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Math 256-S´eries de Fourier

David Harari

2016-2017

Nous commen¸cons dans ce chapitre `a nous int´eresser `a un type parti- culier de s´eries de fonctions, appel´ees s´eries trigonom´etriques ou s´eries de Fourier. Ces s´eries sont particuli`erement adapt´ees pour l"´etude des fonctions p´eriodiques, dont nous allons commencer par ´etablir quelques propri´et´es.

1. Fonctions p´eriodiques

D´efinition 1.1SoitTun r´eel non nul. Une fonctionfdeRdansRou dans Cest ditep´eriodique de p´eriodeT(ouT-p´eriodique) si on af(x+T) =f(x) pour toutxdeR. Remarque 1.2a) SifestT-p´eriodique, elle est aussikT-p´eriodique pour toutk?Z. b) S"il y a un plus petitT >0 tel quefsoitT-p´eriodique, on dit parfois queTestlap´eriode def. C"est toujours le cas sifest continue, mais sinon il n"y pas toujours de plus petite p´eriode strictement positive (parexemple la fonction deRdansRqui vaut 0 sur les rationnels et 1 ailleurs estT- p´eriodique pour toutT?Q). Exemple 1.3a) Les fonctions sinxet cosxsont 2π-p´eriodiques. b) La fonction deRdansCqui envoiexsureixest 2π-p´eriodique. c) Pour toutxdeR, notonsE(x) la partie enti`ere dex: c"est par d´efinition le plus grand entiern?Ztel quen≤x(par exempleE(2.5) = 2 etE(-2,5) =-3). Alors la fonctionf(x) =x-E(x) ("partie fractionnaire dex") est 1-p´eriodique. d) Sifest une fonction d´efinie sur [0,T[, alors elle se prolonge de mani`ere unique en une fonctionT-p´eriodiquegsurR. Sifest continue sur [0,T[, la fonction correspondantegest continue surR`a condition que limx→T-f(x) = f(0). De mˆeme, une fonction continuefsur [0,T]telle quef(0) =f(T) se prolonge de mani`ere unique en une fonction continueT-p´eriodiquegsurR. 1 Proposition 1.4Soitfune fonction continue par morceaux etT-p´eriodique surR. Alors, pour tousa,b?R, on a b a f(t)dt=? b+T a+Tf(t)dt. b+T b f(t)dt=? T 0 f(t)dt. La deuxi`eme ´egalit´e signifie ici que sifest une fonctionT-p´eriodique, l"int´egrale defsur un intervalle de longueurTest la mˆeme quel que soit l"intervalle de longueurTchoisi. D´emonstration :La premi`ere ´egalit´e s"obtient en faisant le changement de variableu=t+T, et en observant quef(t-T) =f(t) pour toutt. La deuxi`eme ´egalit´e r´esulte de la premi`ere (appliqu´ee `aa= 0) et de la relation de Chasles : b+T b f(t)dt=? 0 b f(t)dt+? T 0 f(t)dt+? b+T T f(t)dt= T 0 f(t)dt+ (? b+T T f(t)dt-? b 0 f(t)dt).

2. S´eries trigonom´etriques r´eelles

Parmi les fonctions 2π-p´eriodiques, les plus courantes sont celles form´ees `a partir des fonctions cos et sin, ou encore comme sommes de telles fonctions.

Cela motive la d´efinition suivante :

D´efinition 2.1Unes´erie trigonom´etriquer´eelle est une s´erie de fonctions de la forme? n≥0fn(x), o`u chaque fonctionfn(x) est de la formefn(x) = a ncos(nx) +bnsin(nx), avecan,bn?R. Pour une telle s´erie, on a notammentf0(x) =a0, et on peut convenir que b

0= 0 puisque de toute fa¸con le termeb0sin(0.x) est nul. Bien noter que les

coefficientsan,bnne doivent pas d´ependre dex. Les propri´et´es g´en´erales des s´eries de fonctions s"appliquent `a de telles s´eries. Notons en particulier : 2 a) Si la s´erie? n≥0(ancos(nx) +bnsin(nx)) converge simplement surR, la fonctionf(x) =?+n=0∞(ancos(nx) +bnsin(nx)) est 2π-p´eriodique. En effet chaque fonctionfn(x) =ancos(nx) +bnsin(nx) est 2π-p´eriodique. b) Si cette s´erie converge uniform´ement surR, alors la fonctionf(x) ci-dessus est continue. En effet chaque fonctionfn(x) est continue. C"est notamment le cas en cas de convergence normale, donc par exemplesi la s´erie? n≥0(|an|+|bn|) converge (ou encore si les deux s´eries?anet?bn convergent absolument), puisqu"on a la majoration |ancos(nx) +bnsin(nx)| ≤ |an|+|bn|. c) Comme d"habitude, mˆeme si la s´erie converge, pour savoir que lafonc- tion f(x) =+∞? n=0(ancos(nx) +bnsin(nx)) est d´erivable (ou encoreC1), on a besoin de plus. Cela marche par exemple si la s´erie d´eriv´ee est normalement convergente, ce qui se produit en particulier si la s´erie? n≥0n(|an|+|bn|) converge. En effet la s´erie d´eriv´ee est n≥0f?n(x), avec f ?n(x) =-nansin(nx) +nbbcos(nx)

Exemple 2.2a) La s´erie?

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