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Chapitre VIII

Dynamique dans un r´ef´erentiel non

galil´een

VIII.a. Forces d"inertie

SoientRun référentiel galiléen etR0un référentiel non galiléen. On rappelle que aM=R=~aM=R0+~ae+~aC; où ae=~aO0=R+d=R~

R0=Rdt!O0M+~

R0=R(~

R0=R!O0M)

est l"accélération d"entraînement et aC=2~

R0=R~vM=R0

est l"accélération de Coriolis.

Pour un point matérielMde massemsoumis à des forces de résultante~F!M, on a, d"après la 2eloi

de Newton,~F!M=m~aM=R: On obtient ainsila relation fondamentale de la dynamique dans un référentiel non galiléen, m ~aM=R0=~F!M+~fe+~fC; où ~fe=m~ae est laforce d"inertie d"entraînementet ~fC=m~aC est laforce d"inertie de Coriolis.Z

Tous les théorèmes énoncés pour des référentiels galiléens sont valables pour des référentiels non

galiléens à condition d"ajouter les forces d"inertie ( ~feet~fC) aux forces dues à des interactions (~F).

Par exemple, siAest un point fixe dansR0, le théorème du moment cinétique pour un système de

points matériels s"énonce d =R0~LA=R0dt=X j!

AMj(~Fext!j+~fe;j+~fC;j);

où ~LA=R0=P jmj!AMj~vj=R0,~fe;j=mj~ae;j, etc..

Il est inutile de tenir compte des forces d"inertie de Coriolis dans le théorème de l"énergie cinétique

car (W[~fC])=R0=~fC~vM=R0dt=2m(~ R0=R~vM=R0)~vM=R0| {z }

0dt=0:

87
Michel FiocDynamique des systèmesVIII.b. Application au référentiel terrestre

SoitR=(O;~ux;~uy;~uz) un référentiel galiléen, par exemple le référentiel de Copernic, dont l"origine

Oest le centre d"inertie du système solaire.

NotonsR0=(O0;~ux0;~uy0;~uz0) leréférentiel terrestre, c.-à-d.un référentiel (non galiléen) lié à la Terre.

Prenons le centre de la Terre comme origineO0et (O0z0) selon l"axe de rotation de la Terre.

Leréférentiel géocentriqueest le référentiel barycentrique de la Terre, (O0;~ux;~uy;~uz). La Terre tourne

sur elle-même à la vitesse angulaire

R0=R(notée~

par la suite) dans le référentiel géocentrique. On supposera que la vitesse de rotation est constante, donc que d =R~ =dt=~0(1). À ce mouvement de rotation s"ajoute le mouvement de révolution de la Terre autour du centre d"inertie du système solaire, c .-à-d.le mouvement deO0dans le référentiel de Copernic. SoitMun point proche de la surface terrestre. Notonsrsa distance au centre de la Terre,sa

longitude etsa colatitude. Nous utiliserons également les coordonnées cylindriques deM: sa distance

à l"axe de rotation,; son angle polaire,; et sa cote,z0. Le mouvement d"un pointMde massemdans le référentiel terrestre est déterminé par m ~aM=R0=~F!Mm(~aO0=R+~ !O0M])m(2~ ~vM=R0):

On peut décomposer

~F!Men plusieurs termes : ˆla force gravitationnelle exercée par la Terre surM,~FT!M;

ˆles forces gravitationnelles exercées par les autres corps, principalement le Soleil (S) et la Lune

(L) :~FS!Met~FL!M;

ˆtoutes les autres forces,~Fautres!M.

On obtient

m ~aM=R0=~FT!Mm~ !O0M) (pesanteur) 2m~ ~vM=R0(force de Coriolis) ~FS!M+~FL!Mm~aO0=R(force de marée) ~Fautres!M:

VIII.b.1. Force de pesanteur

Supposons dans une première approximation le référentiel géocentrique galiléen (c .-à-d.~aO0=R=~0)

et négligeons les forces exercées par le Soleil et la Lune. Faisons en outre l"hypothèse que la vitesse

deMdansR0est susamment faible pour que l"on puisse négliger la force de Coriolis.

On a alors

m ~aM=R0=~FT!M+~Fautres!Mm~ !O0M): Supposons la Terre sphérique. NotonsMTsa masse etRson rayon. On arRet

FT!M=GMTmR

2~ur=m g0~ur;

où g

0=GMTR

2:

Par ailleurs,

~uz0et!O0M=~u+z0~uz0, d"où !O0M)= ~uz0( ~uz0[~u+z0~uz0])

2~uz0~u=

2~u=R

2cos~u;

où==2est la latitude.

