ALG`EBRE PAD - Exercices PDF 30 oct. 2008 1-1

Exercices de mathématiques - Exo7

2. Démontrer que A est diagonalisable et déterminer une matrice D diagonale et une matrice P inversible telles A = PDP−1. 3. Donner

CORRECTION DU TD 3 Exercice 1

Par conséquent on a : avec donc étant de dimension 1

Feuille dexercices 7

Diagonalisation. Exercice 1. On consid`ere l'endomorphisme f de R3 défini par f Exercice 3. Diagonaliser les matrices A suivantes. En déduire les valeurs de ...

Diagonalisation des matrices (8 exercices)

.. soit diagonalisable. Exercice 5 [ Indication ] [ Correction ]. Diagonaliser la matrice A définie par A =. a.

ISCID-CO - PRÉPA 2ème année DIAGONALISATION Université du

3.5.4 Exercice récapitulatif (corrigé) . Que peut-on faire avec une matrice non diagonalisable? On peut tenter d'arriver à une matrice presque diagonale ...

ANALYSE MATRICIELLE ET ALGÈBRE LINÉAIRE APPLIQUÉE

La diagonalisation des matrices et des endomorphismes . . . . . . 8. 4. Marches sur Exercice 12.— Montrer que la matrice suivante n'est pas diagonalisable :.

Exercices de mathématiques - Exo7

diagonalisable de F. Correction ▽. [005686]. Exercice 37 **I. Soit A une matrice carrée réelle de

Applications linéaires matrices

https://licence-math.univ-lyon1.fr/lib/exe/fetch.php?media=exomaths:exercices_corriges_application_lineaire_et_determinants.pdf

Université Lyon 1 Math-III-Algèbre — semestre de printemps 2009

9 avr. 2009 matrice diagonalisable D et une matrice nilpotente N qui commutent et ... A = PDP−1 . Exercice 5 Les matrices suivantes sont elles semblables.

Exercices de mathématiques - Exo7

1. La matrice A est-elle diagonalisable ? 2. Calculer (A?2I3)2 puis (A?2I3)n pour tout n ? N. En déduire An. Correction ?. [002592]. Exercice 3.

Feuille dexercices 7

Diagonalisation. Exercice 1. On consid`ere l'endomorphisme f de R3 défini par f : (x y

Diagonalisation des matrices (8 exercices)

Diagonaliser la matrice A définie par A = Diagonalisation des matrices. Corrigés. Corrigés des exercices. Corrigé de l'exercice 1 [ Retour `a l'énoncé ].

CORRECTION DU TD 3 Exercice 1

Par conséquent on a : avec donc étant de dimension 1

Walanta

Savoir diagonaliser une matrice carrée : valeurs propres vecteurs propres. Savoir réduire à la forme triangulaire une matrice non diagonalisable. . Page 2

Partiel Corrigé

7 nov. 2015 Exercice I. On considère les matrices A := (1 1. 0 1. ) et B := ( 0 1. ?1 0. ) . 1) La matrice A est-elle diagonalisable ?

ALG`EBRE PAD - Exercices

30 oct. 2008 1-1 Exercices corrigés . ... 1-1.3 Exercice 3a - Matrice d'une application linéaire . ... 3 Diagonalisation des endomorphismes.

ISCID-CO - PRÉPA 2ème année DIAGONALISATION Université du

3.5.1 Matrices de format 2 × 2 non diagonalisables . 3.5.2 Cas d'une matrice 3 × 3 non diagonalisable . ... 3.5.4 Exercice récapitulatif (corrigé) .

Correction détaillée des exercices 12

http://licence-math.univ-lyon1.fr/lib/exe/fetch.php?media=a19:math3:correction-ex-3-4-maths3-2019.pdf

DIAGONALISATION

Diagonalisation en dimension trois . Déterminer si les matrices suivantes sont diagonalisables (sur R ou C). Lorsque ... Corrigé de l'exercice 1.1.

ALG

µEBRE

PAD - Exercices

October 30, 2008

Table des Matiµeres

1-1.1 Exercice 1a - Structure d'espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . .

