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Forme trigonométrique

d"un nombre complexe - Applications

Christophe ROSSIGNOL

Année scolaire 2019/2020Table des matières

1 Représentation géométrique d"un nombre complexe

2

1.1 Rappels : affixe d"un point

2

1.2 Affixe d"un vecteur

3

2 Forme trigonométrique3

2.1 Argument d"un nombre complexe non nul

3

2.2 Forme trigonométrique d"un complexe non nul

5

2.3 Égalité de deux nombres complexes

6

2.4 Cas d"un produit ou d"un quotient

6

3 Forme exponentielle7

4 Applications géométriques des nombres complexes

7

4.1 Distances et angles orientés

7

4.2 Caractérisation des cercles et des médiatrices

8

4.3 Pour aller plus loin...

8

Table des figures

1 Interprétation géométrique

2

2 Argument d"un nombre complexe

4

3 Module et argument de l"opposé et du conjugué

4

4 Forme trigonométrique d"un nombre complexe

5

5 Triangle rectangle isocèle direct

9

6 Triangle équilatéral

9 ?

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1

1 REPRÉSENTATION GÉOMÉTRIQUE D"UN NOMBRE COMPLEXE

1 Représentation géométrique d"un nombre complexe

1.1 Rappels : affixe d"un pointDéfinition :Soit(O;?u;?v)un repère orthonormé direct etzun nombre complexe de forme algébrique

z=a+ib. Le p ointM(a;b)est appeléimage de z. (voir figure1 )

On dit que Ma pouraffixe z.

La distance OMest appeléemo dulede z. On note|z|=OM.Figure1 - Interprétation géométrique Conséquences :1.L"ensem bledes nom bresréels est représen tépar l"axe des abscisses. L"ensemble des imaginaires purs est représenté par l"axe des ordonnés. 2.

On a |z|=⎷a

2+b2.

3.|z|= 0si et seulement siz= 0.Propriété :Soitz?C.

On a :

|z|2=zz

Démonstration :

On notez=a+ibla forme algébrique du complexez.

zz= (a+ib)(a-ib) =a2-(ib)2=a2+b2=|z|2Propriété :Affixe du milieu d"un segment

SoitAetBdeux points d"affixes respectiveszAetzB.

On noteIle milieu du segment[AB].

Alors, l"affixe deIest :

z

I=zA+zB2

Exercice :Démontrer cette propriété à l"aide des coordonnées du milieu d"un segment. 2

2 FORME TRIGONOMÉTRIQUE 1.2 Affixe d"un vecteur

1.2 Affixe d"un vecteur

Définition :Soit-→wun vecteur de coordonnées?a b?

On appelle

affixe de -→wle complexez=a+ib.Propriété 1 :SoientAetBdeux points d"affixes respectiveszAetzB. Alors, le vecteur--→ABa comme affixezB-zA.Démonstration : SizA=xA+iyAetzB=xB+iyB(formes algébriques), alorsA(xA;yA)etB(xB;yB).

Les coordonnées du vecteur

--→ABsont donc?xB-xA y B-yA? . Par suite, son affixe est : z= (xB-xA) +i(yB-yA) = (xB+iyB)-(xA+iyA) =zB-zA Remarques :Il découle facilement des règle de calcul sur les coordonnées de vecteurs que : 1. Deux v ecteursson tégaux si et seuleme ntsi leurs affixes son tégales 2. Si -→wet-→w?sont deux vecteurs d"affixes respectiveszetz?etkun réel : l"affixe de -→w+-→w?estz+z?; l"affixe de k-→westkz. 3.

On p eutdonc utiliser les affixes p ourdéterminer une colinéarité de v ecteurs,don cp ourd éterminer

un parallélisme ou un alignement. Exercices :66, 67, 70 page 2541- 68, 69 page 2542[TransMath]

2 Forme trigonométrique d"un nombre complexe non nul

2.1 Argument d"un nombre complexe non nulDéfinition :Soitzun nombre complexenon n ulet Mle point d"affixez(voir figure2 ).

On appelle

argumen t de ztoute mesure en radians de l"angle? ?u;--→OM? . On le notearg(z). il est défini

à2kπprès (k?Z).

