[PDF] Peut-on comprendre les fondamentaux de la relativité générale et

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1

PretirageINLN2004/17

RELATIVITEGENERALEPOURDEBUTANTS

MichelLeBellac

Mai2004

INSTITUTNONLINEAIREDENICEUMR6638

1361routesdesLucioles06560Valbonne

e-mail:michel.lebellac@inln.cnrs.fr 2

Tabledesmatieres

1Introduction5

2Principed'equivalence9

3Espace-tempsplat19

4Cosmologie29

5Bo^teaoutilsdegeometriedierentielle45

6Solutionsasymetriespherique59

3

4TABLEDESMATIERES

Chapitre1

Introduction

1.1Brefhistorique

echiraunetheorierelativiste (r)=GM rU(r)=GMmr(1.1) ds2= 1rS r dt2 1rSr

1dr2r2d2+sin2d'2(1.2)

d'unemasseponctuelleM. parsiecle! 5

6CHAPITRE1.INTRODUCTION

exploitantl'eetMossbauer. revientparlagrandeporte!

2003:lesatelliteWMAPobserveles

cosmologie(modeleCDM,chapitre4).

1.2Planducours

Leplanducoursseralesuivant

1.Principed'equivalence

2.Espace-tempsplat

3.Cosmologie

4.Bo^teaoutilsdegeometriedierentielle

5.Solutionsasymetriespherique

ici.

RosalindFranklin:::

1.3.QUELQUESREFERENCESGENERALES7

Lentillesgravitationnelles.

Astrophysiquerelativiste:pulsars.

Solutionsaxisymetriques(metriquedeKerr).

Gravitationquantique.

etc.

1.3Quelquesreferencesgenerales

stein,EDPSciences/CNRSEditions,Paris. larelativitegenerale).

8CHAPITRE1.INTRODUCTION

Chapitre2

Principed'equivalence

2.1Referentielsd'inertie

F0=q~Em~A=m~a0(2.1)

m~a0=~F0=2q~Em~A~F0~F=q~E(2.2)

F0=m~gm~A(2.3)

jj ~Fgjj=Gmgm0g r2(2.4) 9

10CHAPITRE2.PRINCIPED'EQUIVALENCE

m i+mgg=0(2.5) T A TB= mAimAgm

BgmBi!

1=2 (2.6) m

2.2Principed'equivalence

libreoulapommeestaurepos! doncenoncerleprinciped'equivalence enintegrantlacomposanteFydelaforce

2.2.PRINCIPED'EQUIVALENCE11

(b)A BAB (a)

Terre.

pb2+v2t2b' O py=Z +1 1 F ydtFy=GmM b2+v2t2cos'=GmMb(b2+v2t2)3=2 oubestleparametred'impact.Onobtientdonc py=GmMbZ +1 1dt (b2+v2t2)3=2=2GmMbv(2.7) soitpourl'anglededeviation2 =py mv=2GMbv2(2.8) cot

2=bv2GM

resultatquiconcideavec(2.8)pour1.

12CHAPITRE2.PRINCIPED'EQUIVALENCE

2.3Decalageverslerougegravitationnel

t1z=1

2gt2z=h+1

2g2z h Tt0 plafondz=h+gt2=2. h+1

2gt2n=12g(nT)2+c(tnnT)(2.9)

t n=nT+h c(1+"n)j"nj1 t n(nT)2=(tnnT)(tn+nT)'2h c nT+hc etenreportantdans(2.9)onobtient n=gnT c+ghc2T=tntn1T=hc("n"n1)=ghc2T avec T

T=ghc2(2.10)

2.3.DECALAGEVERSLEROUGEGRAVITATIONNEL13

!=ghc2(2.11) T

T=vc=ghc2

relationdePlanck-EinsteinE=~! E E=1E Ec2gh =!!=ghc2 S U (ct;x) (ctA;xA)(ctB;xB)ct x S AS B l'observateurUestcourbe. c(ttA)=xxA c(ttB)=x+xB randonnee!