1-1.2 Exercice 2a - Base d'un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . .

4 6

1-1.4 Exercice 4a - Image et noyau d'une application . . . . . . . . . .

1-2 Exercices avec indications seulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11 11

1-2.2 Exercice 2b - Base d'un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . .

12 13

1-2.4 Exercice 4b - Image et noyau d'une application . . . . . . . . . .

1-3 Devoir µa rendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15 15

1-3.2 Exercice 2c - Base d'un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . .

15 15

1-3.4 Exercice 4c - Image et noyau d'une application . . . . . . . . . . .

2 Matrices { Changement de base 17

2-1.1 Exercice 5a - Calcul matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2-1.2 Exercice 6a - Rang d'une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2-1.3 Exercice 7a - Changement de bases . . . . . . . . . . . . . . . . .

2-2 Exercices avec indications seulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2-2.1 Exercice 5b - Changement de bases . . . . . . . . . . . . . . . . .

24
24

2-2.3 Exercice 7b - Changement de bases . . . . . . . . . . . . . . . . .

2-3 Devoir µa rendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2-3.1 Exercice 5c - Calcul matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2-3.2 Exercice 6c - Inversion de matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2-3.3 Exercice 7c - Changement de bases . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Diagonalisation des endomorphismes 29

31
31
i iiTABLE DES MATIµERES

3-1.2 Exercice 9a. Diagonalisation, triangularisation. . . . . . . . . . . .

3-1.3 Exercice 10a. Diagonalisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3-2 Exercices avec indications seulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39
39

3-2.2 Exercice 9b. Diagonalisation - triangularisation. . . . . . . . . . .

3-2.3 Exercice 10b. Application de la diagonalisation. . . . . . . . . . .

3-3 Devoir µa rendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43
43

3-3.2 Exercice 9c. Application de la diagonalisation. . . . . . . . . . . .

3-3.3 Exercice 10c. Diagonalisation et inversion de matrice. . . . . . . .

Chapitre 3

Diagonalisation des endomorphismes

30CHAPITRE 3. DIAGONALISATION DES ENDOMORPHISMES

3-1 3-1.1 1. :x¡2y+ 4z= 4

3x¡4y+ 2z= 4

4x+y¡4z=¡1

2. :2ax¡y+ 2z= 0

2x¡ay+ 2z=¡4

3x+y¡az= 1

1. 8< :x¡2y+ 4z= 4 (E1)

3x¡4y+ 2z= 4 (E2)

4x+y¡4z=¡1 (E3),8

:x¡2y+ 4z= 4 (E1)

2y¡10z=¡8 (E2¡3E1)

9y¡20z=¡17 (E3¡4E1)

(S),8 :x¡2y+ 4z= 4 (E1)

2y¡10z=¡8 (E2)

5y=¡1 (E3¡2E2),8

:x= 28=50 y=¡10=50 z= 38=50 2. 0 @2a¡1 2 0

2¡a2¡4

3 1¡a11

A 0 @0a2¡1 2(1¡a) 4a

2¡a2¡4

0 1 + 3 2 a¡a¡3 71

AL01Ã¡L1¡aL2

02Ã¡L2

03Ã¡L3¡3

L2la ligne 2 sert de pivot:

Sia2¡16= 0 alors le systµeme devient

0 @0a2¡1 2(1¡a) 4a

2¡a2¡4

0 0¡a¡3 +2+3a

a+17 + 4a£1+3a=2

1¡a21

AL 01L02 L

003Ã¡L03¡1+3a=2

¡1+a2L01

On obtient :

0 @0a2¡1 2(1¡a) 4a

2¡a2¡4

0 0¡a2+a+1

a+17¡a2+4a

1¡a21

32CHAPITRE 3. DIAGONALISATION DES ENDOMORPHISMES

d'oµu le systµeme triangulaire suivant : 8< :(a2¡1)y+ 2(1¡a)z= 4a

2x¡ay+ 2z=¡4

a2+a+1 a+1z=7¡a2+4a

1¡a2,8

:(a2¡1)y+ 2(1¡a)7¡a2+4a a

3¡1= 4a

2x¡ay+ 27¡a2+4a

3¡1=¡4

z=7¡a2+4a a

3¡1

On obtient ¯nalement :

