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6 CHAMP DINDUCTION MAGNÉTIQUE 6.1 Un peu dhistoire 6.1.1

Le lien entre champ d'induction magnétique et charges en mouvement n'a été établi que bien plus tard … • La formule de Biot et Savart est un outil de calcul 



Chapitre 7 - Circuits Magn ´etiques et Inductance

du circuit magnétique et on peut utiliser la simplification Aentref er = A. Pour augmenter la précision des calculs



Formulaire de magnétostatique et Induction 1 Champ

L'induction s'applique `a des circuits en mouve- ment et/ou des champs magnétiques qui varient dans le temps. Loi de Faraday : la force électromotrice e 



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Le champ d'induction magnétique B traduit l'effet du déplacement des charges électriques. Si un courant constant traverse un conducteur électrique de 



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Cours de Magnétostatique

Champ créé par un circuit électrique (formule de Biot et Savart) Moment de la force magnétique exercée sur un circuit ... Les lois de l'induction.



CIRCUITS MAGNETIQUES

dl : Longueur du circuit soumis au courant I orienté dans le sens de I. r : distance de l'élément dl au point d'expression de l'induction dB



Sur un problème relatif à linduction magnétique et la compensation

une autre formule plus commode pour le calcul. Supposons que le compas soit placé avec ses correcteurs



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On observe l'apparition d'un courant induit dans un circuit fermé si : 1) l'intensité ou la direction d'un champ magnétique à travers ce circuit varie ;. 2) la 



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b) Inductance mutuelle formule de Neumann : Deux circuits filiformes (C1) et (C2) sont parcourus par des courants d'intensités I1 et I2 Le champ magnétique 2



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2) Faire tourner une spire ou un cadre dans un champ magnétique (dynamo à courant continu) l'obtention d'une induction magnétique B

  • Quel est la formule de l'induction ?

    m d'induction donnée par (1) e = ? d ? B d t avec ? B = ? S B ? ? n ? d S où s'exprime en volts et en webers. Le flux magnétique à travers un circuit peut varier pour différentes raisons. Le circuit peut se déformer ou se déplacer en présence d'un champ magnétique permanent ; on parle alors d'induction de Lorentz.

  • Quel est l'unité de l'induction magnétique ?

    L'unité de mesure Tesla est définie comme un flux d'induction magnétique par weber par mètre carré. C'est le champ magnétique qui produit sur une surface d'un mètre carré un flux d'induction magnétique total d'un weber. Un Tesla correspond à un weber par mètre carré.

  • Comment calculer la fem induite ?

    En appliquant la loi de Faraday, nous pouvons écrire que la norme de ?, la norme de la f. é. m. induite, est égale au nombre de spires fois ?? indice �� sur ?��, avec ?? indice ��, qui peut s'écrire comme ?�� fois ��.
  • L'équation de l'intensité du champ magnétique �� au centre d'un soléno? en utilisant des spires par unité de longueur est �� = �� �� �� , ? avec �� le nombre de spires par unité de longueur, �� le courant du soléno?, et �� ? la perméabilité du vide, 4 �� × 1 0 ? / ? ? T m A .

Haute Ecole d'Ingénierie et de Gestion du Canton de Vaud CD\SEM\Cours \Chap01.doc M. Correvon Systèmes électromécaniques ___________ Chapitre 01 CIRCUITS ÉLECTRIQUES ET MAGNÉTIQUES RAPPEL