14CHAPITRE2.PRINCIPED'EQUIVALENCE

Lesystemeapoursolutionimmediate

ct=1

2[c(tA+tB)+(xBxA)]

x=1

2[c(tBtA)+(xB+xA)](2.12)

dumetre.

2.4Interpretationgeometrique

=t 1+ c2 (2.13)

BA=T=T

1+B c2 T 1+Ac2 =TBAc2=Tghc2 ds2=

1+2(~r)

c2 c 2dt2

12(~r)c2

d~r2(2.14) peutdonnerdeuxinterpretations. lagravite). detempstetletempspropreestdonc =t

1+2(~r)

c2 1=2 't

1+(~r)c2

(2.15)

2.5.EFFETSDEMAREEGRAVITATIONNELS15

entrel'emissionetlareceptiond'unphoton s2=c2t2~r2=0 (2.14)etcomptetenudej=c2j1 dz dt'c 1+2c2 z 0=Z z 12(v) c2 dvdz0dz=12(z)c2 etdoncdz0 dt=dz0dzdzdt'c avons s AB=Z B A dt"

1+2(~r)

c2 c 2

12(~r)c2d~rdt

2#1=2 'cZ B A dt"

1+2(~r)

c2 1c2 d~rdt 2#1=2 'cZ B A dt" 11 c2 12 d~rdt 2 (~r)!# (2.16) sAB ~r(t)=0()d2~rdt2=~r(~r)

2.5Eetsdemareegravitationnels

16CHAPITRE2.PRINCIPED'EQUIVALENCE

M(x;z)

O RS xz gravitationnelled'unobjetdemassemest (x;z)=GmM [x2+(d+z)2]1=2 'GmM d

1zdx22d2+z2d2

(2.17)

Pourunemasseen(x;z),nousavons

F xF0x=Fx=GmMx d3(2.18) F zF0z=GmM2z d3(2.19) nousfaisonslesdeuxremarquessuivantes. precede d 2i dt2=ij@2@xi@xk~rk(2.20)

2.5.EFFETSDEMAREEGRAVITATIONNELS17

unevaleurabsoluealaforcedegravitation. del'espace-temps. chapitresuivantalarelativiterestreinte.

Bibliographie.

leprincipedeMach).

18CHAPITRE2.PRINCIPED'EQUIVALENCE

Chapitre3

Espace-tempsplat

pourdesexposespluscomplets. X ix iyi=xiyi

3.1Photons

mesurerenutilisantuniquementdesphotons. 19

20CHAPITRE3.ESPACE-TEMPSPLAT

O0 O N(O)P Obs ectionduphotonparlemiroir t=1

2(t2+t1)x=12(t2t1)(3.1)

cryptographieaclesecrete.

3.2.EFFETDOPPLER21

sontindependantesdupartenairequire echitlephoton. P tt+tt 0+t t 1t

2AliceBobAliceBob

Chiara

t

0t2+t12t

2t1 2

3.2EetDoppler

Silephotonestre

echiparlavoiture,apour coordonnees,avect1=tett2=K2tdans(3.1) temps 1

2(t2+t1)=12t(K2+1)

espace 1

2(t2t1)=12t(K21)

v=K21

K2+1(3.2)

ouencore K=r 1+v

1v(3.3)

22CHAPITRE3.ESPACE-TEMPSPLAT

Oradar

auto K 2t P Kt t rec=1

K!em=!emr

1v

1+v(3.4)

3.3Metriquedel'espace-tempsplat

x =(x0;~x)ety=(y0;~y) xy=x0y0~x~y=x0y0xiyi(3.5) =diagonal(1;1;1;1) deWick.

3.3.METRIQUEDEL'ESPACE-TEMPSPLAT23

deMinkowskiquotesdbs_dbs23.pdfusesText_29

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