence par calculer le polyn^ome caracteristique deA. On pourrait le simplier en faisant les operationsC1 C1+C2+C3puisL2 L2L1etL3 L3L1mais faisons comme si nous n'avions pas cette astuce en t^ete et developpons le "b^etement". p A() = 11 1 111
1 11 On a donc en developpement par rapport a la premiere ligne disons, p

A() = (1)11

11 1 1 11 +11 1 1 et donc on obtient en un temps nipA() =332+4:Arrive a ce point, on remarque que 1 est une racine evidente et donc le polyn^omepA() est divisible par1. Pour trouver les autres racines du polyn^ome, on eectue donc sa division euclidienne par1 :

332+ 41 3+224442+4 42+44+4 4+40

On a donc montre quepA() = (1)(244) et il reste a trouver les racines du polyn^ome de la seconde parenthese qui est de degre 2. Lucidite ou discriminant, vous trouvez que2 en est une racine double et donc p

A() =(1)(+ 2)2

Les valeurs propres deAsont donc 1 et2, on calcule les espaces propres associes. Pour E

1on trouve une base a ker(AI3).

0 @2 1 11 0 0

12 10 1 0

1 120 0 1

1 A

C2$C1!0

@12 10 1 0

2 1 11 0 0

1 120 0 1

1 A 0 @12 10 1 0

2 1 11 0 0

1 120 0 1

1 AC

2 C2+ 2C1

C

3 C3C1!0

@1 0 00 1 0

23 31 21

1 330 0 1

1 A C

3$C3+C2!0

@1 0 00 1 1

23 01 2 1

1 3 00 0 1

1 A

Une base deE1est donc donnee par8

:0 @1 1 11 A9= De m^eme pourE2, on trouve une base a ker(A+ 2I3). 0 @1 1 11 0 0

1 1 10 1 0

1 1 10 0 1

1 AC

2 C2C1

C

3 C3C1!0

@1 0 0111

1 0 00 1 0

1 0 00 0 1

1 A et une base deE2est donc donnee par8 :0 @1 1 01 A ;0 @1 0 11 A9= On a donc dim(E1)+dim(E2) = 3 etAest diagonalisable et le cours assure que si l'on pose la matrice de passage P=0 @111 1 1 0

1 0 11

A alors on a A=P0 @1 0 0 02 0 0 021 A P1: | MatriceB. On commence par calculer le polyn^ome caracteristique deB. On trouve p B() = 21 1
11 22 1
=3+ 32+3: A nouveau, on remarque que 1 est une solution evidente depB(), on eectue donc sa division euclidienne par1.

3+ 32+31 3+22+ 2+ 322+322233330

On a donc

p

B() = (1)(2+ 2+ 3)

et on calcule le discriminant du polyn^ome2+ 2+ 3 pour trouver ses racines 3 et

1, le polyn^ome caracteristique deBs'ecrit donc

p

B() =(1)(+ 1)(3):

La matriceBa 3 valeurs propres distinctes, on sait donc deja d'apres le cours qu'elle est diagonalisable. Calculons tout de m^eme les espaces propres assoces aux trois valeurs propres deB. On commence parE1. 0 @11 11 0 0

1110 1 0

22 00 0 1

1 AC

2 C2+C1

C

3 C3C1!0

@1 0 01 11

1 020 1 0

2 020 0 1

1 A C

2$C3!0

@1 0 011 1

12 00 0 1

22 00 1 0

1 A et une base deE1est donc donnee par8 :0 @1 1 01 A9=

De m^eme pourE1.

0 @31 11 0 0

1 110 1 0

22 20 0 1

1 A

C2$C1!0

@1 3 10 1 0

1 111 0 0

2 2 20 0 1

1 A C

2 C2+ 3C1

C

3 C3+C1!0

@1 0 00 1 0

1 4 01 3 1

24 00 0 1

1 A et une base deE1est donc donnee par8 :0 @0 1 11 A9=

De m^eme pourE3.

0 @11 11 0 0

1310 1 0

2220 0 1

1 AC

2 C2C1

C

3 C3+C1!0

@1 0 011 1

14 00 1 0

24 00 0 1

1 A et une base deE3est donc donnee par8 :0 @1quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50

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