8< :y=4a2¡2a+14 a

3¡1x=3a¡5

3¡1

z=7¡a2+4a a

3¡1

Sia= 1 alors le systµeme devient0

@0 0 0 4

2¡1 2¡4

0 5 =2¡4 71 A systµeme incompatible, la

1µere ligne donne 0 = 4:Il n'y a pas de solutions.

Sia=¡1 alors le systµeme devient0

@0 0 4 4

2 1 2¡4

0¡1=2¡2 71

A systµeme compatible, la solution est : 0 @x= 4 z=¡1 y=¡101 A 3-1.2

Exercice 9a. Diagonalisation, triangularisation.

Soitfe1;e2;e3gla base canonique deR3

Soitul'endomorphisme dontAest la matrice dans la basefe1;e2;e3g: Dans les trois cas suivants ,uest-il diagonalisable ?

Sinon peut-on trigonaliseru?

passage defee1;ee2;ee3gµafe1;e2;e3g a)A=0 @2 0 4

3¡4 12

1¡2 51

A b)A=0 @¡1 1 1

1¡1 1

1 1¡11

A c)A=0 @¡4 0¡2 0 1 0

5 1 31

A P u(¸) = det¯

¯¯¯¯¯2¡¸0 4

3¡4¡¸12

1¡2 5¡¸¯

¯¯¯¯¯= (2¡¸)[(¸+ 4)(¸¡5) + 24] + 4[¡6 +¸+ 4] Donc P u(¸) =¡¸(¸¡1)(¸¡2)

Aa trois valeurs propres distinctes : 0, 1 et 2.

R est de dimension 1. vectorielles) : @2 0 4

3¡4 12

1¡2 51

A0 @x y z1 A =0 @x y z1 A ,8 :x=¡4z y= 0 z=z doncVu(1) =V ect8 :0 @¡4 0 11 A9= @2 0 4

3¡4 12

1¡2 51

A0 @x y z1 A = 20 @x y z1 A ,8 :x= 2y y=y z= 0 doncVu(2) =V ect8 :0 @2 1 01 A9= @2 0 4

3¡4 12

1¡2 51

A0 @x y z1 A =0 @0 0 01 A ,8 :x=¡2z y=3 2 z z=z doncVu(0) =V ect8 :0 @¡2 3 2 11 A9= avec :P=0 @¡4 2¡2 0 1 3 2

1 0 11

A etP¡1=0 @1¡2 5 3 2

¡2 6

¡1 2¡41

A 8 ee10 @¡4 0 11 A ;ee20 @2 1 01 A ee30 @¡2 3 2 11 A9= la ma- trice deuest :eA=0 @1 0 0 0 2 0

0 0 01

A P u(¸) = det¯

¯¯¯¯¯¡1¡¸1 1

1¡1¡¸1

1 1¡1¡¸¯

¯¯¯¯¯= (1¡¸)¯

¯¯¯¯¯1 1 1

1¡1¡¸¡1

1¡1¡1¡¸¯

Donc P u(¸) = (1¡¸)¯

¯¯¯¯¯1 1 1

0¡2¡¸0

0 0¡2¡¸¯

¯¯¯¯¯=¡(¸¡1)(¸+ 2)2

34CHAPITRE 3. DIAGONALISATION DES ENDOMORPHISMES

0 @¡1 1 1

1¡1 1

1 1¡11

A0 @x y z1 A = 10 @x y z1 A ,8 :x=y y=y z=y doncVu(1) =V ect8 :0 @1 1 11 A9= 0 @¡1 1 1

1¡1 1

1 1¡11

A0 @x y z1 A =¡20 @x y z1 A ,x+y+z= 0: doncVu(¡2) =V ect8 :0 @1 ¡1 01 A ;0 @0 ¡1 11 A9= doncAest diagonalisable . avec :P=0 @1 1 0

1¡1¡1

1 0 11

A etP¡1=1 3 0 @1 1 1

2¡1¡1

¡1¡1 21

A 8 ee10 @1 1 11 A ;ee20 @1 ¡1 01 A ;ee30quotesdbs_dbs18.pdfusesText_24

[PDF] ALG`EBRE PAD - Exercices 30 oct. 2008 1-1

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PAD - Exercices

October 30, 2008

Table des Matiµeres

1-1.1 Exercice 1a - Structure d'espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . .

