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IREM DE TOULOUSE

Groupe Premier Cycle

Analyse de situations didactiques en mathŽmatiques au

Dispositif : 04A0160177

MathŽmatiques et didactique de la discipline

Module : 10573

Lundi 24 janvier 2005 - Mardi 25 janvier 2005

Les objectifs du stage

¥ ƒchanger ˆ propos de quelques thŽories de l'apprentissage ¥ Discuter la notion d'activitŽ mathŽmatique ¥ Analyser des activitŽs favorisant la crŽativitŽ, la prise du risque d'erreur ... nŽcessaires ˆ tout travail mathŽmatique

Documents remis aux stagiaires

Petit glossaire É de mots glanŽsÉ

Didactique et pŽdagogie

Ces deux notions ont vu leur sens Žvoluer au cours du tempsÉ

On peut dire que la didactique porte sur le contenu des disciplines enseignŽes et que la pŽdagogie

que la didactique est centrŽe sur le rapport au savoir et que la pŽdagogie Žtudie ce qui se passe en classe

Didactique dÕune discipline

Deux approches

- ŽpistŽmologique : quel est le cadre conceptuel dans lequel sÕinscrit lÕapprentissage ?

Champ conceptuel (GŽrard Vergnaud)

LÕacquisition dÕun concept nŽcessite un large Žventail de connaissances interdŽpendantes.

procŽdures de plusieurs types en Žtroites connexionsÓ.

Un objectif-obstacle est constituŽ par le dŽpassement dÕun certain niveau de reprŽsentation qui fait

obstacle ˆ la comprŽhension dÕune notion. sance

Situation didactique (Guy Brousseau)

Žorie des situations didactiques : analyse a priori (inventaire des comportementsÉ) et a posteriori

lՎlaboration dÕun processus dÕapprentissage.

Trois formes de dialectique :

solutions seront explicitŽes ou non).

- de la formulation : cr Žation dÕun langage pour assurer lՎchange. Dans cette phase il nÕest pas

- de la validation : obligation de prouver autrement que par lÕaction. Dans cette phase, appara"t lÕimportance de la preuve - N. Balache

ÒÉla preuve est un acte social, elle

sÕadresse ˆ un individu quÕil faut convaincreÓ.

G. Brousseau a dŽveloppŽ lÕidŽe de situations dÕinstitutionnalisation Òcelles pour lesquelles on Þxe

conventionnellement et explicitement le statut cognitif de la connaissanceÓ.

Fonction principale des situations dÕinstitutionnalisation : o!cialiser certaines connaissances qui, jusque

lˆ nÕont ŽtŽ que des outils, leur donner le statut dÕobjet mathŽmatique est une condition

dÕhomogŽnŽisation de la classe et, pour chacun, une faon de jalonner son savoir et d Õen assurer la

progression. De nombreux concepts ont ŽtŽ crŽŽs : contrat didactique - variables didactiques É

Contrat didactique

Il dŽtermine les obligations rŽciproques du formateur et des formŽs. leons, fait ses exercicesÉ productionsÉ pour faire progresser le savoir de tous.

ƒlaboration de conceptions pro visoirement bonnes qu Õil faudra Žlargir , rejeter pour en former de

nouvelles. LÕerreur nÕest plus un dŽfaut ˆ Žviter ˆ tout prix.

Transposition didactique (Yves Chevallard)

Le concept de transposition didactique a ŽtŽ introduit pour rendre compte de la transformation

nŽcessaire opŽrŽe sur les savoirs retenus pour tre enseignŽs avant que ces savoirs puissent e

ectivement

tre enseignŽs.

savoirs scientiÞques Ñ> savoirs ˆ enseigner Ñ> savoirs enseignŽs. Objets rŽels - Objets dÕenseignement - ReprŽsentations

LÕenseignement des mathŽmatiques (au dŽbutÉ) participe ˆ construire une modŽlisation du rŽel chez

Aux signiގs primitifs (objets rŽels) on attache des signiÞants (relationsÉ). A ces signiÞants sont liŽs des

nouveaux signiގs dÕun autre ÒespaceÓ : les reprŽsentations.

