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On appelle nombre rationnel un nombre qui peut s'écrire comme quotient de Nombre irrationnel : son écriture décimale illimitée est non périodique et 



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Un nombre rationnel est le quotient d'un nombre entier relatif par un nombre entier relatifs non nul Un nombre irrationnel est un nombre qui n'est pas 



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Vrai : la somme d'un nombre rationnel et d'un nombre irrationnel est irrationnelle Démonstration Soient x1x2 ? R tels que x1 est rationnel et x2 est 



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Curiosité : pour trouver l'écriture fractionnaire d'un nombre rationnel connu par son développement fraction égale à 2 ce nombre est irrationnel



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1 fév 2019 · un nombre irrationnel est un nombre qui n'est pas rationnel : 2 ? 2) Diviseur commun à deux entiers définition



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Par nombre il faut entendre nombre entier ou nombre rationnel ( Une fraction s'écrit avec deux nombres entiers ) C'est tout d'abord dans la musique qu'il mit 



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On le note (de l'italien quotienté ) Exemples : Les nombres suivants sont des nombres rationnels : 6 L'ensemble des nombres irrationnels : Définition :



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On appelle nombre rationnel un nombre qui peut s'écrire comme quotient de deux entiers relatifs On dit qu'un réel a est un nombre rationnel s'il peut s'écrire 



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Nombres : entre rationnel et irrationnel réel et imaginaire Rémi Carles CNRS Univ Rennes Rémi Carles (CNRS) Nombres 1 / 25 



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Opérations de base : L'addition ( + ) La multiplication ( x ) et La relation d'ordre ( ? ) Opérations secondaires : La soustraction ( ? ) et La division ( ÷ )



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NOMBRES ENTIERS ET RATIONNELS I Nature des nombres : 1) Activité : En maternelle on a appris à compter des objets et on utilisait les nombres 1 



[PDF] Chapitre 3 : Les nombres rationnels - Collège Jean Monnet

Définition : un nombre rationnel est un nombre qui peut s'écrire pour la forme Un nombre irrationnel est un nombre qui n'est pas rationnel



[PDF] NOMBRES RÉELS– Chapitre 1/2 - maths et tiques

Tout le cours sur les ensembles de nombres en vidéo : https://youtu be/kL-eMNZiARM Définition : Un nombre réel est un nombre rationnel ou irrationnel



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Un nombre rationnel est un nombre qui peut s'exprimer comme le quotient de deux entiers relatifs Un nombre rationnel peut donc s'écrire sous la forme b a avec 



[PDF] Chapitre 1 : Les nombres rationnels - Mathadomicile

Définition : Un nombre est irrationnel s'il ne peut pas s'écrire sous forme de fraction Exemples d'irrationnels : 2 ; 3 ; 1? 2 ; etc ; 2 ; 



[PDF] CHAPITRE 1 : NOMBRES RATIONNELS

RETROUVER LE RATIONNEL À partir de l'écriture décimale périodique d'un nombre on peut retrouver son écriture sous forme de fraction Exemple Nous appelons N 



[PDF] Chapitre 1 exercice 3 1 Vrai : la somme dun nombre rationnel et d

Vrai : la somme d'un nombre rationnel et d'un nombre irrationnel est irrationnelle Démonstration Soient x1x2 ? R tels que x1 est rationnel et x2 est 

  • Comment reconnaître un nombre rationnel et irrationnel ?

    Un nombre est rationnel s'il peut s'écrire sous la forme d'un quotient de deux entiers. L'ensemble des nombres rationnels se note Q. Inversement, un nombre est irrationnel lorsqu'il n'est pas rationnel, c'est à dire qu'il ne peut s'écrire sous forme de fraction.

  • Comment démontrer que ? 2 est un nombre irrationnel ?

    Ils sont donc tous les deux divisibles par 2 et ne sont donc pas premiers entre eux (car ils ont un diviseur commun différent de 1 et ?1). Ceci est une contradiction (étape n°2). Ainsi, ?2 ne peut pas être un nombre rationnel ; c'est donc un nombre irrationnel.

  • Qu'est-ce qu'un nombre irrationnel exemple ?

    ?Bref, l'ensemble des nombres irrationnels regroupent tous les nombres qui ne peuvent pas s'exprimer comme un quotient d'entiers. Le développement décimal de ces nombres est infini et non périodique. ? ?3,141592654 ?2 ?1,414213562
  • La démonstration de l'irrationalité de peut s'effectuer aujourd'hui par l'absurde : Supposons que soit rationnel, alors il existe deux entiers p et q tel que p/q soit irréductible et = p/q. Donc 2 = p2/q2 soit p2 = 2q2. - p2 est ainsi un nombre pair donc p l'est également.

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NOMBRES RÉELS - Chapitre 1/2

Tout le cours sur les ensembles de nombres en vidéo : https://youtu.be/kL-eMNZiARM

Partie 1 : Nombres entiers

Vidéo https://youtu.be/HMY31orMLjs

1. Nombres entiers naturels

Définition : Un nombre entier naturel est un nombre entier qui est positif. L'ensemble des nombres entiers naturels est noté ℕ.

0;1;2;3;4;...