On obtient finalement

m

~aM=R0=m~g+~Fautres!M;1. La direction de l"axe de rotation de la Terre tourne en fait autour de l"axe perpendiculaire à l"écliptique avec une période

d"environ 26000 ans (phénomène deprécession des équinoxes); l"étoile Polaire (à1du pôle Nord actuellement) ne

méritera donc plus son nom dans quelques milliers d"années. À plus longue échelle, la rotation de la Terre ralentit à cause des marées. 88
Chapitre VIII. Dynamique dans un référentiel non galiléen où g=g0~ur+R

2cos~u:

L"accélération de la pesanteur comprend donc un terme dominant dû à l"attraction de la Terre, dirigé

vers le centre de la Terre, et un terme correctif dû à la force centrifuge, perpendiculaire à l"axe des pôles

et dirigé vers l"extérieur. Le terme centrifuge est nul aux pôles (==2) et est maximal à l"équateur (=0). La verticale, c

.-à-d.la direction de~g, n"est rigoureusement dirigée vers le centre de la Terre qu"à l"équateur (on a

alors ~u=~ur). Aux pôles, la normeg() de~gvautg(=2)=g0. À l"équateur,g(0)=g0R

2 En fait, la Terre ressemble à un ellipsoïde aplati aux pôles (2): la distance des pôles au centre de la

Terre est inférieure d"environ 1=300 à celle de l"équateur au centre de la Terre, d"oùg0(=2)>g0(0).

La diérence entreg(=2) etg(0) est donc supérieure à celle donnée par le calcul précédent.

VIII.b.2. Déviation vers l"est

SiMn"est pas immobile dansR0, on doit tenir compte de la force de Coriolis. Étudions le cas où Ma un mouvement vertical vers le bas (:r<0,:0,:0). On a alors vM=R0:r~ur et ~fC=2m~ ~vM=R0=2m ~uz0:r~ur: Or, uz0=cos~ursin~u; d"où~fC=2m :r(cos~ursin~u)~ur=2m :rcos~u: Comme :r<0, la force de Coriolis est dirigée selon~u:Mest donc dévié vers l"est.

VIII.b.3. Marées

Nous tenons ici compte de l"attraction exercée par le Soleil et la Lune. On ajj

FS!M=GMSm!

SM2! SMk !SMket~FL!M=GMLm! LM2! LMk !LMk: Par ailleurs, en appliquant le théorème du centre d"inertie à la Terre, on obtient M

T~aO0=R=~FS!T+~FL!T=GMSMT!

SO02! SO0k !SO0kGMLMT! LO02! LO0k !LO0k=GMSMTD 2S~ uS+GMLMTD

2L~uL;

où

~uS(resp.~uL) est un vecteur unitaire dirigé du centre de la Terre vers le Soleil (resp.la Lune), et

D S(resp.DL) est la distance entre le centre de la Terre et le Soleil (resp.la Lune). CommeDSR, !SM=k!SMk ~uS. De même,DLR, donc!LM=k!LMk ~uL.

On en déduit que

FS!M+~FL!Mm~aO0=R=Gm

M S" 1! MS21D 2S# uS+ML" 1! ML21D 2L# uL!

NotonsS=(~uSb;~u) etL=(~uLb;~u). On a

ML2=!MO0+!O0L

2=!MO02+!O0L2+2!MO0!O0L=R2+D2L2R DLcosL:2. Cet aplatissement résulte d"ailleurs de l"eet sur la Terre, lorsqu"elle se formait et n"était pas encore rigide, de la force

centrifuge due à sa rotation. 89

Michel FiocDynamique des systèmesUn développement limité au premier ordre enR=DLde 1=!ML2nous donne

1!

ML2=1D

2L112RcosL=DL+R2=D2L1D

2L

1+2RcosLD

L

On obtient donc que

Gm ML 1! ML21D 2L! uL=2Gm MLRcosLD 3L~ uL:

De même,

Gm MS 1! MS21D 2S! uS=2Gm MSRcosSD 3S~ uS:

Les termes de marée sont donc en 1=D3. C"est pourquoi, alors que l"attraction due au Soleil est bien

supérieure à celle de la Lune, le terme de marée d"origine solaire est deux fois plus faible que le terme

lunaire.

Les marées tendent à éloignerMdu centre de la Terre et sont maximales, en première approximation,

pour les points sur l"axe passant par le centre de la Terre et la Lune. N"étant pas rigides, les océans

sont bien plus sensibles aux marées que les continents. Ils tendent à prendre la forme d"un ellipsoïde

dont le grand axe est aligné avec la Lune : les points àL=0 ousont à marée haute (pleine mer);

ceux àL==2 ou 3=2 sont à marée basse (basse mer). À cause de la rotation de la Terre, chaque

point d"un océan subit deux pleines mers et deux basses mers par jour (3).

Si la Terre, la Lune et le Soleil sont alignés, l"eet du Soleil s"ajoute à celui de la Lune : on parle

alors de marées de vives eaux (coecient de marée maximal); les marées hautes sont particulièrement

hautes, les marées basses particulièrement basses. À l"inverse, quand la Terre, la Lune et le Soleil sont

en quadrature (( ~uLb;~uS)==2), l"eet du Soleil s"oppose à celui de la Lune : on parle alors de marées

de mortes eaux (coecient de marée minimal); l"amplitude des marées est alors faible. En raison de

la révolution de la Lune autour de la Terre, il y a typiquement deux périodes de vives eaux (à la pleine

Lune et à la nouvelle Lune) et deux périodes de mortes eaux (aux premier et dernier quartiers) par

mois.3. En fait, à cause de la révolution de la Lune autour de la Terre, la période du phénomène est en moyenne de 24 h 52 min.

En outre, les océans mettant un certain temps à réagir, la marée haute se produit généralement après le passage de la

Lune au méridien. Enfin, ce modèle ne décrit pas correctement la réalité près des côtes ou dans les mers fermées et les

baies. 90
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