Dialectique Outil - Objet (RŽgine Douady)

Aspect outil, aspect objet dÕun concept mathŽmatique : dÕobjet. la collectivitŽ.

Pour que la dialectique outil-objet puisse se mettre en place, il est nŽcessaire quÕil y ait un rŽel

Žrents

institutionnalisŽe en tant quÕobjet.

Cadres et registres (Robert Duval)

Exemple : dans le cadre gŽomŽtrique il existe plusieurs registres : registre de la langue naturelle, registre

de la Þgure, registre de lՎcriture symbolique, registre de la langue mathŽmatique, registre graphique.

Variables didactiques

les notions en jeu.

Exemples : temps de r Žsolution - valeurs des donnŽes pour un calcul - position de lÕaxe dans des

constructions de symŽtriquesÉ

Conceptions de lÕapprentissage

Dans cette activitŽ, qu'est-ce qui peut, selon vous, "gner" l'apprentissage de nos

ActivitŽ

1

Conventions de prioritŽs

Organiser, pour

l'effectuer une succession d'opŽrations.

La confrontation

des rŽponses dŽbouche sur de prioritŽ. Effectuer les calculs suivant s ˆ la main, mentalement ou avec une calculatrice.

A = 0,25 + 9 + 0,75

B = 2 x 8 x 5

C = 25 - 3 - 2

D = 40 : 8 : 2

E = 11 - 8 + 2

F = 6 + 14 : 5

G = 10 - 4 x 2

H = 3 x 7 - 2

Collection "Transmath" 5e, Žd. Nathan, 2001

Le sens des mots

commun accord et appliquŽe par tous.

Par exemple, placer une virgule ˆ droite

du chiffre des unitŽs est une convention.

RŽponses des stagiaires :

Groupe 1

Blocages possibles :

¥ Manque au niveau des prŽrequis de 6e.

¥ LÕencart ÒdŽÞnitionÓ nÕest pas bien placŽ. ¥ Pas de dŽcoupage : toutes les conventions sont prŽsentŽes dans les mmes exercices.

Groupe 2

1) Consigne ˆ modiÞer :

Pas droit ˆ la calculatrice au dŽpart pour faire Žmerger les erreurs. Si utilisation de la calculatrice aucune possibilitŽ dÕatteindre lÕobjectif.

2) Statut de la calculatrice :

Valide le rŽsultat !?

Exemples E et F : contrat didactique (au niveau dÕun calcul astucieux)

3) PrŽsentation gŽnŽrale :

A = ...

B = ...

La prŽsentation gŽnŽrale apporte la confusion.

Groupe 3

CONFUSION :

di

Žrents selon les calculatrices).

¥ Calculs proposŽs : toutes les conventions sont mŽlangŽes, manque de clartŽ.

ActivitŽ de dŽbut dÕannŽe :

Est-il pertinent dÕintroduire autant de doute ? Technique dÕanimation : travail individuel ou en groupe ?

Comment apprend-on ?

Toute pratique enseignante repose sur des prŽsupposŽs psychologiques. En particulier, elle concrŽtise,

pour une part, les conceptions de lÕapprentissage implicites ou explicites de lÕenseignant.

Si ce dernier choisit de dire et de montrer le savoir, cÕest qu Õil prŽsume, consciemment ou

questions relativement faciles sÕencha"nent jusquՈ la "dŽcouverte" du savoir visŽ, cÕest quÕil prŽtend que

dire le savoir ne su

t pas. CÕest aussi quÕil pense que sa Þche dÕactivitŽs, ainsi conue, facilitera

dÕenseignement.

