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Formulaire d"´electrostatique

1 Champ ´electrostatique

Ecr´e´e par une chargeq`a positionP:

E(M) =1

1

4π?0qr2?r

Ecr´e´e parNcharges ponctuelles :

E(M) =1

4π?0N

i=1q i???---→PiM???2---→P iM???---→PiM??? 1

4π?0N

i=1q ir2i? ui

Ecr´e´e par une distribution continue :

E(M) =?

d-→EP(M), d-→EP(M) =dq

4π?0r2?u

o`udqest d´etermin´e par une distribution de charge : lin´eique:dq=λ(P)dlP≡λdl surfacique:dq=σ(P)d2SP≡σdS volumique:dq=ρ(P)dVP≡ρd3V(1) (N.B.?0est la permittivit´e du vide )

1/(4π?0)≡K?9.109SI.

2 Propri´et´es fondamentales

1.Th´eor`eme de Gauss :

Forme int´egrale

S-→E·-→dS=Qint

?0Forme diff´erentielle div-→E=ρ?0 (N.B.les deux formes du th´eor`eme de Gauss sont reli´ees par le th´eor`eme d"Ostrogradsky)

2.L"autre ´equation fondamentale del"´electrostatique,-→rot-→E=-→0entraˆıne

qu"on peut toujours d´efinir un potentiel

´electrostatiqueVtel que :

E=---→gradV3 Formulations alternatives

On peut ins´erer

-→E=---→gradVdans l"´equation div-→E=ρ ?0afin de ramener l"´electrostatique `a une seule ´equation diff´erentielle de deuxi`eme degr´e (L"´equation de Poisson) : div gradV≡ΔV=-ρ ?0 o`u l"op´erateur Δ≡div--→grad est appel´e le Lapla- cien. Quand on r´esout cette ´equation dans une r´egion sans charges on dit qu"on a affaire `al"´equation de Laplace:

ΔV= 0

4 Potentiel ´electrostatiqueV

La diff´erence deVentre deux points (VA-VB)

est d´etermin´e par lacirculation de-→EentreAet B: U

AB≡V(A)-V(B) =?

B

A-→E·-→dl

Vcr´e´e par une chargeq`a positionP:

V(M) =1

Vcr´e´e parNcharges ponctuelles :

V(M) =1

4π?0N

i=1q i???---→PiM???≡14π?0N i=1q iri+V0

Vcr´e´e par une distribution continue :

V(M) =1

4π?0?

dq???---→PM???+V0≡14π?0? dqr+V0 o`u lesdqsont sp´ecifi´e dans l"´eq.(1). S"il n"y a pas de charges `a l"infini, la convention est de prendre

V(∞) = 0, ce qui entraˆıneV0= 0.

5 Dipˆole ´electrostatique

Un mod`ele d"un dipˆole

-→pest deux charges±q s´epar´ees par une distance-→d. Le moment dipolaire de ce syst`eme est-→p=q-→d. Pour des syst`emes plus compliqu´es, le moment dipolaire ´electrostatique est donn´e par : charges ponctuelles distribution surfacique-→p=? 1 distribution volumique-→p=???ρ--→OPdV

Pour des distances grandes devant la taille du

syst`eme :

V(M)→1

4π?0-→

p·?rr2(2)

6 Di´electriques

Un di´electrique est g´en´eralement caract´eris´e par unvecteur de polarisation,-→P, d´efini partout dans le di´electrique. Le vecteur polarisation peut ˆetre interpr´et´e comme une densit´e volumique de moment dipolaire telle que-→dp=-→PdV. Le poten- tiel cr´e´e par le di´electrique est donc :

V(M) =1

4π?0???

objet-→

P·?ur2dV(3)

Un regard alternative (compl´ementaire) est

d"interpr´eter-→Pcomme produisant une densit´e surfacique de polarisationσpolet une densit´e vo- lumique de polarisationρpol pol=-→P·?nρpol=-div-→P

Cette interpretation am`ene `a une expression

´equivalente deV:

V(M) =1

4π?0??

Sσ polrdS+??? Vρ polrdV??

7 D´eplacement ´electrique

En pr´esence de di´electriques, il est pratique de d´efinir led´eplacement di´electrique-→D:

D≡?0-→E+-→P(4)

L"´equation diff´erentielle de

-→Dest : div -→D=ρ-ρpol≡ρlibre(5) o`uρlibrecorrespond aux charges r´eellement mani- pul´ees dans une exp´erience. On peut parfois r´esoudre-→Den faisant appel `a la forme int´egrale de l"´eq.(5) :

S-→

D·-→dS=Qlibre,int(6)Tr`es souvent, il y a une relation lin´eaire entre o`uχeest lasusceptibilit´edu di´electrique.

Mettant (7) dans (4), on obtient une relation

lin´eaire entre-→Det-→E(relation constitutive) : D=?0(1 +χe)-→E≡?0εr-→E≡?d-→E o`uεrest la constante di´electrique (relative) du di´electrique et?dest la permittivit´e du di´electrique.

8 Conducteurs parfaits

`a l"´equilibre ´electrostatique

Le champ `al"int´erieur d"un conducteur par-

faitest :

Eint=-→0,-→Dint=-→0, V=Cte

Le champ `aproximit´e d"un conducteurest

donn´e par (Th. de Coulomb) :

Eext=σlibre

εr?0?n,-→Dext=σlibre?n

o`u ?nest le vecteur normale `a la surface (de l"int´erieur vers l"ext´erieur) etσlibreest la charge surfacique du conducteur (dans le videεr= 1).

Capacit´eCd"un conducteur isol´e:

C=Q

Vo`uQ=??

surface σd 2S

Coefficients d"influence d"un syst`eme deN

conducteurs Q i=N? j=1C ijVjavecCij=Cji

Capacit´e d"un condensateur

C=Q

Uo`uU=V1-V2, Q=Q1=-Q2

o`uQ1, Q2sont les charges sur les surfaces en in- fluence totale (ou quasi totale). 2

9 Energie potentielle

´electrostatique

D"une charge ponctuelle:We=qV

D"un dipˆole:We=--→p·-→Eext

De distributions de charge :

W e=??

Surface(s)

σV d

2S+???

objet(s)

ρV dV

Energie `a partir du champ ´electrique

W e=?0 2??? tout l"espace r???-→E???2dV

D"un conducteur isol´e :

W e=1

2QV=12CV2=12Q

2C

D"un syst`eme deNconducteurs:

W e=N? i=11 2QiVi

10 Force ´electrostatique

Sur une particule charg´ee(Coulomb)

F=q-→E

Sur un conducteur en ´equilibre :

F=??

S--→d

2F=?? S

P-→dS

o`uP=σ2/εr?0est la pression ´electrostatique.

Force via l"´energie (travaux virtuels) :

F=-?--→gradWe?

Q =?--→gradWe? V

Force et moment sur un dipˆole :

F=--→grad?-→p·-→Eext?

et-→Γ=-→p?-→Eext

Force sur l"armatureid"un condensateur :

F→i=-?--→gradiWe?

Q =U2

2--→grad

iC o`uid´esigne qu"il s"agit d"un gradient par rapport aux coordonn´ees du conducteuri.11 Courrant et r´esistanceDensit´e de courant -→j: -→j=? αnquotesdbs_dbs16.pdfusesText_22

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