Math2 – Chapitre 2 Dérivées Taylor
http://math.univ-lyon1.fr/~frabetti/Math2/Math2-diapo-chapitre2-handout.pdf
Extremum dune fonction de deux variables
Extremum d'une fonction de deux variables. Version du 22-08-2021 à 18:42. Contexte. Dans tout ce qui suit ? désignera une partie ouverte de R2 et f : ?
Etude des extrema dune fonction
Extrema : Rappels sur les fonctions d'une variable. Dans cette section on veut généraliser `a plusieurs variable la discussion suivante.
Fonctions de 2 et 3 variables
Objectif : chercher les extremums d'une fonction de deux variables f sous la contrainte c. Limite de la méthode : pas toujours réalisable.
Cours Fonctions de deux variables
Probl`ematique : Les extrema de fonctions ne se caractérisent pas de la même façon suivant que la fonction est ou n'est pas dérivable ”autour” d'eux. Si f est
Chapitre 10. Fonctions de deux variables réelles
(2) Est-ce que F présente un extremum local au point (42) ? au point (2
Fonctions de deux variables
Exo 10. Calculez fxy et fyx pour f := (xy) ?? exy + x siny. Page 20. Extrema. Soit f une fonction dérivable sur un rectangle ;.
Les extremums des fonctions numériques de plusieurs variables
Les extremums des fonctions numériques de plusieurs variables réelles. f admet un extremum local ou local strict en a si f admet un min resp max…
Chapitre 5 : Fonctions à plusieurs variables
Extrema des fonctions `a plusieurs variables. Extremum : maximum ou minimum d'une fonction numérique. Définition 1 (Extrema globaux et locaux).
Fonctions de plusieurs variables définies sur une partie de R
En effet vous avez vu l'an dernier qu'un extremum d'une fonction dérivable f est atteint en un point critique de f si f est définie sur un intervalle ouvert.
[PDF] Extremum dune fonction de deux variables
Extremum d'une fonction de deux variables Exemple 1 – Extremum locaux de f : (x y) ?? ? (x2 ? 2y2) e ?2x2?y2 La fonction f : (x y) ?? ? (x2
[PDF] Math2 – Chapitre 2 Dérivées Taylor extrema locaux
Théor`eme – Toutes les fonctions de plusieurs variables obtenues comme somme produit ou composée de fonctions continues d'une variable sont continues Quelques
[PDF] Chapitre 10 Fonctions de deux variables réelles
Ce chapitre présente la notion de fonction numérique de deux variables réelles et a pour but de permettre la recherche d'extrema en faisant le lien avec la
Exercices corrigés -Extrema des fonctions de plusieurs variables
Déterminer les extrema locaux des fonctions $f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ suivantes : $f(xy) = x^2 + xy + y^2 - 3x - 6y$; $f(x
[PDF] Chapitre 5 : Fonctions à plusieurs variables - Olivier LEY
Un extremum global est un extremum absolu sur tout l'ensemble Par exemple le Mont Blanc est un maximum global de la fonction altitude f sur ? “« France » et
[PDF] Fonctions de 2 et 3 variables
Objectif : chercher les extremums d'une fonction de deux variables f sous la contrainte c Limite de la méthode : pas toujours réalisable
[PDF] Fonctions de deux variables
On trouve les extrema de f sur le bord du rectangle en examinant les quatre côtés et en gardant le meilleur de ce qu'on trouve Exemple On consid`ere la
[PDF] Extremums - Exo7 - Cours de mathématiques
Nous apprendrons à repérer les extremums locaux (qui ne sont pas Dans le cas d'une fonction de deux variables : Hf (x y) = ? 2 f ? x2 (x y)
[PDF] Les extremums des fonctions numériques de plusieurs variables
Les extremums des fonctions numériques de plusieurs variables réelles f admet un extremum local ou local strict en a si f admet un min resp max
[PDF] Fonctions de deux variables - Unisciel
L'objectif de ce chapitre est de construire pour les fonctions de deux variables des outils analogues à ceux des fonctions d'une variable (limites