Mais, quoi quÕil en soit, ses choix seront autant de rŽponses partielles et temporaires ˆ la question

cruciale de la psychologie de lՎducation : Ç comment apprend-on ? È; ou ˆ celle, voisine mais non

semblable, de tout praticien de l Õenseignement : Ç comment favoriser lÕapprentissage du plus grand

nombre, sans faire obstacle aux apprentissages ˆ venir, dans le temps imparti ? È.

En sÕappuyant sur les recherches en psychologie, on peut repŽrer trois grands types de rŽponses ˆ

cette question qui semblent inspirer les pratiques enseignantes en mathŽmatiques aujourdÕhui.

Cette conception de lÕapprentissage, hŽritŽe des pŽdagogies traditionnelles, est en fait rarement

exprimŽe et fonctionne comme une Ç conception spontanŽe È.

Pour elle, lÕapprentissage se rŽsume ˆ un enregistrement en mŽmoir e du savoir exposŽ par

photographique. LÕacte dÕenseigner y est donc central. CÕest lÕenseignant qui dit et montre le savoir, le

construit et le structure. Il n'y a rien ˆ apprendre lorsquÕil ne parle pas ou ne montre pas.

lÕextŽrieur et doit sÕadapter aux activitŽs magistrales ou interrogativ es proposŽes par lÕenseignant dans

une situation de communication collective et verticale.

En consŽquence, un enseignement parfaitement rŽussi serait un exposŽ o l'enseignant ne

Jean PIAGET (1896-1980) souligne comme un rŽsultat important de ses trav aux la faillite expŽrimentale de cette conception transmissive qui confond apprentissage et enseignement. En e et, ce

nombreuses Žtudes montrent quÕil nÕen est rien. Elles montrent aussi que lÕesprit nÕest pas assimilable ˆ

une cire vierge.

Ç Quel que soit son ‰ge, l'esprit n'est jamais vierge, table rase ou cire sans empreinte È Žcrit Gaston

BACHELARD (1884-1962).

Illustration : Les limites de la transmissionÉ

x!8 lim 1 x"8 compris. NÕy croyant quՈ moitiŽ, il lui pose lÕexercice suivant : calcule x!5 lim 1 x"5 x!8 lim 1 x"8 , alors x!5 lim 1 x"5 5

¥ Statut de l'erreur

et, l'erreur

pourrait crŽer de mauvais rŽßexes ou s'imprimer dans la tte de ce dernier . Il faut donc dresser un

d'expliquer ˆ nouveau ou de r efaire apprendre en lui demandant dՐtre plus attentif . Et, en dernier

comme une rupture avec la tradition psychologique introspective qui dominait alors. Il a marquŽ la

naissance de la psychologie comme domaine scientiÞque propre. Ce courant a dominŽ les recherches en

Rejetant toute rŽfŽrence ˆ la conscience, le behaviorisme s'applique ˆ Žtudier scientiÞquement le

comportement (behaviour, en anglais) de l'animal ou de l'homme dŽÞni comme Ç l'ensemble des

oppose aux stimuli, eux aussi observables, dans le milieu dans lequel il vit È (WATSON, 1878-1958).

Historiquement, cette Žtude s'est Žtendue aux analyses des apprentissages humains et au domaine de

l'Žducation.

L'apprentissage y est dŽÞni comme la capacitŽ ˆ donner la rŽponse adŽquate ˆ des stimuli donnŽs. Il

est envisagŽ comme un processus mŽcanique dans lequel les comportements de lÕapprenant sont

dŽterminŽs par les renforcements rencontrŽs : les ÒbonnesÓ rŽponses sont rŽcompensŽes et reproduites,

les ÒmauvaisesÓ rŽponses punies et abandonnŽes. CÕest lÕapprentissage par conditionnement.

