Exercices de mathématiques

Exercices de mathématiques - Exo7

2. Démontrer que A est diagonalisable et déterminer une matrice D diagonale et une matrice P inversible telles A = PDP−1. 3. Donner

CORRECTION DU TD 3 Exercice 1

Par conséquent on a : avec donc étant de dimension 1

Feuille dexercices 7

Diagonalisation. Exercice 1. On consid`ere l'endomorphisme f de R3 défini par f Exercice 3. Diagonaliser les matrices A suivantes. En déduire les valeurs de ...

Diagonalisation des matrices (8 exercices)

.. soit diagonalisable. Exercice 5 [ Indication ] [ Correction ]. Diagonaliser la matrice A définie par A =. a.

ISCID-CO - PRÉPA 2ème année DIAGONALISATION Université du

3.5.4 Exercice récapitulatif (corrigé) . Que peut-on faire avec une matrice non diagonalisable? On peut tenter d'arriver à une matrice presque diagonale ...

ANALYSE MATRICIELLE ET ALGÈBRE LINÉAIRE APPLIQUÉE

La diagonalisation des matrices et des endomorphismes . . . . . . 8. 4. Marches sur Exercice 12.— Montrer que la matrice suivante n'est pas diagonalisable :.

Exercices de mathématiques - Exo7

diagonalisable de F. Correction ▽. [005686]. Exercice 37 **I. Soit A une matrice carrée réelle de

ALG`EBRE PAD - Exercices

30 oct. 2008 1-1 Exercices corrigés . ... Diagonalisation et inversion de matrice. Soit la matrice A: A ...

Applications linéaires matrices

https://licence-math.univ-lyon1.fr/lib/exe/fetch.php?media=exomaths:exercices_corriges_application_lineaire_et_determinants.pdf

Université Lyon 1 Math-III-Algèbre — semestre de printemps 2009

9 avr. 2009 matrice diagonalisable D et une matrice nilpotente N qui commutent et ... A = PDP−1 . Exercice 5 Les matrices suivantes sont elles semblables.

Exercices de mathématiques - Exo7

1. La matrice A est-elle diagonalisable ? 2. Calculer (A?2I3)2 puis (A?2I3)n pour tout n ? N. En déduire An. Correction ?. [002592]. Exercice 3.

Feuille dexercices 7

Diagonalisation. Exercice 1. On consid`ere l'endomorphisme f de R3 défini par f : (x y

Diagonalisation des matrices (8 exercices)

Diagonaliser la matrice A définie par A = Diagonalisation des matrices. Corrigés. Corrigés des exercices. Corrigé de l'exercice 1 [ Retour `a l'énoncé ].

CORRECTION DU TD 3 Exercice 1

Par conséquent on a : avec donc étant de dimension 1

Walanta

Savoir diagonaliser une matrice carrée : valeurs propres vecteurs propres. Savoir réduire à la forme triangulaire une matrice non diagonalisable. . Page 2

Partiel Corrigé

7 nov. 2015 Exercice I. On considère les matrices A := (1 1. 0 1. ) et B := ( 0 1. ?1 0. ) . 1) La matrice A est-elle diagonalisable ?

ALG`EBRE PAD - Exercices

30 oct. 2008 1-1 Exercices corrigés . ... 1-1.3 Exercice 3a - Matrice d'une application linéaire . ... 3 Diagonalisation des endomorphismes.

ISCID-CO - PRÉPA 2ème année DIAGONALISATION Université du

3.5.1 Matrices de format 2 × 2 non diagonalisables . 3.5.2 Cas d'une matrice 3 × 3 non diagonalisable . ... 3.5.4 Exercice récapitulatif (corrigé) .

Correction détaillée des exercices 12

http://licence-math.univ-lyon1.fr/lib/exe/fetch.php?media=a19:math3:correction-ex-3-4-maths3-2019.pdf

DIAGONALISATION

Diagonalisation en dimension trois . Déterminer si les matrices suivantes sont diagonalisables (sur R ou C). Lorsque ... Corrigé de l'exercice 1.1.

Enoncés et corrections : Sandra Delaunay

Exo7

Sujets de l"année 2006-2007

1 Devoir à la maison

Exercice 1Soita2R, notonsAla matrice suivante

A=0 1 a1+a

On définit une suite(un)n2N, par la donnée deu0etu1et la relation de récurrence suivante, pourn2N

u n+2= (1+a)un+1aun 1. Pour quelles v aleursde ala matriceAest-elle diagonalisable ? 2.

Lorsque Aest diagonalisable, calculerAnpourn2N.

3. On suppose Adiagonalisable. On noteUnle vecteurUn=un u n+1 , exprimerUn+1en fonction deUnet deA, puisUnen fonction deU0et deA.

SoitAla matrice deM3(R)suivante :

A=0 @0 1 0 4 4 0

2 1 21

A 1.