ECE 2 - Année 2017-2018
Lycée français de Vienne
Mathématiques - F. Gaunard
http://frederic.gaunard.comChapitre 10.Fonctions de deux variables réellesCe chapitre présente la notion de fonction numérique de deux variables réelles et a pour but de permettre
la recherche d"extremaen faisant le lien avec la théorie de la réduction des matrices. 1Généralités
Définition 1.On appelle fonction deR2dansRtoute application f:R2!R (x;y)7!f(x;y)qui à un couple(x;y)deR2associe un réel notéf(x;y). On dit alors quefest une fonction de deux
variables (réelles).+Dans un premier temps, on définira les fonctions surR2tout entier. Après avoir introduit la notion
d"ouvertdeR2dans une section suivante, on pourra avoir des fonctions dont les domaines de définition
sont plus restreints. +Les fonctions de deux variables peuvent se représenter graphiquement (ce qu"on verra dans des séances sousSciLab) en trois dimensions. Exemple.Les fonctions suivantes sont des fonctions de deux variables définies surR2. f: (x;y)7!2x3x2y3x2+y2+ 1;g: (x;y)7!ey2+xy;p: (x;y)7!x
On représente ci-dessous (à l"aide de la commandeplot3d()deSciLab) la fonctiongsur[1;1] [1;1].2Chapitre 10.Fonctions de deux variables réellesOn se pose alors, comme pour les fonctions d"une variable réelle, des questions derégularité(continuité,
dérivabilité). Mais il faut pour cela donner un sens à la notion de limite ce qui nécessite l"introduction
préalable de de la notion dedistancesurR2. Définition 2.SoientA(xA;yA)etB(xB;yB)deux points deR2. On appelledistance deAàBle réel, notéd(A;B), égal à : d(A;B) =p(xBxA)2+ (yByA)2 +Dans un repère orthonormal, le réeld(A;B)correspond à la longueur du segment[AB]et la formule précédente découle..... du théorème de Pythagore. Définition 3.Soitfune fonction définie surR2.On dit quefest continue en(x0;y0)
8 >0;9r >0tels que8(x;y)2R2; d((x;y);(x0;y0))r=) jf(x;y)f(x0;y0)j :
On dit quefest continue surR2ssifest continue en tout point deR2. Parmi les premiers exemples de fonctions continues surR2, on trouve les fonctions polynomiales et en particulier les fonctions coordonnées. Proposition 1.Les fonctions suivantes sont continues surR2: (1)Les fonctions p olynomialesf:R2!Rde la forme
f: (x;y)7!xiyj;avec(i;j)2N2 (2)Les fonctions coordonnéesde la forme
(x;y)7!xet(x;y)7!x:Théorème 1.
La somme, le produit, le quotient dont le dénominateur ne s"annule pas, de fonctions continues surR2est continue surR2. La composée d"une fonction continue surR2à valeurs dansIRet d"une fonction continue surIest continue surR2.Exercice 1.
(1)Mon trerque la fonction f: (x;y)!2x3x2y3x
2+y2+ 1est continue surR2.
(2) Mon trerque la fonction g: (x;y)!yex2y. est continue surR2. 2Calcul différen tiel
On considère dans cette partie une fonctionfdéfinie surR2. 2.1Dériv éespartielles d"ordre 1
Définition 4.
On dit quefadmet une dérivée partielle d"ordre 1 par rapport àxau point(x0;y0)2R2 si et seulement si la fonction réellefx:t!f(t;y0)est dérivable enx0. On note alors cette dérivée partielle en(x0;y0):@1(f)(x0;y0). On dit quefadmet une dérivée partielle d"ordre 1 par rapport àyau point(x0;y0)2R2 si et seulement si la fonction réellefy:t!f(x0;t)est dérivable eny0. On note alors cette dérivée partielle en(x0;y0):@2(f)(x0;y0).Définition 5.
Sifadmet une dérivée partielle d"ordre1par rapport àxen tout point deR2, alors la fonction de deux variables@1(f)(x;y)s"appelle la fonction dérivée partielle d"ordre1defpar rapport à x. 3 Sifadmet une dérivée partielle d"ordre1par rapport àyen tout point deR2, alors la fonction2(f)(x;y)s"appelle la fonction dérivée partielle d"ordre1defpar rapport ày.
Remarque 1.
