[PDF] Chapitre 7 - Circuits Magn ´etiques et Inductance

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Chapitre7Circuits Magn

´etiques et Inductance

7.1

Intr oduction

7.1.1

Pr oductiond"un champ magn

´etiqueSi on consid`ere un conducteur cylindrique droit dans lequel circule un courantI(figure 7.1 ). Ce courant cr´ee un champ magn´etique. L"intensit´e de ce champ est donn´e par la loi d"Amp`ere :Z

Hdl=I(7.1)I

Figure7.1 - Champ magn´etique cr´e´e par un courant circulant dans un fil 1

CHAPITRE 7. CIRCUITS MAGN

´ETIQUES ET INDUCTANCEDans le cas d"un conducteur droit, l"intensit

´e du champ magn´etique est :

H(r) =I2r(A/m) (7.2)La nature du champ magn´etique d´epend de la nature du courantI. Si le courantIest

un courant alternatif sinuso¨ıdal, le champ magn´etique sera sinuso¨ıdal aussi. Si le courant

est continu, le champ magn´etique le sera aussi.

Le champ magn´etique cr´e´e par un fil long et droit n"est pas uniforme et son intensit´e

varie selon 1=r. Afin de cr´eer un champ uniforme, on utilise une bobine pour concentrer les lignes de champs en un mˆeme endroit.Figure7.2 - Champ magn´etique dans une bobine A l"int´erieur de la bobine, les champs magn´etiques de chaque boucle s"additionnent pour cr´eer un champ plus intense et plus uniforme. 7.1.2

Flux magn

´etique

Soit une bobine dans laquelle circule un courantI. Le champ magn´etique cr´e´e se r´epand

dans l"espace libre autour de la bobine, ou de fac¸on semblable aux courants´electriques, que le champ "coule" dans le milieu qui entoure la bobine. La bobine cr´ee alors uneforce magn ´etomotricequi fait circuler unflux magn´etiquedans le milieu. C"est semblable au mˆeme ph´enom`ene que dans les circuits´electriques : une force ´electromotrice d´eplace des´electrons qui circulent dans le milieu. La force produite est reli´ee au courant qui circule et au nombre de tours dans la bobine :

F=NI(7.3)

Gabriel Cormier 2 GEN1153

CHAPITRE 7. CIRCUITS MAGN

´ETIQUES ET INDUCTANCEo`uFest la force,Nest le nombre de tours, etIle courant. L"unit´e de cette force est At

(Amp`ere-tour).

La densit

´e de flux magn´etiqueBdans un milieu donn´e est :

B=H(7.4)

o`uBest la densit´e de flux (en Wb/m2ou Tesla),Hest l"intensit´e du champ magn´etique (en A/m) etest la perm´eabilit´e magn´etique du milieu (en Wb/m ou H/m). La perm´eabilit´e du vide est0= 4107H/m. La perm´eabilit´e de l"air est presque la mˆeme que celle du vide.

Le flux magn

´etique circulant dans une surfaceSest d´efini comme : '=Z S

BdS(7.5)

7.2 Ma t

´eriaux magn´etiques

Un mat´eriau magn´etique est un mat´eriau de haute perm´eabilit´e magn´etique (r). Le

rˆole est de canaliser efficacement les lignes de champ magn´etique. Ceci permet de r´eduire

les fuites. La figure 7.3 mon tredeux bobines coupl ´ees sans mat´eriau magn´etique entre les deux. Seule une partie du champ de la boucle 1 se rend`a la boucle 2.S 1C 1S 2C

2Figure7.3 - Deux surfaces coupl´ees magn´etiquement

Avec un mat´eriau magn´etique, les lignes de champ sont guid´ees et les deux surfaces sont bien coupl´ees :

Gabriel Cormier 3 GEN1153

CHAPITRE 7. CIRCUITS MAGN

´ETIQUES ET INDUCTANCES

1C 1S 2C

2Figure7.4 - Deux surfaces coupl´ees magn´etiquement avec un mat´eriau magn´etique

7.2.1

Caract

´eristique B(H) d"un mat´eriau magn´etiqueOn a vu que la relation entre la densit´e de flux et le champ magn´etique estB=H.

Dans le vide (ou l"air), cette caract´eristique prend la forme d"une relation lin´eaire. Le vide

est un milieu lin´eaire, homog`ene (la qualit´e est uniforme) et isotropique (les propri´et´es

sont les mˆemes dans toutes les directions). La relationB(H) du vide est donn´e dans la figure 7.5 .HB

0Figure7.5 - Relation B(H) du vide

Pour un mat

´eriau magn´etique, la relation B(H) est :

B=r0H(7.6)

n"est pas constante, et la relationB(H) est non-lin´eaire.