On a donc :

arg(z) =? ?u;--→OM? [2π]Remarques :1.Si zest un réel, c"est-à-direz=a: si a >0,|z|=aetarg(z) = 0 si a <0,|z|=-aetarg(z) =π 2.

Si zest un imaginaire pur, c"est-à-direz=ib:

si b >0,|z|=betarg(z) =π2 si b <0,|z|=-betarg(z) =-π2 Propriété :Module et argument de l"opposé et du conjugué Soitzun complexe non nul etM1,M2,M3etM4les points d"affixes respectivesz,z,-zet-z. Par des considérations géométriques simples sur la figure 3 , on obtient : |z|=|z|=|-z|=|-z| arg(z) =-arg(z) [2π] arg(-z) =π+ arg(z) [2π] arg(-z) =π-arg(z) [2π]1. Affixe d"un point, d"un vecteur.

2. Ensembles de points

3

2.1 Argument d"un nombre complexe non nul 2 FORME TRIGONOMÉTRIQUE

Figure2 - Argument d"un nombre complexeFigure3 - Module et argument de l"opposé et du conjugué 4

2 FORME TRIGONOMÉTRIQUE 2.2 Forme trigonométrique d"un complexe non nul

Exercices :72, 73, 74 page 2543[TransMath]

2.2 Forme trigonométrique d"un complexe non nulThéorème - Définition :Tout nombre complexe non nulzs"écrit sous la forme suivante :

z=r(cos(θ) +isin(θ))avecr=|z|etθ= arg(z) [2π]

Cette forme est appelée

for metrigonométrique du complexe z.Démonstration :

On noteMle point d"affixez,r=OMetθ=?

?u;--→OM? [2π]. La demi-droite[OM)coupe le cercle trigonométrique en un pointA(voir figure4 ).

Les coordonnées deAsont(cos(θ) ; sin(θ))et, comme--→OM=r-→OA, les coordonnées deMsont

(rcos(θ) ;rsin(θ)).

L"affixe deMest donc :

z=r(cos(θ) +isin(θ))Figure4 - Forme trigonométrique d"un nombre complexe

Exercice :22 page 2444[TransMath]Lien entre forme algébrique et forme trigonométrique :Soitzun complexe non nul de forme al-

gébriquez=a+ibet de forme trigonométriquez=r(cosθ+isinθ). Alors :

Si l"on c onnaîtretθ:?

a=rcosθ b=rsinθ

Si l"on c onnaîtaetb:

r=|z|=?a

2+b2et?

cosθ=ar sinθ=br

Exemple :Soitz=⎷3-i.

r=???⎷3-i???=?? ⎷3

2+ (-1)2=⎷3 + 1 =

⎷4 = 2 cosθ=⎷3 2 sinθ=-12

On a doncarg(z) =θ=-π6

[2π]. Exercices :20 page 244 et 77 page 2555- 90 page 2566[TransMath]3. Argument d"un nombre complexe.

4. Forme trigonométrique d"un complexe non nul.

5. Passage de la forme algébrique à la forme trigonométrique.

6. Ensembles de points.

5

2.3 Égalité de deux nombres complexes 2 FORME TRIGONOMÉTRIQUE

2.3 Égalité de deux nombres complexes

Propriété :Égalité de deux complexes

Les complexesz=r(cosθ+isinθ)etz?=r?(cosθ?+isinθ?)avecr >0etr?>0sontégaux si et seulement si : r=r?

θ=θ?[2π]Remarque :Attention!L"h ypothèser >0est essentielle pour obtenir la forme trigonométrique d"un

nombre complexe. Exemples :Donner la forme trigonométrique des complexesz1=-3?cos?π4 ?+isin?π4 ??etz2= 2?cos?π6 ?-isin?π6 La forme d onnéep ourz1n"est pas une forme trigonométrique :z1=-3?cos?π4 ?+isin?π4

On a :z1= 3?-cos?π4

?-isin?π4 ??avec? cos?5π4 ?=-cos?π4 sin ?5π4 ?=-sin?π4 La forme trigonométrique dez1est donc :z1= 3?cos?5π4 ?+isin?5π4 ??, c"est-à-dire|z1|= 3et arg(z1) =5π4 [2π]. La forme d onnéep ourz2n"est pas une forme trigonométrique :z2= 2?cos?π6 ?-isin?π6

On a :z2= 2?cos?π6

?+i?-sin?π6 ???avec? cos?-π6 ?= cos?π6 sin ?-π6 ?=-sin?π6 La forme trigonométrique dez2est donc :z2= 2?cos?-π6 ?+isin?-π6 ??, c"est-à-dire|z2|= 2et arg(z2) =-π6 [2π].