SKINNER (1904-1990), psychologue behavioriste, a ŽlaborŽ une thŽorie du conditionnement

opŽrant qui se distingue du conditionnement classique. Dans celle-ci, lÕindividu est actif, apprend en

observant les consŽquences de ses actes et en recevant des renforcements. Si le comportement procure

du plaisir, il sera reproduit. Sinon, il sera abandonnŽ. Cette conception de lÕapprentissage a donnŽ ˆ

SKINNER les principes de lÕenseignement programmŽ. Celui-ci consiste pour lÕenseignant ˆ proposer

mesure ses acquisitions dans le sens dÕune modiÞcation des comportements programmŽs par nombre de questions relativement faciles.

DŽcomposition en sous-compŽtences de l'addition selon Thorndike (1874-1949)¥ Apprendre ˆ se concentrer sur les chiffres colonne par colonne pour les additionner (pour les

enfants, le passage de la connexion 8 + 7 = 15 ˆ la connexion 38 + 7 = 45 ou ˆ la connexion

68 + 27 = 95 n'est nullement Žvident) ; ¥ Apprendre ˆ garder en mŽmoire le rŽsultat de chaque addition jusqu'ˆ avoir obtenu le rŽsultat

de l'addition suivante ;

correspondant ˆ l'unitŽ; en particulier, apprendre il Žcrire le 0 lorsque le rŽsultat de l'addition est

10.

ŽlŽmentaires dÕapprentissages simples, il constitue une rŽduction de la rŽalitŽ. Il ne permet pas de rendre

compte des apprentissages complexes, comme lÕacquisition de la lecture. De plus, les mŽthodes qui sÕen

signiÞcation de ses actes. Les savoirs nouveaux viennent se superposer les uns aux autres sans jamais

s'enchevtrer ni se restructurer. Savoir dŽbrayer, savoir accŽlŽrer, savoir freiner, savoir tourner le volant

ne signiÞe pas que l'on sache conduire ! Pourtant l'inßuence indirecte du behaviorisme demeure grande. L'enseignement assistŽ par ordinateur ou la pŽdagogie par objectifs en sont fortement imprŽgnŽs.

¥ Statut de l'erreur

Dans toutes les conceptions inspirŽes du bŽhaviorisme, l'enseignement est fondŽ sur le dŽcoupage des

prŽrequis indispensables. Ou que la connaissance n'aurait pas ŽtŽ dŽcomposŽe en ŽlŽments su

samment petits pour tre confondue avec une rŽponse adaptŽe ˆ un stimulus.

La grande majoritŽ des travaux de didactique s'Žcartent de la conception transmissive ou behavioriste

sous ses di recherches en psychologie cogni tive et e n psychologie sociale que l'on peut cataloguer de constructivistes.

¥ Le constructivisme individuel de Jean PIAGET

L'inßuence de Jean PIAGET (1896-1980) fondateur de l'ŽpistŽmologie gŽnŽtique est considŽrable en

¥ Construction de la connaissance

Pour PIAGET, la construction de la connaissance est le rŽsultat d'un processus d'interaction entre le

une simple accumulation. SchŽmatiquement, on peut dire que toute connaissance nouv elle est

confrontŽe ˆ la structure cognitive existante aÞn d'y tre intŽgrŽe. Le processus adaptatif qui va alors

s'engager opŽrera alors par assimilation ou par accommodation. L'assimilation, c'est l'appropriation par

pas ˆ assimiler. Ces deux p™les de lÕadaptation, assimilation et accommodation, sont indissociables :

Mais l'action constante du sujet sur son environnement peut introduire des perturbations dans le

impossibilitŽ de relier la connaissance nouvelle ˆ la structure cognitive existante. Le sujet rŽpond par des

compensations actives, une autorŽgulation que PIA GET nomme Žquilibration. Si le dŽsŽquilibre est

important, l'autorŽgulation entra"nera une restructuration qui tiendra compte des acquisitions nouvelles

et sera donc plus solide, plus large et plus gŽnŽrale : on parlera, dans ce cas, de rŽŽquilibration

majorante.