TABLE DES MATIERES PAGE 1. CIRCUITS ELECTRIQUES ET MAGNÉTIQUES. ................................................................................................ 1 1.1 GÉNÉRALITÉS ............................................................................................................................................................ 1 1.2 EQUATIONS DE MAXWELL ........................................................................................................................................ 1 1.3 LE POTENTIEL VECTEUR MAGNÉTIQUE ..................................................................................................................... 2 1.3.1 L'équation vectorielle de Poisson ........................................................................................................... 2 1.3.2 Loi d'Ampère pour le potentiel vecteur (loi expérimentale) .................................................................. 3 1.4 CHAMP D'INDUCTION MAGNÉTIQUE B ..................................................................................................................... 3 1.4.1 Définition ................................................................................................................................................ 3 1.4.2 Exemple de calcul ................................................................................................................................... 4 1.5 CHAMP D'EXCITATION MAGNÉTIQUE H .................................................................................................................... 7 1.5.1 Définition ................................................................................................................................................ 7 1.5.2 Théorème d'Ampère ............................................................................................................................... 7 1.6 FLUX MAGNÉTIQUE ................................................................................................................................................... 8 1.6.1 Définition ................................................................................................................................................ 8 1.6.2 Propriété : loi de conservation du flux .................................................................................................... 9 1.7 FORCE DE LORENTZ ................................................................................................................................................ 10 1.7.1 Force magnétique agissant sur un courant électrique ........................................................................... 10 1.8 FORCE DE LAPLACE ................................................................................................................................................. 11 1.9 FORCE ÉLECTROMOTRICE (TENSION INDUITE) ........................................................................................................ 12 1.10 CIRCUITS MAGNÉTIQUES ..................................................................................................................................... 13 1.10.1 Tube d'induction magnétique ............................................................................................................... 13 1.10.2 Potentiel magnétique scalaire ............................................................................................................... 13 1.10.3 Réluctance magnétique ......................................................................................................................... 13 1.10.4 Inductance propre ................................................................................................................................. 14 1.10.5 Inductance mutuelle .............................................................................................................................. 15 1.11 CIRCUITS ÉLECTRIQUES ...................................................................................................................................... 16 1.11.1 Tension induite ..................................................................................................................................... 16 1.11.2 Flux totalisé .......................................................................................................................................... 17 1.11.3 Tension généralisée ............................................................................................................................... 17 1.11.4 Circuits couplés .................................................................................................................................... 18 1.11.5 Coefficient de couplage et coefficient de dispersion ............................................................................ 19 1.12 PROPRIÉTÉS DE LA MATIÈRE ............................................................................................................................... 20 1.12.1 Milieux magnétiques isotropes ............................................................................................................. 20 1.12.2 Classification des milieux magnétiques ................................................................................................ 20 1.12.3 Loi comportementale des milieux ferromagnétiques : courbes B=f(H) ............................................... 22 1.12.4 Classification des matériaux ferromagnétiques .................................................................................... 23 1.12.5 Pertes dans la matière ........................................................................................................................... 25 1.12.6 Circuits magnétiques ............................................................................................................................ 27 1.12.7 Réluctance - Loi d'Hopkinson ............................................................................................................. 29 1.12.8 Analogie magnétique - Electrique ........................................................................................................ 30 1.12.9 Calcul de l'inductance propre d'un circuit ........................................................................................... 31 1.13 LES AIMANTS ....................................................................................................................................................... 32 1.13.1 Première aimantation, désaimantation .................................................................................................. 32 1.13.2 Cycle d'hystérésis et température .......................................................................................................... 32 1.13.3 Caractéristiques d'aimants de diverses natures .................................................................................... 34 1.13.4 Droite de recul et point de travail ......................................................................................................... 35 1.13.5 Energie magnétique externe .................................................................................................................. 39 1.13.6 Application aux actuateurs .................................................................................................................... 40 Bibliographie

CIRCUITS ELECTRIQUES ET MAGNETIQUES Page 1 CD\SEM\Cours\Chap01.doc 1. CIRCUITS ELECTRIQUES ET MAGNÉTIQUES. 1.1 GÉNÉRALITÉS Le but de ce chapitre est de rappeler les notions principales des circuits électriques et magnétiques afin d'assurer la compréhension du fonctionnement des systèmes électromécaniques faisant l'objet de ce cours. 1.2 EQUATIONS DE MAXWELL Les phénomènes électriques et magnétiques ont tout d'abord été étudiés séparément par plusieurs physiciens de renom, dont les principaux sont Franklin (1706 - 1790), Coulomb (1736 - 1806) Oested (1775 - 1851), Ampère (1775 - 1836), Gauss (1777 - 1855) et Faraday (1791 - 1867). C'est cependant à Maxwell (1831 - 1879) que l'on doit la formulation la plus complète des relations liant entre elles les grandeurs électriques et magnétiques. Les équations de Maxwell spécifient que toute variation spatiale d'un champ électrique ou magnétique en un point de l'espace entraîne ou est due à l'existence, ou la variation temporelle, d'un autre champ au même point de l'espace. Il s'agit là de leur forme locale, ou encore différentielle. Forme locale Forme globale 0=!"B

VS dAdV0BnB : Conservation du flux magnétique J D H+ t dA t ddA SSC )=)=*+)J D nlHHn : Loi d'ampère t! B E dA t ddA SSC B nlEEn : Loi d'induction de Faraday !="#D

0=!=!"

SV dAdVDnD : Conservation de la charge avec : HB 0 r

B : Vecteur champ d'induction magnétique [T] H : Vecteur champ magnétique [A/m] µ0 : Perméabilité absolue du vide (4!10-7) [Vs/(Am)] µr : Perméabilité relative d'un matériau [1] ED

0 r

D : Vecteur déplacement électrique [As/m2] E : Vecteur champ électrique [V/m] !0 : Permittivité absolue du vide (8.85410-12) [As/(Vm)] !r : Permittivité absolue du vide [1] JE!=

E : Vecteur champ électrique [V/m] J : Vecteur densité de courant [A/m2] " : Conductivité électrique [A/(Vm)] !

: Opérateur différentiel zyx zyx eee ff!=grad : Gradient z f y f x f zyx eee CIRCUITS ELECTRIQUES ET MAGNETIQUES Page 2 CD\SEM\Cours\Chap01.doc FF!"=div : Produit scalaire de l'opérateur différentiel zyx F x F x F x!