Exercice :78 page 2557[TransMath]

2.4 Cas d"un produit ou d"un quotientPropriété :Module et argument d"un produit et d"un quotient

Soientzetz?deux nombres complexes non nuls. On a : |zz?|=|z| × |z?|etarg(zz?) =arg(z) + arg(z?) [2π]???zz ????=|z||z?|etarg?zz arg(z)-arg(z?) [2π]Démonstration (partielle) : On notez=r(cosθ+isinθ)etz?=r?(cosθ?+isinθ?)les formes trigonométriques dezet dez?.

On a donc :?

|z|=r arg(z) =θ[2π]et? |z?|=r? arg(z?) =θ?[2π]

De plus :

zz =rr?[(cosθcosθ?-sinθsinθ?) +i(cosθsinθ?+ sinθcosθ?)] =rr?[cos(θ+θ?) +isin(θ+θ?)] Donc, d"après l"unicité de la forme trigonométrique : |zz?|=rr? arg(zz?) =θ+θ?[2π] Exercice :En suivant un raisonnement analogue, montrer la deuxième partie de la propriété. Remarques :1.Si nest un entier naturel non nul etzun complexe non nul : |zn|=|z|netarg(zn) =narg(z) [2π]7. Détermination de formes trigonométriques. 6

4 APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DES NOMBRES COMPLEXES

2.

Si zun complexe non nul :????1z

???=1|z|etarg?1z =-arg(z) [2π] Exercices :76 page 254; 79, 80, 81 page 2558- 99, 101 page 2579- [TransMath]

3 Forme exponentielle d"un complexe non nulDéfinition :Pour toutθ?R, on note :

e iθ= cosθ+isinθRemarque :" eiθ» se lit " exponentielle deiθ».

Exemples :

ei0= 1eiπ2 =ieiπ=-1e-iπ2 =-ieiπ4 =⎷2 2 +i⎷2 2

Propriété :Soientθetθ?deux réels.

e iθeiθe

iθ?=ei(θ-θ?)Remarques :1.La démonstration de cette pr opriétéest la même que celle du 2.4 , en prenantr=r?= 1.

2.

On retrouv eles propriétés " classiques » de l"exp onentielle,ce qui justifi een partie la notation.

3. L"exp onentiellecomplexe se man ipulecomme une puissance, ce qui rend les calcu lssur les argumen ts plus faciles.Propriété 2 :Formule deMoivre

Soitθun réel etnun entier naturel. On a :

?eiθ?n=einθRemarque :1.C"est une conséquence directe de la Propriété 1. Ce résultat se montre par récurrence

surn. 2.

On a don c:

(cos(θ) +isin(θ))n= cos(nθ) +isin(nθ)Propriété :Soientθetθ?deux réels. e

iθ=eiθ?équivaut àθ=θ?[2π].Définition :Tout nombre complexeznon nul, dont un argument estθ, peut s"écrire sous la

forme :z=|z|eiθ;

Cette écriture est appelée

forme exp onentielle

du complexe z.Remarque :En particulier, tous les complexes de module1admettent une écriture de la forme eiθ.

Exercices :23 page 245 et 83 page 25510- 24 page 24511- 25 page 245et 84, 85, 87 page 25512- 88 page 255

13[TransMath]

4 Applications géométriques des nombres complexes

4.1 Distances et angles orientésThéorème :SoientA,B,CetDquatre points d"affixes respectiveszA,zB,zCetzD.

1.AB=|zB-zA|

2.

Si zA?=zB,?-→u;--→AB?

= arg(zB-zA)8. Module et argument d"un produit ou d"un quotient.

9. Un ensemble de points.

10. Forme exponentielle.

11. Retrouver le module et l"argument.

12. Produits et quotients.

13. Retrouver les formules de trigonométrie.

7

4.2 Caractérisation des cercles et des médiatrices4 APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DES NOMBRES COMPLEXES

Démonstration :

On supposera queAetBne sont pas confondus (c"est-à-direzA?=zB). SoitMle point tel que--→OM=--→AB. L"affixe deMestzB-zA.

