[PDF] Partiel Corrigé 7 nov. 2015 Exercice I.

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Partiel

Corrigé

L2 - 2015-2016 - Université Denis-Diderot (Paris 7) Algèbre et Analyse pour la PhysiqueSamedi 7 Novembre 2015

Durée: 2h30Aucun document n"est autorisé - ni appareil électronique. Enoncez précisément les résultats

du cours utilisés. On pourra traiter les questions indépendamment les unes des autres.

Exercice I.

On considère les matricesA:=1 1

0 1 etB:=0 1 1 0

1) La matriceAest-elle diagonalisable ?

2) La matriceBest-elle:

i) diagonalisable dansR? ii) trigonalisable dansR? iii) diagonalisable dansC? (Justifier les réponses). Correction:(exercice I) 1) Le polynome caractéristique vautPA(x) = (x1)2dont1seule valeur propre deA. Le sous-espace propre associé estE1:=Ker(AI) =fx y ;(AI)x y = 0g= :::=fx 0 ;x2Rg=V ect1 0 (cas réel), doncdim(E1) = 1Or la multiplicité de la valeur propre

1est(1) = 2, donc par Th du coursAn"est pas diagonalisable. Dans le cas deCle raisonnement est

le même.

2-i) Le calcul donnnePB(x) =x2+ 1 = (xi)(x+i). Les valeurs propres,i, ne sont pas dans

Rdonc la matriceBn"est pas diagonalisable dansR.

2-ii) La matrice ne peut pas non plus etre trigonalisable dansRpour la meme raison. On rappelle

aussi le Th du cours: la matrice est trigonalisable dansRssiPB(x)est scindé dansR(ce qui n"est pas

le cas ici).

2-iii) On a deux valeurs propres distinctesien dimension2, d"après un résultat du cours cela

implique que la matrice est diagonalisable.

Exercice II.

Soituune application linéaire deR3dansR3, dont la représentation matricielle dans la base canonique est donnée par la matriceAsuivante: A=0 @32 2 21 2
22 31
A 1

1) Calculer le polynôme caractéristique deA.

2) Trouver les valeurs propres deA. (On doit trouver deux valeurs propres distinctes.)

3) Pour chaque valeur propre, déterminer le sous-espace propre correspondant. On donnera

une base de chaque sous-espace propre.

4) Montrer que la matriceAest diagonalisable, et proposer une baseBde vecteurs propres.

CalculerD=MatB(u), la représentation matricielle deudans la baseB. Donner la matrice de

passage, notéeP, de la base canonique à la baseBtrouvée à la question précédente, et donner

une relation entreA,PetD.

Correction:(Exercice II.) 1)

P

A(x) =

3x2 2 21x2
22 3x
L

3 L3L2=

3x2 2 21x2

01 +x1x

(1) = (1x) 3x2 2 21x2
01 1 C

2 C2+C3= (1x)

3x0 2 2 1x2 0 0 1 (2) = (1x)3x0 2 1x = (1x)2(3x)(3)

2) On a donc= 1valeur propre double, et= 3valeur propre simple.

3) D"une part,

E

1=Ker(AI) =0

@x y z1 A ;0 @22 2 22 2
22 21
A0 @x y z1 A = 0 (4) 0 @x y z1 A ;2x2y+ 2z= 0(5) 0 @x x+z z1 A ; x;zdansR(6) x0 @1 1 01 A +z0 @0 1 11 A ; x;zdansR(7) =V ect0 @1 1 01 A ;0 @0 1 11 A :(8)

Les vecteurv1=0

@1 1 01 A etv2=0 @0 1 11 A étant clairement linéairement indépendant car non colinéaires, 2 on a bien ainsi une base deE1. D"autre part, en raisonnant par équivalences, E

3=Ker(A3I) =0

@x y z1 A ;0 @02 2 24 2
22 01
A0 @x y z1 A = 0 (9) 0 @x y z1 A ;y+z= 0; x2y+z= 0; xy= 0(10) 0 @x y z1 A ; x=y=z=V ect0 @1 1 11 A ;(11) etv3=0 @1 1 11 A est une base deE3.

4) On a doncdim(E1) = 2 =(1), etdim(E3) = 1 =(3). Par th du cours, la dimension de

chaque sous-espace propre étant égale à l"ordre de multiplicité de la valeur propre correspondante, la

matrice est diagonalisable. Une base de vecteur propre est par exempleB= (v1;v2;v3). La matrice de l"opérateurudans cette base est Mat

B(u) =0

@1 0 0 0 1 0

0 0 31

A La matrice de passagePest par définitionP= [v1;v2;v3] =0 @1 0 1 1 1 1

0 1 11

A et on aA=PDP1.

Exercice III.

Soituune application linéaire deR3dansR3, telle que sa représentation matricielle (dans la base canonique) soit donnée par la matrice suivante: B=0 @3 2 6 2 1 4 2 031 A

1) Calculer le polynome caractéristique deB, en déduire les valeurs propres deB.

2) Montrer queuest trigonalisable dansR.

3) Déterminer les sous espaces propres deu. En déduire queun"est pas diagonalisable.

Dans la suite on cherche à calculerBnpourn2N.

4-a.) SoitP(x) = (x1)2(x+ 1). Montrer queP(B) = 0.

4-b.) Pour toutn2N, on effectue la division Euclidienne dexnparP(x). Le reste étant un

polynome de degré2, il existe des coefficients réelsan,bn,cnet un polynomeQ(x)tels que x n=P(x)Q(x) +anx2+bnx+cn;8x2R:(12) 3

Montrer le système d"équations

(1)n=anbn+cn(13a)

1 =an+bn+cn(13b)

n= 2an+bn(13c)

4-c.) En déduirean;bnetcnen fonction den.

4-d.) En déduire une expression deBnen fonction den.

Correction:(Exercice III.) 1) On a

P

B(x) =

3x2 6 2 1x4 2 03x L

3 L3+L2=

3x2 6 2 1x4

0 1x1x

= (1x) 3x2 6 2 1x4 0 1 1 C

2 C2C3= (1x)

3x4 6 23x4
0 0 1 (1x) =3x4 23x
= (1x)(x29 + 8) = (1x)(x1)(x+ 1) =(x1)2(x+ 1) et les valeurs propres sont donc1(racine double) et1(racine simple).

2)PB(x)est scindé dansR, doncBest trigonalisable dansR.

3) CalculonsE1=Ker(BI). On a

(BI)0 @x y z1 A = 0,0 @2 2 6 2 0 4 2 041 A0 @x y z1 A = 0 8 :x+y+ 3z= 0; x+ 2z= 0; x2z= 0,x+y+ 3z= 0; x+ 2z= 0 ,x=2zety+z= 0

Ainsi on trouve queE1=V ect0

@2 1 11 A , et doncdim(E1) = 1. Commedim(E1) = 1<2 =(1), la matrice ne peut être diagonalisable.

Il reste à calculerE1=Ker(B+I).

(B+I)0 @x y z1 A = 0,0 @4 2 6 2 2 4 2 021 A0 @x y z1 A = 0,8 :2x+y+ 3z= 0; x+y+ 2z= 0; x+z= 0 L

1 L1L2,x+z= 0

x+y+ 2z= 0,x+z= 0 y+z= 0,x=y=zquotesdbs_dbs18.pdfusesText_24

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