Math2 – Chapitre 2 Dérivées Taylor
http://math.univ-lyon1.fr/~frabetti/Math2/Math2-diapo-chapitre2-handout.pdf
Extremum dune fonction de deux variables
Extremum d'une fonction de deux variables. Version du 22-08-2021 à 18:42. Contexte. Dans tout ce qui suit ? désignera une partie ouverte de R2 et f : ?
Etude des extrema dune fonction
Extrema : Rappels sur les fonctions d'une variable. Dans cette section on veut généraliser `a plusieurs variable la discussion suivante.
Fonctions de 2 et 3 variables
Objectif : chercher les extremums d'une fonction de deux variables f sous la contrainte c. Limite de la méthode : pas toujours réalisable.
Cours Fonctions de deux variables
Probl`ematique : Les extrema de fonctions ne se caractérisent pas de la même façon suivant que la fonction est ou n'est pas dérivable ”autour” d'eux. Si f est
Chapitre 10. Fonctions de deux variables réelles
(2) Est-ce que F présente un extremum local au point (42) ? au point (2
Fonctions de deux variables
Exo 10. Calculez fxy et fyx pour f := (xy) ?? exy + x siny. Page 20. Extrema. Soit f une fonction dérivable sur un rectangle ;.
Les extremums des fonctions numériques de plusieurs variables
Les extremums des fonctions numériques de plusieurs variables réelles. f admet un extremum local ou local strict en a si f admet un min resp max…
Chapitre 5 : Fonctions à plusieurs variables
Extrema des fonctions `a plusieurs variables. Extremum : maximum ou minimum d'une fonction numérique. Définition 1 (Extrema globaux et locaux).
Fonctions de plusieurs variables définies sur une partie de R
En effet vous avez vu l'an dernier qu'un extremum d'une fonction dérivable f est atteint en un point critique de f si f est définie sur un intervalle ouvert.
[PDF] Extremum dune fonction de deux variables
Extremum d'une fonction de deux variables Exemple 1 – Extremum locaux de f : (x y) ?? ? (x2 ? 2y2) e ?2x2?y2 La fonction f : (x y) ?? ? (x2
[PDF] Math2 – Chapitre 2 Dérivées Taylor extrema locaux
Théor`eme – Toutes les fonctions de plusieurs variables obtenues comme somme produit ou composée de fonctions continues d'une variable sont continues Quelques
[PDF] Chapitre 10 Fonctions de deux variables réelles
Ce chapitre présente la notion de fonction numérique de deux variables réelles et a pour but de permettre la recherche d'extrema en faisant le lien avec la
Exercices corrigés -Extrema des fonctions de plusieurs variables
Déterminer les extrema locaux des fonctions $f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ suivantes : $f(xy) = x^2 + xy + y^2 - 3x - 6y$; $f(x
[PDF] Chapitre 5 : Fonctions à plusieurs variables - Olivier LEY
Un extremum global est un extremum absolu sur tout l'ensemble Par exemple le Mont Blanc est un maximum global de la fonction altitude f sur ? “« France » et
[PDF] Fonctions de 2 et 3 variables
Objectif : chercher les extremums d'une fonction de deux variables f sous la contrainte c Limite de la méthode : pas toujours réalisable
[PDF] Fonctions de deux variables
On trouve les extrema de f sur le bord du rectangle en examinant les quatre côtés et en gardant le meilleur de ce qu'on trouve Exemple On consid`ere la
[PDF] Extremums - Exo7 - Cours de mathématiques
Nous apprendrons à repérer les extremums locaux (qui ne sont pas Dans le cas d'une fonction de deux variables : Hf (x y) = ? 2 f ? x2 (x y)
[PDF] Les extremums des fonctions numériques de plusieurs variables
Les extremums des fonctions numériques de plusieurs variables réelles f admet un extremum local ou local strict en a si f admet un min resp max
[PDF] Fonctions de deux variables - Unisciel
L'objectif de ce chapitre est de construire pour les fonctions de deux variables des outils analogues à ceux des fonctions d'une variable (limites
Fonctions de deux variables
D´edou
Mai 2011
D"une `a deux variables
Les fonctions mod`elisent de l"information d´ependant d"un param`etre. On a aussi besoin de mod´eliser de l"information d´ependant de plusieurs param`etres, et c"est ce que font les fonctions de plusieurs variables. Ce qu"on sait faire pour les fonctions d"une variable s"´etend dans une certaine mesure aux fonctions de plusieurs variables comme on va le voir.Exemple de fonctions de deux variables
Comme les fonctions d"une variable, celles de deux variables s"´ecrivent avec "?→". En voici une :d:= (x,y)?→ |x-y|. Je l"appelledparce que d(x,y) est la distance entrexety. En voici une autre :p:= (R,R?)?→RR?R+R?. C"est la fonction qui donne la r´esistance d"un montage en parall`ele de deux r´esistances. C"est pour ¸ca que j"ai appel´e les variablesRetR?, mais j"aurais aussi bien pu ´ecrire la mˆeme fonction (x,y)?→xyx+y.Exo 1 Donnez votre exemple favori de fonction de deux variables.Domaine de d´efinition
Certaines fonctions sont d´efinies pour toutes les valeurs des (deux) variables mais d"autres non. On va dire que les fonctions de deux variables sont les applications deR2dansR?, ce qui permet de d´efinir le domaine de d´efinition par la formule :DDf:={(x,y)?R2|f(x,y)?=?}.Exemple
Posonsf:= (x,y)?→ln(x-y2)-2?y-x2.