¥ Le dŽveloppement de l'intelligence

Pour PIAGET, biologiste de formation, le dŽveloppement cognitif est en continuitŽ avec le

dŽveloppement biologique. Les Žtapes de ce dŽveloppement suivent un ordre constant et sont nommŽes

formelles). Chaque stade est caractŽrisŽ par une structure dÕensemble commune ˆ tous les sujets dÕun

mme niveau qui permet de prŽdire certaines acquisitions. Ces di

Žrentes structures Žv oluent

progressivement vers une pensŽe de plus en plus logique. Chaque Žtape nouvelle est prŽparŽe par la

Chez PIAGET, le dŽveloppement de l'intelligence semble automatique, pour peu que des pathologies

graves ne viennent l'empcher. On ne peut vraiment l'accŽlŽrer et tout le monde atteint le stade des

opŽrations formelles. Pour lui, l'apprentissage reste une relation privŽe entre un sujet, les objets, la t‰che,

le dŽveloppement cognitif . Dans ces conditions, on voit mal la place de l'enseignement dans ce

dŽveloppement. PIAGET admet que des conßits cognitifs peuvent surgir, donc des dŽsŽquilibres, puis des

Žquilibrations. Mais ceci reste du domaine du sujet et ne suppose pas essentiellement la prŽsence et la

confrontation avec un autre. Plusieurs continuateurs de PIAGET ont remis en cause ce point de vue en

insistant au contraire sur les aspects bŽnŽÞques des interactions sociales dans le dŽv eloppement. Pour

eux, les acquisitions, ˆ certains moments clŽs du dŽveloppement, trouvent principalement leur origine

dans des confrontations dÕactions ou dÕidŽes avec des partenaires. Les Žchanges interindividuels

raisons :

1. Par ce moyen, l Õenfant prend conscience de rŽponses autres que la sienne (mme si aucune

rŽponse correcte nÕest donnŽe).

2. LÕautre donne des indications qui peuvent tre pertinentes pour lՎlaboration dÕun nouvel

instrument cognitif (mme si aucune rŽponse correcte nÕest donnŽe).

3. Le conßit sociocognitif augmente la probabilitŽ que lÕenfant soit actif cognitivement.

Ç Pour tre bŽnŽÞque, lÕinteraction sociale doit en mme temps assurer le plein dŽroulement du conßit

sociocognitif et non seulement viser une solution purement relationnelle en termes dÕentente ou de

mŽsentente. È (DOISE).

¥ Statut de l'erreur

Dans les conceptions constructivistes de l'apprentissage, l'erreur est le rŽsultat de processus d'origine

sensŽe. Il n'est plus question d'y fair e barrage, mais, au contraire, elle appara"t comme normale ˆ

l'apprentissage. Elle est l'expression ou la manifestation explicite d'un ensemble de conceptions

intŽgrŽes dans un r Žseau cohŽrent de reprŽsentations cognitiv es, qui se dressent en obstacles ˆ

l'acquisition et ˆ la ma"trise de nouveaux concepts. Le franchissement de ces obstacles devient alors le

projet de l'acte d'enseignement et l'erreur un Žpisode dans la restructuration et l'Žlargissement des

connaissances. Ç La comprŽhension s'acquiert contre une connaissance antŽrieure en dŽtruisant des

connaissances mal faites È (BACHELARD).

¥ BIBLIOGRAPHIE

ALTET M., Les pŽdagogies de lÕapprentissage, Puf, 1997. BACHELARD G., La formation de l'esprit scientiÞque, J. Vrin, 1938. CRAHAY M., Psychologie de lՎducation, Puf, 1999. DOISE W., MUGNY G., Psychologie sociale et dŽveloppement cognitif, A. Colin, 1997. ƒduquer et former, Žditions Sciences Humaines, 2001. FOULIN J.-N., MOUCHON S., Psychologie de lՎducation, Nathan UniversitŽ, 1999.

JOSHUA S., DUPIN J.-J., Introduction ˆ la didactique des sciences et des mathŽmatiques, Puf, 1993.

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