Par définition de la forme trigonométrique des nombres complexes, on a :?OM=|zB-zA|?-→u;--→OM?

= arg(zB-zA).

Par suite :AB=OM=|zB-zA|et?-→u;--→AB?

=?-→u;--→OM? = arg (zB-zA). Exercices :26, 27 page 246 et 91, 92 page 25614- 89 page 25615- 28 page 246 et 111 page 26016

TransMath

4.2 Caractérisation des cercles et des médiatricesPropriété 1 :SoitCle cercle de centreΩd"affixeωet de rayonR.

Le pointMd"affixezest sur lecercl eCsi et seulement si|z-ω|=R.Démonstration :

M? C ??ΩM=R?? |z-ω|=R

Remarque :|z-ω|=Rsi et seulement si il existeθ?Rtel quez-ω=Reiθ, c"est-à-direz=ω+Reiθ.Propriété 2 :Équation paramétrique complexe d"un cercle

SoitCle cercle de centreΩd"affixeωet de rayonR.

Le pointMd"affixezest sur lecercl eCsi et seulement si il existeθ?Rtel quez=ω+Reiθ.Propriété 3 :SoientAetBdeux points d"affixes respectivesaetb. On noteΔlamédiatrice de [AB].

Le pointMd"affixezest surΔsi et seulement si|z-a|=|z-b|.Démonstration : M?Δ??Méquisistantde Aetde B??AM=BM?? |z-a|=|z-b| Exercices :93, 94, 96, 97 page 25617- 109, 110 page 26018[TransMath]

4.3 Pour aller plus loin...

Module :Exercice 38 page 25119[TransMath]Théorème :SoientA,B,CetDquatre points d"affixes respectiveszA,zB,zCetzD.

SizA?=zBetzC?=zD:?--→AB;--→CD?

= arg?zD-zCz

B-zA?Démonstration :

SiCetDne sont pas confondus (c"est-à-direzC?=zD) : ?--→AB;--→CD? =?--→AB;-→u? +?-→u;--→CD? ?-→u;--→CD? -?-→u;--→AB? arg (zD-zC)-arg(zB-zA) arg ?zD-zCz

B-zA?14. Nature de polygones.

15. Points alignés.

16. Application géométrique des nombres complexes.

17. Ensembles de points.

18. Type BAC.

19. Utiliser l"affixe d"un vecteur.

8

4 APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DES NOMBRES COMPLEXES 4.3 Pour aller plus loin...

Remarques :1.Les p ointsA,BetCsontalignés si et seuleme ntsi arg?z C-zAz B-zA? = 0 [π](c"est-à-dire z C-zAz

B-zAréel).

2. Les droites (AB)et(CD)sontp erpendiculairessi et seuleme ntsi arg?z D-zCz B-zA? π2 [π](c"est-à-dire z D-zCz

B-zAimaginaire pur).

Un cas particulier important :SiA,BetMsont trois points distincts d"affixes respectivesa,betz, alors?--→MA;--→MB? = arg? b-za-z? . Or, b-za-z=z-bz-adonc : --→MA;--→MB? = arg?z-bz-a? Remarque :Cette relation est utilisée pour déterminer des ensembles de points.

Applications :Triangles particuliers

Dans la suite,A,BetCdésignent trois points d"abscisses respectiveszA,zBetzC.

1.Triangle rectangle rectangle isocèle direct(voir figure5 )Figure5 - Triangle rectangle isocèle direct

ABCtrianglerectangle iso cèledirect en A??zC-zAz

B-zA=i

2.Triangle équilatéral(voir figure6 )Figure6 - Triangle équilatéral

ABCtriangleéquilatéral direct ??zC-zAz

B-zA=eiπ3

Exercices :102 page 25720- 123 page 26321[TransMath]20. Restitution organisée des connaissances.

21. Nombres complexes et géométrie.

9 [TransMath] transMA THT ermS, p rogramme2012 ( Nathan) 3 5 6 7 8 9 10quotesdbs_dbs41.pdfusesText_41

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