FF!"=rot

: Produit vectoriel de l'opérateur différentiel ! y F x F x F z F z F y F x y z zx y y z x eee V dV... : Intégrale sur un volume ! S dA... : Intégrale sur une surface fermée ! C dl...

: Intégrale sur un contour fermé Sachant que la divergence de l'induction est nulle et que d'autre part la divergence d'un rotationnel est toujours identiquement nul, on peut en tout point de l'espace identifier l'induction avec le rotationnel d'une grandeur vectorielle A [Vs/m] appelée le potentiel vecteur magnétique AB

A B 0)( 0 : On dit que l'induction B dérive de A. Il faut noter que AB!"=

ne définit A qu'à un vecteur irrotationnel près; en effet, on peut remplacer A par A'=A+C avec 0=!"C

. 1.3 LE POTENTIEL VECTEUR MAGNÉTIQUE 1.3.1 L'équation vectorielle de Poisson Dans un milieu homogène, sans charge d'espace, on peut écrire ()JAA

ABH 2 1 11

1.1 Le potentiel vecteur a été choisi uniquement en terme de son rotationnel. Il est encore possible de spécifier indépendamment sa divergence que l'on choisit de façon à avoir 0)(=!""A

1.2 On obtient ainsi l'équation de Poisson JAµ=!

2 1.3

CIRCUITS ELECTRIQUES ET MAGNETIQUES Page 3 CD\SEM\Cours\Chap01.doc 1.3.2 Loi d'Ampère pour le potentiel vecteur (loi expérimentale) On peut démontrer que la représentation spatiale du potentiel vecteur, lorsque le milieu est uniformément réparti (perméabilité µ indépendante de la position dans l'espace) !

'4 C rr Idl' A(r)

1.4 où dl' est l'élément du contour C' sur lequel se porte l'intégration. I

C' dl' r' r r'-r x y zH

Figure 1-1 : Définition des grandeurs utilisées dans la loi d'Ampère Connaissant le potentiel vecteur A, l'induction B est obtenue en prenant son rotationnel, puis le champ magnétique H en divisant par la perméabilité µ. AH!"=

1

1.5 L'intégrale de la relation 1.4 ne portant pas sur la même variable que le rotationnel, il est possible s'écrire !

3 4 1 '4 11 C C rr rr Id d rr I r'rl' l'A(r)H(r)

1.6 1.4 CHAMP D'INDUCTION MAGNÉTIQUE B 1.4.1 Définition Le champ d'induction magnétique B traduit l'effet du déplacement des charges électriques. Si un courant constant traverse un conducteur électrique de longueur élémentaire dl, on écrit localement la !"#$%&$'#"($&($)*+*,(

CIRCUITS ELECTRIQUES ET MAGNETIQUES Page 4 CD\SEM\Cours\Chap01.doc 2 0 4 r Id d ul B

1.7 avec : dl : longueur du circuit soumis au courant I, orienté dans le sens de I ; r : distance de l'élément dl au point d'expression de l'induction dB, portée par le vecteur u (vecteur unité allant de dl vers le point d'expression de dB) ; !0 : perméabilité magnétique du vide (!o = 4#.10-7). L'induction s'exprime en Tesla ; dB

u Idl r z x

Figure 1-2 : Champ d'induction crée par un courant circulant dans un conducteur 1.4.2 Exemple de calcul 1.4.2.1 Cas d'un fil de longueur infini Le calcul s'effectue en deux étapes. Nous allons d'abord calculer le champ créé par une portion de fil de longueur dl puis nous intégrerons le long du fil pour obtenir le champ résultant B. 1.4.2.2 Etude d'un élément dl On reprend la loi de Biot et Savart. Le calcul du produit vectoriel ul!d

fait apparaître l'angle $ entre le vecteur ld et le vecteur u . Ainsi )sin(!udld"=#ul

). Si l'on observe le triangle formé par l'élément dl et le point de mesure de dB (Figure 1-3), on obtient les relations suivantes : 22

sin)sin( 2 d r d r dl OO#==

1.8 !"rddl#)sin(

1.9 Ainsi, le module du champ d'induction magnétique créé par l'élément dl a pour expression : r

dI dB 4 0 1.10 CIRCUITS ELECTRIQUES ET MAGNETIQUES Page 5 CD\SEM\Cours\Chap01.doc o' dB u dl r d z x o

Figure 1-3 : Champ d'induction crée par un courant circulant dans un conducteur de longueur l Son orientation est donnée par la règle du tire-bouchon, ici rentrant dans la " feuille » (courant allant du bas vers le haut, champ à calculer à droite). 1.4.2.3 Etude pour un fil infini Dans ce cas, il faut intégrer la valeur du champ dB sur un angle !

allant de -#/2 à #/2 : d I d r I B d r 24
0 )cos( 2/ 2/ 0

1.11 où d est la petite distance du point de mesure au fil. d

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