1-1.2 Exercice 2a - Base d'un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . .

1-1.4 Exercice 4a - Image et noyau d'une application . . . . . . . . . .

1-2 Exercices avec indications seulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1-2.2 Exercice 2b - Base d'un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . .

1-2.4 Exercice 4b - Image et noyau d'une application . . . . . . . . . .

1-3 Devoir µa rendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1-3.2 Exercice 2c - Base d'un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . .

1-3.4 Exercice 4c - Image et noyau d'une application . . . . . . . . . . .

2 Matrices { Changement de base 17

2-1.1 Exercice 5a - Calcul matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2-1.2 Exercice 6a - Rang d'une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2-1.3 Exercice 7a - Changement de bases . . . . . . . . . . . . . . . . .

2-2 Exercices avec indications seulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2-2.1 Exercice 5b - Changement de bases . . . . . . . . . . . . . . . . .

2-2.3 Exercice 7b - Changement de bases . . . . . . . . . . . . . . . . .

2-3 Devoir µa rendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2-3.1 Exercice 5c - Calcul matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2-3.2 Exercice 6c - Inversion de matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2-3.3 Exercice 7c - Changement de bases . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Diagonalisation des endomorphismes 29

3-1.2 Exercice 9a. Diagonalisation, triangularisation. . . . . . . . . . . .

3-1.3 Exercice 10a. Diagonalisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3-2 Exercices avec indications seulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3-2.2 Exercice 9b. Diagonalisation - triangularisation. . . . . . . . . . .

3-2.3 Exercice 10b. Application de la diagonalisation. . . . . . . . . . .

3-3 Devoir µa rendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3-3.2 Exercice 9c. Application de la diagonalisation. . . . . . . . . . . .

3-3.3 Exercice 10c. Diagonalisation et inversion de matrice. . . . . . . .

Chapitre 3

Diagonalisation des endomorphismes

30CHAPITRE 3. DIAGONALISATION DES ENDOMORPHISMES

3x¡4y+ 2z= 4

4x+y¡4z=¡1

2x¡ay+ 2z=¡4

3x+y¡az= 1

3x¡4y+ 2z= 4 (E2)

4x+y¡4z=¡1 (E3),8

2y¡10z=¡8 (E2¡3E1)

9y¡20z=¡17 (E3¡4E1)

2y¡10z=¡8 (E2)

5y=¡1 (E3¡2E2),8

2¡a2¡4

3 1¡a11

2¡a2¡4

AL01Ã¡L1¡aL2

02Ã¡L2

03Ã¡L3¡3

L2la ligne 2 sert de pivot:

Sia2¡16= 0 alors le systµeme devient

2¡a2¡4

0 0¡a¡3 +2+3a

1¡a21

003Ã¡L03¡1+3a=2

¡1+a2L01

On obtient :

2¡a2¡4

0 0¡a2+a+1

1¡a21

32CHAPITRE 3. DIAGONALISATION DES ENDOMORPHISMES

2x¡ay+ 2z=¡4

1¡a2,8

3¡1= 4a

2x¡ay+ 27¡a2+4a

3¡1=¡4

3¡1

On obtient ¯nalement :

3¡1x=3a¡5

3¡1

3¡1

Sia= 1 alors le systµeme devient0

2¡1 2¡4

1µere ligne donne 0 = 4:Il n'y a pas de solutions.

Sia=¡1 alors le systµeme devient0

2 1 2¡4