La notion de dérivée partielle correspond à la notion de dérivation par rapport à une des variables
en fixant les autres, c"est-à-dire en les considérantcomme des constantes. Les règles de dérivation
découlent alors directement des règles de dérivation des fonctions à une variable. On pourra parfois rencontrer (dans des vieux sujets) les notations@f@x et@f@y (à ne pas utiliser). Définition 6.On appellegradientdefau point(x;y)le vecteur colonne deM2;1(R)suivant : r(f)(x;y) =@1(f)(x;y)2(f)(x;y)
Exercice 2.Soitfla fonction définie surR2parf(x;y) =yex2y. (1) Mon trerque fadmet des dérivées partielles d"ordre1et les calculer. (2) Déterminer le gradien tde la fonction fau point(1;2). 2.2F onctionsde classe C1
Définition 7.Si les fonctions@1(f)et@2(f)sont continues surR2, on dit que la fonctionfest de classeC1surR2. Proposition 2.Toute fonction polynomiale est de classeC1surR2.Théorème 2.
La somme, le produit, le quotient dont le dénominateur ne s"annule pas, de fonctions de classe C1surR2est de classeC1surR2.
La composée d"une fonction de classeC1surR2à valeurs dansIRet d"une fonction de classe C1surIest de classeC1surR2.
Exercice 3.Montrer que la fonctionfde l"Exercice??est de classeC1surR2. 2.3Dév eloppementlimité d"ordre 1
Comme pour des fonctions d"une variable réelle, on peut vouloir donner des approximations polyno-miales locales des fonctions de deux variables,viala notion de développement limité. Le résultat suivant
fait office de définition et de théorème. Théorème 3.Soitfune fonction de classeC1surR2. Alors,fadmet undéveloppement limitéd"ordre 1en tout point(x0;y0)deR2. Ce développement limité est unique. Plus précisément, il existe
une fonction de deux variables"continue en(0;0), vérifiant"(0;0) = 0et telle que, pour tout(h;k) "proche" de(x0;y0), f(x0+h;y0+k) =f(x0;y0) +tr(f)(x0;y0)h k +ph 2+k2 "(h;k): Exemple.Soitf(x;y)7!yex+e2y+x2. Il est clair quefest de classeC1surR2. On peut alors écrire le développement limité defà l"ordre1en(0;0). Pour(x;y)proche de(0;0), f(x;y) =f(0;0) +tr(f)(0;0)x y +px 2+y2 "(x;y) = 1 + 0 3x y +px 2+y2 "(x;y) = 1 + 3y+px 2+y2 "(x;y)4Chapitre 10.Fonctions de deux variables réelles2.4Dériv éespartielles d"ordre 2
Définition 8.Soitfune fonction définie surR2et admettant des dérivées partielles d"ordre1. Si les
fonctions dérivées partielles (x;y)7!@1(f)(x;y)et(x;y)7!@2(f)(x;y)admettent également des dérivées partielles d"ordre1, on dit quefadmet des dérivées partielles d"ordre
2. On note alors
21;1(f) =@1(@1(f))@22;2(f) =@2(@2(f))
21;2(f) =@1(@2(f))@22;1(f) =@2(@1(f))
Remarque 2.Comme précédemment, on rencontrera parfois les notations21;1(f) =@2f@x
2; @22;2(f) =@2f@y
2; @21;2(f) =@2f@x@y
; @22;1(f) =@2f@y@x:Définition 9.Si la fonctionfest de classeC1surR2et si ses dérivées partielles@1(f)et@2(f)sont
de classeC1surR2, alors on dit quefest de classeC2surR2.Exercice 4.Calculer les dérivées partielles d"ordre2de la fonctionfde l"Exercice??. Est-elle de classe
C 2? +Naturellement, toute fonctionfde classeC2surR2est aussi de classeC1surR2. Proposition 3.Toute fonction polynomiale est de classeC2surR2.Théorème 4.
La somme, le produit, le quotient dont le dénominateur ne s"annule pas, de fonctions de classe C2surR2est de classeC2surR2.
La composée d"une fonction de classeC2surR2à valeurs dansIRet d"une fonction de classe C2surIest de classeC2surR2.
