[PDF] Mouvement dans un champ de force centrale conservative Cas

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Mouvement dans un champ de force centrale conservative Cas particulier du champ newtonienTable des matières

I. Force centrale

1

1. Définition

1

2. Exemples de forces centrales conservatives

1 a) Interaction gravitationnelle 1 b) Interaction électrostatique 2 c) Force élastique 2 II. Propriétés générales d"un mouvement à force centrale 3

1. Conservation du moment cinétique

3

2. Conséquences

3 a) La trajectoire est plane 3 b) Le mouvement suit la loi des aires 3 III.Conservation de l"énergie mécanique : énergie potentielle effective 4

1. Énergie potentielle effective

4

2. Étude qualitative du mouvement radial

5

IV.Cas particulier du champ de force newtonien

5

1. Champ de force newtonien

5

2. Approche énergétique : étude de l"énergie potentielle effective

7

3. Lois de Kepler

9

4. Cas particulier du mouvement circulaire

11 a) Vitesse circulaire 11 b) Énergie du mouvement circulaire 13 c) Calcul à partir de l"énergie potentielle effective 13

5. Quelques notions sur les satellites terrestre

14 a) Généralités 14 b) Vitesses cosmiques 14 c) Satellite géostationnaire 15 d) Trajectoire elliptique 17 e) Mise sur orbite 19 1

I. Force centrale

1. DéfinitionUne force est centrale si son support passe par un pointOfixe dans le référentiel d"étude

Rgaliléen.Oest appelé centre de force.!

OM^~F=~0La force

~Fpeut être attractive ou répulsive. La force~Fest donc colinéaire au vecteur~urdes coordonnées sphériques centrées enO.

La force

~Fest conservative si son travail élémentaire peut s"écrire sous la forme

W=~F:d!OM=dEp

2. Exemples de forces centrales conservatives

a) Interaction gravitationnelleOn pose ~F=~FO!M=~FM!O

F=Gm0mr

2~ur

Gconstante de gravitation :G= 6;67:1011m3.kg1.s2

Le déplacement élémentaire en coordonnées sphériques vautd!OM= dr!ur+rd!u+rsind'!u'

F:d!OM=Gm0mr

2~ur:(dr!ur+rd!u+rsind'!u') =Gm0mr

2dr=dEp

dEpdr=Gm0mr 2 E p=Gm0mr + Cte L"énergie potentielle ne dépend que der:Ep=Ep(r). Si on choisitEp= 0à l"infini alorsCte = 0 E p(r) =Gm0mr avecEp(1) = 02 b) Interaction électrostatique

On pose

~F=~FO!M=~FM!O

F=14"0q

0qr 2~ur

0permittivité du vide :"0= 8;85:1012F.m1

Remarque :dans un milieu (par exemple l"eau)"0!"R"0avec"Rla permittivité relative du milieu (pour l"eau à 25

C"R= 78).

En procédant par analogie avec les calculs précédents

G$14"0m

0m$q0q

E p(r) =14"0q 0qr avecEp(1) = 0c) Force élastique

On pose

~F=~FO!M=~FM!O

F=k(rr0)~ur

kconstante de raideur du ressort r

0longueur à vide du ressort (r0=`0)

F:d!OM=k(rr0)~ur:(dr!ur+rd!u+rsind'!u') =k(rr0)dr=dEp dEpdr=k(rr0) E p=12 k(rr0)2+ Cte E p(r) =12 k(rr0)2avecEp(r0) = 0

On retrouve bienEp=12

(``0)2+Cte. 3 II. Propriétés générales d"un mouvement à force centrale

1. Conservation du moment cinétique

On considère un point matérielMde massemen mouvement dans un référentielRgaliléen dans un champ de force centrale de centreOfixe dansR. Le centre de forceOétant fixe dansR, la loi du moment cinétique appliquée àMau pointO s"écrit d~O(M)dt R =~MO(~F) =!OM^~F=~0 O(M) =!CteLe moment cinétique par rapport àOest une constante vectorielle du mouvement. Remarque :le cas particulier où~O(M) =~0correspond à un mouvement rectiligne :

8t!OMk~v

2. Conséquences

a) La trajectoire est plane

On note~O=~O(M) =!OM^m~v(M).

avec les propriétés du produit vectoriel : !OM?~O

~v(M)?~OLe mouvement a lieu dans le plan perpendiculaire à~Opassant parOb) Le mouvement suit la loi des aires

En des temps égaux les aires balayées par le rayon vecteur !OMsont égales.Démonstration : Le mouvement étant plan on choisit de repérer le pointMpar ses coordonnées polaires(r;). On choisit~uzde manière à avoir~O=O~uzavec(~ur;~u;~uz)base orthonormée directe.(!OM=r~ur ~v(M) = _r~ur+r_~u

O=!OM^m~v(M) =mr~ur^(_r~ur+r_~u)

O=mr2_~uz=O~uz

On poseC=Om

=r2_. 4 Cest appelée laconstante aréolaire du mouvement. La constante aréolaire étant constante, son signe est constant et donc le signe de _aussi. On peut toujours choisir une orientation de manière à avoir_ >0et donc0>0. SoitdAl"aire balayée par le rayon vecteur!OMpendant le tempsdt. dA=12 k!OM^d!OMk=12 k!OM^~vdtk dAdt=k!OM^~vk=12 k~0km =12 0m =C2 dAdt=C2

La vitesse aréolaire est constante et vaut

C2 .III. Conservation de l"énergie mécanique : énergie poten- tielle effective On suppose que le point matérielMn"est soumis à qu"à une force centrale~Fconservative. On noteEp(r)l"énergie potentielle dont dérive la force~F.