On peut classifier les mat

´eriaux magn´etiques en deux groupes importants : mat´eriauxnon-magn´etiques:rest environ 1. Exemple : air, verre, cuivre, alumi- nium. mat´eriauxferromagn´etiques:rest tr`es´elev´e (100`a 100000). Exemple : fer, acier, cobalt, alliages, etc... La caract´eristique de magn´etisation AC d"un mat´eriau magn´etique donne une courbe du typehyst´er´esis.

Gabriel Cormier 4 GEN1153

CHAPITRE 7. CIRCUITS MAGN

´ETIQUES ET INDUCTANCEHB

B maxFigure7.6 - Courbe hyst´er´esis typique -Bmax= 1.5T (fer) -Bmax= 0.3T (ferrite) 7.2.2

P ertesmagn

´etiques

Il y a deux grandes sources de pertes dans les mat

´eriaux magn´etiques :

1.

P ertespar h yst

´er´esis

2.

P ertespar cour antsde F oucault

Pertes par hyst

´er´esisSousexcitationcyclique (sinuso¨ıdale,par exemple), lemat´eriaumagn´etiquefaitun cycle

de hyst´er´esis et cr´ee ainsi des pertes d"´energie dans le noyau sous forme de chaleur. Les

pertes par hyst´er´esis sont directement proportionnelles`a la surface du cycle d"hyst´er´esis et

`a la fr´equence d"op´eration. Une formule empirique permet de calculer les pertes (par m3) :

Phys=KB2maxf(7.7)

o`u K est une constante qui d´epend du mat´eriau,Bmaxest la valeur maximale de la densit´e de flux, etfest la fr´equence de fonctionnement.

On r´eduit les pertes par hyst´er´esis en utilisant des tˆoles ayant un faible pourcentage de

silicium (0.8`a 3.5%) ou en utilisant des tˆoles`a courants orient´es (tˆoles en silicium`a faible

teneur en carbone).

Gabriel Cormier 5 GEN1153

CHAPITRE 7. CIRCUITS MAGN

´ETIQUES ET INDUCTANCEPertes par courants de FoucaultLe champ magn´etique alternatif induit dans le noyau par des forces´electromagn´etiques

cr´ee un courant induit dans le mat´eriau. Ces courants induits vont cr´eer des pertesRI2

(puisque les mat´eriaux magn´etiques ont une r´esistivit´e non-nulle). Ces pertes sont dissip´ees

sous forme de chaleur. Afin de minimiser les courants induits dans le noyau, on utilise des noyaux form´es de laminations isol´ees´electriquement les unes des autres (pour les bobines fonctionnant `a basses fr´equences) ou des noyaux en ferrite (pour les bobines fonctionnant`a hautes fr´equences).Figure7.7 - Noyau lamin´e On peut estimer les pertes par courant de Foucault avec la relation empirique suivante : Pf=26 d

2B2maxf2D

(7.8)

o`udest l"´epaisseur de la plaque,est la r´esistivit´e,Dest la densit´e du mat´eriau, etfla

fr´equence. Habituellement, les pertes sont estim´ees`a l"aide de donn´ees fournies par les manufacturiers. 7.3

Cir cuitsmagn

´etiques

Un circuit magn´etique est semblable`a un circuit´electrique. C"est un parcours ferm´e

qui est r´ealis´e avec un mat´eriau magn´etique de haute perm´eabilit´e (r>>). Cependant, on

va faire quelques hypoth`eses pour l"analyse de ces circuits :

On suppose que B(H) est lin´eaire.

P asde sa turation.

P asde h yst

´er´esis.

Une force magn´etomotriceF=NIforce un flux'`a circuler dans le circuit magn´etique.

Gabriel Cormier 6 GEN1153

CHAPITRE 7. CIRCUITS MAGN

´ETIQUES ET INDUCTANCEL"intensit

´e du champ magn´etique dans le noyau est donn´e par la loi d"Amp`ere : NI=Z

Hdl=Hl(7.9)

La densit

´e de flux dans le noyau est´egale`a :

B=H(7.10)

Le flux magn

´etique circulant dans le noyau est´egal`a : '=BA=HA=NIl A=NI lA (7.11)

Cette relation peut

ˆetre exprim´ee sous la forme :

'=FR

(7.12)On appelleRlar´eluctancedu circuit magn´etique. La r´eluctance est une quantit´e qui

caract´erise la "r´esistance" du circuit magn´etique au passage du flux. C"est un peu comme la loi d"Ohm pour des circuits magn´etiques. La r ´eluctance d"un circuit de surfaceA, de longueur moyennelet perm´eabilit´eest : R=lA (7.13) La r

´eluctance est exprim´ee en At/Wb.