Exemples :

4 ∈ ℕ (4 appartient à l'ensemble des entiers naturels)

-2 ∉ℕ (-2 n'appartient pas à l'ensemble des entiers naturels)

2. Nombres entiers relatifs

Définition : Un nombre entier relatif est un nombre entier qui est positif ou négatif. ...;-3;-2;-1;0;1;2;3;... Partie 2 : Nombres décimaux, nombres rationnels

1. Nombres décimaux

Définition : Un nombre décimal est un nombre qui s'écrit avec un nombre fini de chiffres après la virgule. L'ensemble des nombres décimaux est noté ⅅ. Exemples : 0,56 ∈ ⅅ 3 ∈ ⅅ ∉ ⅅ car ≈ 0,3333... ∈ ⅅ car =0,75

Remarque :

Un nombre décimal peut toujours s'écrire sous la forme de la fraction d'un entier et d'une puissance de 10.

Par exemple :2,36 =

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2. Nombres rationnels

Définition : Un nombre rationnel est une fraction (*). (*) Une fraction s'écrit sous la forme d'un quotient avec a un entier et b un entier non nul.

Exemples :

Démonstration au programme :

Vidéo https://youtu.be/SHRo1ISyIXI

Démontrons que le nombre rationnel

n'est pas décimal. On va effectuer une démonstration par l'absurde en supposant que est décimal.

Si notre démonstration aboutit à une absurdité, cela prouvera que notre hypothèse de départ

est fausse.

Supposons donc que

est décimal. Alors il peut s'écrire sous la forme de la fraction d'un entier et d'une puissance de 10. Soit avec entier et entier naturel.

Donc 10

=3 et donc 10 est divisible par 3. Un nombre est divisible par 3 lorsque la somme de ses chiffres est divisible par 3. Or, ceci est impossible car la somme des chiffres de 10 est 1, et 1 n'est pas divisible par 3. Donc l'hypothèse posée au départ est fausse et donc n'est pas décimal

Partie 3 : Notion de nombres réels

1. Nombres irrationnels

Définition : Un nombre irrationnel est un nombre qui ne peut pas s'écrire à l'aide d'une fraction.

Exemples :

2,

3 ou encore sont des nombres irrationnels.

Ils ne peuvent pas s'écrire sous la forme d'une fraction.

Remarque :

Il n'est pas possible d'écrire un nombre irrationnel sous forme décimale. Les décimales qui le

constituent sont en nombre infini et se suivent sans suite logique.

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2. Nombres réels

Définition : Un nombre réel est un nombre rationnel ou irrationnel. L'ensemble des nombres réels est noté ℝ.

Exemples :

2, -5, 0.67,

3 ou appartiennent à ℝ.

Remarques :

• Un nombre est réel s'il est l'abscisse d'un point d'une droite graduée appelée la droite

numérique. • ℝ est l'ensemble de tous les nombres que nous utilisons en classe de seconde. Démonstration au programme : Irrationalité de 2

Vidéo https://youtu.be/oRcTlNh1Sjc

On va effectuer une démonstration par l'absurde en supposant que 2 est rationnel.

Si notre démonstration aboutit à une absurdité, cela prouvera que notre hypothèse de départ est

fausse.

Supposons donc que

2 est un rationnel.

Il s'écrit alors

2 = avec et entiers naturels premiers entre eux, non nul.

Ainsi :

= 2 soit =2

On en déduit que

est pair, ce qui entraîne que est pair.

En effet, si était impair, alors

serait impair (voir Chapitre " Notion de multiple, diviseur et nombre premier »). Puisque est pair, il existe un entier naturel tel que =2.

Comme,

=2

On a :

2

=2

Soit : 4

=2

Soit encore

=2

On en déduit que

est pair, ce qui entraîne que est pair.

Or, et sont premiers entre eux, donc ils ne peuvent être pairs simultanément. On aboutit à une

absurdité. Donc,

2 n'est pas un rationnel. Et donc,

2 est un irrationnel.

" Les nombres entiers permettent de compter, les nombres réels permettent de mesurer. »

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Partie 4 : Classification des nombres

La classification des nombres :

Vidéo https://youtu.be/kL-eMNZiARM

On a également les inclusions suivantes :

Méthode : Reconnaître la nature d'un nombre

Vidéo https://youtu.be/pKxTaiqnyHg

Quel est le plus petit ensemble de nombres auquel appartient chacun des nombres suivants ? 1) - 2)

3) 1,333 4)

36 5)

6 6)

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Correction

1) - =-0,25

Donc -

∈ ⅅ car le nombre de décimales après la virgule est en nombre fini. 2) ≈0,3333... Donc s'écrit uniquement sous forme d'une fraction et ne peut pas s'écrire sous forme décimale.

3) 1,333 ∈ ⅅ car le nombre de décimales après la virgule est en nombre fini.

4) 36=6
Donc

36∈ ℕ car 6 est un nombre entier positif.

5)

6≈2,4495...

Donc

6 ∈ℝ car c'est un nombre irrationnel.

6) -3 B 2 C 12 -3×2 12 -6 12 =-0,5 Donc ∈ ⅅ car le nombre de décimales après la virgule est en nombre fini.

Déterminer un arrondi d'un nombre :

Vidéo https://youtu.be/53VOST9yJfg

Méthode : Donner un encadrement d'un nombre réel

Vidéo https://youtu.be/sJIXJT3fdcU

A l'aide de la calculatrice donner un encadrement à 10 de

2 et de

3.

Correction

La calculatrice affiche des valeurs approchées :

Donner un encadrement à 10

, c'est donner un encadrement d'amplitude 0,001.

On a alors les encadrements à 10

: 1,414<

2<1,415 et 1,732<

3<1,733.

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