1. Énergie potentielle effective

Au cours du mouvement deMdans le référentielRgaliléen d"étude, la seule force qui travaille

est la force~F. Cette force est conservative, donc l"énergie mécanique du pointMdansRest conservée. E m=Ec+Ep=CteOrEc=12 mv2avec~v= _r~ur+r_~ud"oùv2= _r2+r2_2. On en déduit E m=12 m(_r2+r2_2) +Ep(r) On introduit alors la constante aréolaire du mouvementC=r2_qui permet de remplacer_ par Cr 2 E m=12 m _r2+r2C2r 4 +Ep(r) E m=12 m_r2+12 mC2r

2+Ep(r)

On poseEp;e(r) =12

mC2r

2+Ep(r)énergie potentielle effectivedu mouvement.

5 La conservation de l"énergie mécanique s"exprime alors sous la forme : E m=12 m_r2+Ep;e(r) =Cte2. Étude qualitative du mouvement radial E m=12 m_r2 |{z} >0+Ep;e(r) Le mouvement n"est possible que dans les domaines oùEmEp;e. LorsqueEm=Ep;e,_r= 0: ces positions correspondent à une valeur extrémale der. Attention, la vitesse en ces points n"est pas nulle car il reste la composante orthoradiale~v=r_~u. Nous allons voir dans le paragraphe suivant comment exploiter la courbe deEp;e(r).

IV. Cas particulier du champ de force newtonien

1. Champ de force newtonien

Un point matérielMsera placé dans un champ de force newtonien s"il subit une force de la forme (en coordonnées sphériques) : F=kr

2~ur- interaction gravitationnelle :k=Gm0m

- interaction électrostatique :k=14"0q0q Lorsquek >0la force est attractive (gravitation, charges opposées) Lorsquek <0la force est répulsive (charges de même signe) Comme on l"a montré précédemment les forces newtoniennes sont conservatives.

F:d!OM=kr

2~ur:(dr!ur+rd!u+rsind'!u') =kr

2dr=dEp

dEpdr=kr 2 E p=kr + Cte

Si choisitEp= 0à l"infini alorsCte = 0

E p(r) =kr avecEp(1) = 06

2. Approche énergétique : étude de l"énergie potentielle effective

On peut définir l"énergie potentielle effective E p;e=12 mC2r 2kr 1 ercas : force attractive (k >0)Pourr!0Ep;e'12 mC2r 2

Pourr! 1Ep;e' kr

La courbe donnantEp;een fonction dera l"allure suivante :E m=12 m_r2 |{z}

0+Ep;e(r)

Le mouvement n"est possible que dans les domaines où la condition E m>Ep;e(r) est vérifiée. On doit donc avoirEm>Em0avecEm0valeur minimale deEp;e(r). Les valeurs derpour lesquellesEm=Ep;ecorrespondent à_r= 0et donc à des valeurs extrémales der. Suivant les valeurs de l"énergie mécanique, plusieurs type de trajectoires sont possibles : 7 E m=Em0 E m0correspond au minimum deEp;er=r0=Cte le mouvement est circulaire

C=r2_=r20_=Cte)_=cte

si le mouvement est circulaire, il est uniforme. Le mouvement circulaire correspond à unétat liéE m=Em1avecEm0< Em1<0r min6r6rmax )le mouvement est borné radialement : il correspond à unétat lié.La tra jectoireest alors une ellipse. E m=Em2avecEm2>0r>r2 rpeut tendre vers l"infini : le mouvement correspond à unétat de diffusion.La trajectoire est alors une parabole (Em= 0) ou une hyperbole (Em>0)Dans le cas oùEp(1) = 0on retiendra que

Em>0état de diffusion

E m<0état lié 2 emecas : force répulsivek <0Pourr!0Ep;e'12 mC2r 2

Pourr! 1Ep;e' kr

La courbe donnantEp;een fonction dera l"allure suivante :On constate graphiquement que seuls des états de diffusions peuvent exister (trajectoires hy-

perboliques). 8

3. Lois de Kepler

Ces lois décrivent le mouvement des planètes autour du Soleil. Kepler les a énoncées vers 1610. Il s"est appuyé pour cela sur les observations très précises de l"orbite de Marsquotesdbs_dbs16.pdfusesText_22

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