Donc, comme

´equivalence aux circuits´electriques :Circuit

´electriqueCircuit magn

´etiqueTension VForce magn

´etomotriceF=NIR

´esistance RR

´eluctanceRCourant IFlux'R

´eluctance en s´erie

La r´eluctance en s´erie se comporte de la mˆeme fac¸on que des r´esistances en s´erie.

C"est-`a-dire :

R eq=R1+R2+:::(7.14)

Gabriel Cormier 7 GEN1153

CHAPITRE 7. CIRCUITS MAGN

´ETIQUES ET INDUCTANCER

´eluctance en parall`eleLa r´eluctance en parall`ele se comporte de la mˆeme fac¸on que des r´esistances en parall`ele.

C"est-`a-dire :

R eq= 1R 1+1R 2+! 1 (7.15)

Exemple1

Soit le circuit magn´etique suivant. Le courantIest 1.2A, la perm´eabilit´e relative du mat´eriau estr= 3000, le nombre de toursNest 100 et une profondeur de 4cm.I15cm

12cm3cm12cm

9cmParcours moyen

La longueur moyenne du circuit est :

l= 2(12+9) = 0:42m

La section du circuit est :

A= (34)cm2= 0:0012m2

La r

´eluctance du circuit est :

R=lA =0:423000(4107)0:0012= 92840 At/Wb

Le flux magn

´etique est :

'=NIR =12092840 = 1:29103Wb

Gabriel Cormier 8 GEN1153

CHAPITRE 7. CIRCUITS MAGN

´ETIQUES ET INDUCTANCELa densit

´e de flux est :

B='A =1:291030:0012= 1:075 T

Exemple2Soit le circuit magn´etique suivant. Le courantIest 2A, la perm´eabilit´e relative du

mat´eriau estr= 2500, le nombre de toursNest 250 et une profondeur de 4cm. L"entrefer

a une´epaisseur de 0.5cm (l"entrefer est la section o`u il manque une petite partie du circuit).I20cm

15cm4cm

Le circuit

´equivalent est :+

R FeR

FeF=NILa longueur moyenne du circuit est :

l= 2(11+16) = 0:54m

La section du circuit est :

A= (44)cm2= 0:0016m2

Gabriel Cormier 9 GEN1153

CHAPITRE 7. CIRCUITS MAGN

´ETIQUES ET INDUCTANCELa r

´eluctance du fer est :

R Fe=lA =0:542500(4107)0:0016= 107430 At/Wb La r

´eluctance de l"entrefer est :

R e=le

0Ae=0:005(4107)0:0016= 248680 At/Wb

Le flux magn

´etique est :

'=NIR eq=NIR

Fe+Re=2502107430+248680

= 1:404103Wb

La densit

´e de flux est :

B='A

=1:4041030:0016= 0:878 TRemarque :On suppose que le champ magn´etique est droit dans l"entrefer, ce qui n"est

pas le cas en r´ealit´e. Ceci augmente la largeur effective de l"entrefer (Aenterf er> A). On nomme aussi ce ph´enom`enel"effet de frange.SimplificationR

´ealit´eFigure7.8 - Effet de frange

Par contre, la longeur de l"entrefer est habituellement plus petite que 5% de la longueur du circuit magn´etique, et on peut utiliser la simplificationAentref er=A. Pour augmenter la pr´ecision des calculs, la formule suivante empirique donne de bon r´esultats : A e= (a+le)(b+le) (7.16) o `uaetbsont les dimensions du noyau etleest la longueur de l"entrefer.

Gabriel Cormier 10 GEN1153

CHAPITRE 7. CIRCUITS MAGN

´ETIQUES ET INDUCTANCE7.3.1Analyse non-lin

´eaireOn a jusqu"`a pr´esent suppos´e que les circuits magn´etiques avaient un comportement

lin´eaire dans la relation B(H). Par contre, en r´ealit´e, les circuits magn´etiques ont une

relation B(H) non-lin´eaire, et on pr´esente ici une technique pour en faire l"analyse.

On va consid

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