La matrice Aest-elle diagonalisable ?

2. Calculer (A2I3)2, puis(A2I3)npour toutn2N. En déduireAn. Soitfl"endomorphisme deR4dont la matrice dans la base canonique est A=0 B

B@833 1

6 3 21

26 7 102

0 0 0 21

C CA: 1. Démontrer que 1 et 2 sont des v aleurspropres de f. 2.

Déterminer les v ecteurspropres de f.

3. Soit ~uun vecteur propre defpour la valeur propre 2. Trouver des vecteurs~vet~wtels que f(~v) =2~v+~uetf(~w) =2~w+~v: 1

4.Soit ~eun vecteur propre defpour la valeur propre 1. Démontrer que(~e;~u;~v;~w)est une base deR4.

Donner la matrice defdans cette base.

La matrice Aest-elle diagonalisable ?

Exercice 4SoitAla matrice suivante

A=0 @3 01 2 4 2

1 0 31

A 1. Déterminer et f actoriserle polynôme caractéristique de A. 2.

Démontrer que Aest diagonalisable et déterminer une matriceDdiagonale et une matricePinversible

tellesA=PDP1. 3. Donner en le justifiant, mais sans calcul, le polynôme minimal de A. 4.

Calculer Anpourn2N.

SoitAla matrice suivante

A=1 1 2 1 1. Calculer le polynôme caractéristique et déterminer les v aleurspropres de A. 2. On note l1>l2les valeurs propres deA,E1etE2les sous-espaces propres associés. Déterminer une

base(~e1;~e2)deR2telle que~e12E1,~e22E2, les deux vecteurs ayant des coordonnées de la forme(1;y).

Soit ~xun vecteur deR2, on note(a;b)ses coordonnées dans la base(~e1;~e2). Démontrer que, pourn2N,

on a A n~x=aln1~e1+bln2~e2 4.

Notons An~x=an

b n dans la base canonique deR2. Exprimeranetbnen fonction dea,b,l1etl2. En déduire que, sia6=0, la suitebna ntend versp2 quandntend vers+¥. 5.

Expliquer ,sans calcul, comment obtenir à partir des questions précédentes une approximation de

p2 par une suite de nombres rationnels. SoitP(X)un polynôme deC[X], soitAune matrice deMn(C). On noteBla matrice :B=P(A)2Mn(C). 1. Démontrer que si ~xest un vecteur propre deAde valeur proprel, alors~xest un vecteur propre deBde valeur propreP(l). 2

2.Le b utde cette question est de démontrer que les v aleurspropres de Bsont toutes de la formeP(l), avec

lvaleur propre deA. Soitm2C, on décompose le polynômeP(X)men produit de facteurs de degré 1 :

P(X)m=a(Xa1)(Xar):

(a)

Démontrer que

det(BmIn) =andet(Aa1In)det(AarIn): (b) En déduire que si mest valeur propre deB, alors il existe une valeur propreldeAtelle que m=P(l). 3. On note SAl"ensemble des valeurs propres deA, démontrer que S

B=fP(l)=l2SAg:

4. Soient l1;:::;lrles valeurs propres deAet soitQ(X)le polynôme :

Q(X) = (Xl1)(Xlr);

on noteCla matriceC=Q(A). (a)

Démontrer que SC=f0g.

(b) En déduire que le polynôme caractéristique de Cest(1)nXnet queCn=0.

Exercice 7SoitAla matrice

A=0 @11 0 1 01

1 0 21

A etfl"endomorphisme deR3associé. 1. F actoriserle polynôme caractéristique de A. 2. Déterminer les sous-espaces propres et caractéristiques de A.quotesdbs_dbs7.pdfusesText_5

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Enoncés et corrections : Sandra Delaunay

Sujets de l"année 2006-2007

1 Devoir à la maison

Exercice 1Soita2R, notonsAla matrice suivante

Lorsque Aest diagonalisable, calculerAnpourn2N.

SoitAla matrice deM3(R)suivante :

2 1 21

La matrice Aest-elle diagonalisable ?

B@833 1

6 3 21

26 7 102

0 0 0 21

Déterminer les v ecteurspropres de f.

4.Soit ~eun vecteur propre defpour la valeur propre 1. Démontrer que(~e;~u;~v;~w)est une base deR4.

Donner la matrice defdans cette base.

La matrice Aest-elle diagonalisable ?

Exercice 4SoitAla matrice suivante

1 0 31

Calculer Anpourn2N.

SoitAla matrice suivante

Notons An~x=an

2.Le b utde cette question est de démontrer que les v aleurspropres de Bsont toutes de la formeP(l), avec

P(X)m=a(Xa1)(Xar):

Démontrer que

B=fP(l)=l2SAg:

Q(X) = (Xl1)(Xlr);

Démontrer que SC=f0g.

Exercice 7SoitAla matrice

1 0 21