En toute généralité, l"ordre dans lequel on effectue les dérivées partielles est important. Le théorème
suivant, central dans cette théorie, affirme qu"en cas de fonction régulière (de classeC2), c"est la même
chose. Théorème 5(Théorème de Schwarz).Sifest une fonction de classeC2alors21;2(f) =@22;1(f):
Définition 10.Soitfune fonction définie surR2et(x;y)2R2. Lamatrice hessiennedefau point (x;y)est la matrice deM2(R)suivante r2(f)(x;y) =@21;1(f)(x;y)@21;2(f)(x;y)
22;1(f)(x;y)@22;2(f)(x;y)
Remarque 3.Sifest de classeC2alors,@21;2(f) =@22;1(f)d"après le théorème de Schwarz donc la matrice hessienne defest une matrice symétrique. Exercice 5.Déterminer la matrice hessienne de la fonctionfde l"Exercice??au point(1;2). 3Un p eude top ologiede R2
Afin de parler de la notion d"extremum, il est nécessaire de préciser quelques notions de topologie sur
les parties deR2sur lesquelles on va rechercher ces extrema. 5 3.1 P artiesouv ertes,parties fermées, parties b ornées Définition 11.Soitrun réel strictement positif etA(xA;yA)un point deR2. On appelleboule ouverte de centreAet de rayonrl"ensembleBo(A;r)défini par B o(A;r) =fM2R2jd(M;A)< rg; On appelleboule fermée de centreAet de rayonrl"ensembleBf(A;r)défini par : B f(A;r) =fM2R2jd(M;A)rg:Définition 12.SoitUune partie non vide deR2.
Une partieUdeR2est diteouvertesi et seulement si pour tout pointM2U, il exister >0tel queBo(M;r)U, soit si e seulement si, pour toutM2Uil existe une boule ouverte de centreAincluse dansU.
Une partieFdeR2est diteferméesi et seulement si son complémentaireFest une partie ouverte.Remarque 4.L"énoncé précisera toujours la nature de la partieUétudiée (ouverte ou fermée). Voici
quelques exemples. Toute boule ouverte deR2, tout ensemble de la forme]a;b[]c;d[sont de parties ouvertes deR2. Toute boule fermée deR2, tout ensemble de la forme[a;b][c;d]sont de parties fermées deR2.Définition 13.Une partie
deR2est ditebornéesi et seulement si il existeR >0tel que pour tout M2 ,d(M;O)R(oùOest le point(0;0)), c"est-à-dire que est inclus dans la boule fermée de centreOet de rayonR.Exemple.
Toute boule ouverte deR2(resp. fermées) est une partie ouverte (resp. fermées) et bornée de R 2. Tout ensemble de la forme]a;b[]c;d[sont de parties bornées deR2. Tout ensemble de la forme[a;b][c;d]sont de parties bornées deR2.Exercice 6.
(1) Représen tergraphiquemen tles domaines ouv ertssuiv ants U1=]0;1[]0;1[; U2=]0;1[R; U3=R]0;+1[:
(2)Représen tergraphiquemen tle domaine ouv ert
U4=(x;y)2R2:x0etx < y
et le domaine ferméF=(x;y)2R2+:x+y1:
4Rec herched"extrema
4.1Extrem umlo cal
Définition 14.Soitfune fonction définie sur unouvertUet soit(x0;y0)un point deU. On dit quefadmet unminimum local en(x0;y0)s"il exister >0tel que8(x;y)2 B((x0;y0);r)\U; f(x;y)f(x0;y0):
On dit quefadmet unmaximum local en(x0;y0)s"il exister >0tel que8(x;y)2 B((x0;y0);r)\U; f(x;y)f(x0;y0):
On dit quefadmetun extremum local en(x0;y0)lorsquefadmet soit un minimum soit un maximum local en ce point.6Chapitre 10.Fonctions de deux variables réelles4.2P ointcritique
Définition 15.Soitfune fonction de classeC1sur unouvertU. On dit que(x0;y0)2Uest unpoint critiquedefsi et seulement si r(f)(x0;y0) =0 0 donc ssi@1(f)(x0;y0) = 02(f)(x0;y0) = 0
Théorème 6.Soitfune fonction de classeC1sur unouvertU. Sifadmet un extremum local en (x0;y0)2U, alors(x0;y0)est un point critique def.+Le théorème précédent donne une conditionnécessaireà l"existence d"un extemum local.Atten-