On aDDf={(x,y)?R2|x2≤yetx>y2}.
C"est une partie du plan et ¸ca se dessine.Exo 2Dessinez le domaine de d´efinition de
f:= (x,y)?→xln(x+y)-y⎷y-x.Graphe
Le grapheGrfd"une fonctionfde deux variables, c"est une partie deR3, `a savoir :Grf:={(x,y,z)?R3|z=f(x,y)}.Exemple
a) Le graphe de (x,y)?→x+y+ 1 est le plan passant par (0,0,1),(1,0,2) et (0,1,2). b) Le graphe de (x,y)?→?1-x2-y2est "l"h´emisph`ere nord" de la sph`ere unit´e.Ca se dessine ou se visualise.D´eriv´ees partielles
Pour une fonction de deux variables, il y a deux d´eriv´ees, une "par rapport `ax" et l"autre "par rapport `ay". Les formules sont (`a gauche la premi`ere, `a droite la seconde) : (a,b)?→(x?→f(x,b))?(a) (a,b)?→(x?→f(a,x))?(b). La premi`ere est not´eef?xou parfois∂f∂xet la seconde est not´eef?y ou parfois ∂f∂y. On a donc f ?x(a,b) = (x?→f(x,b))?(a)f?y(a,b) = (x?→f(a,x))?(b).Calcul de la premi`ere d´eriv´ee partielle
Pour calculer la premi`ere d´eriv´ee partielle, on consid`ereycomme un param`etre et on d´erive comme d"habitude.ExemplePosonsf:= (x,y)?→xy+y2+ cosxy.On a
f ?x(x,y) =y-ysinxy.Exo 3Calculezf?x(x,y) pourf:= (x,y)?→xy2-y+exy.
Calcul de la seconde d´eriv´ee partielle
Pour calculer la seconde d´eriv´ee partielle, on consid`erexcomme un param`etre et on d´erive "eny".ExemplePosonsf:= (x,y)?→xy+y2+ cosxy.On a
f ?y(x,y) =x+ 2y-xsinxy.Exo 4Calculezf?y(x,y) pourf:= (x,y)?→xy2-y+exy.
Le gradient
Si on met les deux d´eriv´ees partielles ensemble, on obtient le gradientdef, qu"on note?f, ce qui se lit aussi "nablaf" :Posonsf:= (x,y)?→xy+y2.On af?x(x,y) =yet
f ?y(x,y) =x+ 2y. Le gradient defau point (3,10) est donc (10,23).Exo 5 Calculez le gradient def:= (x,y)?→xey-3yx2en (1,1).Le dessin du gradient
Le gradient?f(M) defau pointMest un ´el´ement deR2qu"on voit comme un vecteur. Et ce vecteur, on est libre de le voir o`u on veut : alors on fait le choix des physiciens qui consiste `a voir l"origine de ce gradient enM. Ainsi, quandMvarie, on a un gradient en chaque point. Les physiciens disent que le gradient d"une fonction est un "champ" de vecteurs.Exemple Pourf:= (x,y)?→x2+ 2y2, on a?f(2,1) = (4,4) et ¸ca se dessine.Exo 6Pourf:= (x,y)?→xy-y2, dessinez?f(1,1).
Le sens du gradient
A une variable, la d´eriv´ee dit dans quel sens varie la fonction et `a quelle vitesse : plus la d´eriv´ee est grande, plus la fonction augmente ("en premi`ere approximation"). A deux variables, le gradient pointe dans la direction o`u la fonction augmente le plus, et plus il est long, plus la fonction augmentequotesdbs_dbs2.pdfusesText_2[PDF] tutoriel powerpoint 2010
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