tion, la réciproque est fausse; il peut exister des points critiques defqui ne sont pas des extremums
locaux. Exercice 7.Soit la fonctionfdéfinie parf(x;y) =x2+ 3y2+ 2xy4y. Déterminer le ou les points critiques def. 4.3 Condition suffisan ted "existenced "unextr emumlo cal Théorème 7.Soitfune fonction de classeC2sur unouvertUet soit(x0;y0)unpoint critiquede f. Avec les notations précédentes, on a Si les valeurs propres de la matrice hessienner2(f)(x0;y0)sontstrictement positives, alors fadmet unminimum localen(x0;y0). Si les valeurs propres de la matrice hessienner2(f)(x0;y0)sontstrictement négatives, alors fadmet unmaximum localen(x0;y0). Si les valeurs propres de la matrice hessienner2(f)(x0;y0)sontnon nulles et de signes opposés, alorsfn"admet pas d"extremum local en(x0;y0). On parle de point col (ou point selle). Si0est valeur propre de la matrice hessienner2(f)(x0;y0), alorson ne peut rien dire. .Méthode.Lorsqu"on cherche lesextremad"une fonctionf: On commence tout d"abord par chercher les points critiques def. Pour chaque point critique, il faudra vérifier si c"est un extremum ou non. Exercice 8.Soitf(x;y) = 3xyx3y3. Déterminer, si ils existent, les extremums locaux defet préciser leurs natures. 4.4Extrem umglobal
Définition 16.Soitfune fonction définie sur une partieUdeR2et soit(x0;y0)un point deU.On dit quefadmet unminimum global en(x0;y0)si :
8(x;y)2U; f(x;y)f(x0;y0):
On dit quefadmet unmaximum global en(x0;y0)si :
8(x;y)2U; f(x;y)f(x0;y0):
On dit quefadmetun extremum global en(x0;y0)lorsquefadmet soit un minimum soit un maximum global en ce point.Théorème 8.Soitfune fonction continue sur une partieFfermée et bornée deR2. Alorsfest bornée
et atteint ses bornes surF. Ainsi,fadmet un maximum et un minimum global surF.Remarque 5.
Sifadmet extremum global en(x0;y0), alors c"est également un extremum local donc(x0;y0) est un point critique def. Pour savoir si un extremum local en(x0;y0)est également un extremum global, il faut comparer f(x;y)etf(x0;y0)pour tout(x;y)2U. Cette étape est souvent guidée par l"énoncé. 7 4.5Quelques illustrations
f(x;y) =x2+ 3y2+ 2xy4y.f(x;y) = 3xyx3y3.f(x;y) =x33xy2.f(x;y) =xyex2+y228Chapitre 10.Fonctions de deux variables réelles5Autres exercices
Exercice 9.(D"aprèsEML 2006) On noteF:R2!Rl"application définie pour tout(x;y)2R2parF(x;y) = (x1)(y2)(x+y6):
(1) Mon trerque (4;2)et(2;3)sont des points critiques deF: (2) Est-ce que Fprésente un extremum local au point(4;2)? au point(2;3)? Exercice 10.Déterminer les extremums de la fonctionfdéfinie surR2par :f(x;y) =xy(x+y1). Exercice 11.Soitfdéfinie surR2par :f(x;y) = 9x2+ 8xy+ 3y2+x2y. (1) Mon trerque fadmet un seul extremum surR2. Quelle est sa nature? (2)Calculer f(1=2;1)puis retrouver le résultat de la question précédente en développant l"expression
3 y+43 x13 2 +113x+12 2 (3)
Cet extrem umest-il global ?
Exercice 12.Soit la fonctionfdéfinie par :f(x;y) =x((ln(x))2+y2). (1) Préciser le domaine de définition de fet le représenter.On admet que ce domaine est ouvert. (2)Mon trerque fest de classeC2sur ce domaine.
(3) Mon trerque fadmet un seul extremum local. Préciser sa nature et sa valeur. (4)Cet extrem umest-il global ?
Exercice 13.Soitfdéfinie surR2par :f(x;y) =xye(x2+y2). (1)Calculer @1(f)et@2(f)
(2) Déterminer les p ointscritiques d efet indiquer si ces points correspondent à un minimum ouquotesdbs_dbs41.pdfusesText_41[PDF] tutoriel powerpoint 2010
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