[PDF] PHQ414 : Mecanique II 26 jui. 2018 1.A.

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MÉCANIQUE II

PHQ414

par

David SÉNÉCHAL

Ph.D., Professeur Titulaire

UNIVERSITÉ DESHERBROOKE

Faculté des sciences

Département de physique

26 juin 2018

2

Table des matières

1 Mécanique de Lagrange

9

A Équations de Lagrange

9

1.A.1 Coordonnées généralisées

9

1.A.2 Forces de contrainte et déplacements virtuels

11

1.A.3 Équations de Lagrange

12

B Applications élémentaires

14

C Principe de la moindre action

20

1.C.1 Énoncé et démonstration

20

1.C.2 La brachistochrone

22

1.C.3 Méthode des multiplicateurs de Lagrange

26

D Application aux petites oscillations

28

1.D.1 Système masses-ressorts

28

1.D.2 Modes propres

30

2 Mécanique de Hamilton

39

A Équations de Hamilton

39

2.A.1 Transformation de Legendre

39

2.A.2 Moments conjugués et hamiltonien

41

2.A.3 Exemples élémentaires

43

2.A.4 Principe de la moindre action

46

B Formalisme canonique

47

2.B.1 Crochets de Poisson

47

2.B.2 Théorèmes de Liouville et de Poincaré

49

2.B.3 Lois de conservation et symétries

51

C Transformations canoniques

53

2.C.1 Définitions et propriétés générales

53

2.C.2 Fonctions génératrices

54

2.C.3 Transformations canoniques infinitésimales

57

D Théorie de Hamilton-Jacobi

59

2.D.1 Équation de Hamilton-Jacobi

59

2.D.2 Fonction caractéristique de Hamilton

62

2.D.3 La mécanique classique comme limite de la mécanique ondulatoire

63

3 Mouvement des corps rigides

71

A Cinématique des corps rigides

71

3.A.1 Matrices de Rotation

71

3.A.2 Rotations passives et actives

74

B Vitesse angulaire

75

3.B.1 Rotations infinitésimales

75

3.B.2 Caractère vectoriel de la vitesse angulaire

76
3

4TABLE DES MATIÈRES

3.B.3 Composition des vitesses

76

3.B.4 Angles d"Euler

78

C Théorème du moment cinétique

80

D Tenseur d"inertie

82

3.D.1 Relation entre vitesse angulaire et moment cinétique

82

3.D.2 Tenseurs et axes principaux

83

E Mouvement libre d"un objet rigide

86

3.E.1 Équations d"Euler

86

3.E.2 Rotation libre d"un objet symétrique

86

3.E.3 Rotation libre d"un objet asymétrique

88

F Mouvement d"une toupie symétrique

90

3.F.1 Lagrangien, hamiltonien et problème effectif à une variable

90

3.F.2 Précession uniforme

92

3.F.3 Solution générale

94

3.F.4 Toupie dormante

96

G Précession des équinoxes

97

3.G.1 Énergie potentielle d"un objet plongé dans un champ gravitationnel

97

3.G.2 Fréquence de précession

100

4 Forces centrales

107

A Solution générale

107

4.A.1 Réduction du problème à deux corps

107

4.A.2 Problème radial effectif

109

4.A.3 Intégrale de la trajectoire

111

4.A.4 Théorème du viriel

112

B Le problème de Kepler

114

4.B.1 Sections coniques

114

4.B.2 Équation de Kepler

117

4.B.3 Repérage des orbites dans l"espace

120
C Théorie classique de la diffusion par un potentiel central 122

4.C.1 Section efficace

122

4.C.2 Formule de Rutherford

124
D Forces centrales et équation de Hamilton-Jacobi 126

4.D.1 Équation de Hamilton-Jacobi dans le cas d"un potentiel azimutal

126

4.D.2 Cas d"un potentiel central

128

4.D.3 Variables d"action-angle

128

4.D.4 Variables d"action-angle dans le problème de Kepler

130
E Introduction à la théorie des perturbations 134

4.E.1 Méthode de variation des constantes

134

4.E.2 Précession des orbites

136

5 Relativité et électromagnétisme

143

A Théorie de la relativité restreinte

143

5.A.1 Espace-temps

143

5.A.2 Exemples d"invariants et de quadrivecteurs

145

B Dynamique relativiste

148

5.B.1 Action d"une particule libre

148

TABLE DES MATIÈRES5

5.B.2 Particule chargée dans un champ électromagnétique

149

5.B.3 Forme covariante de l"équation du mouvement

151

5.B.4 Tenseur de Faraday et transformation des champs

154

C Théorie des circuits électriques

156

5.C.1 Description générale des circuits

156

5.C.2 Lagrangien et hamiltonien d"un circuit

159

6 Introduction aux systèmes chaotiques

167

A Problème de Hénon-Heiles

167

6.A.1 Potentiel de Hénon-Heiles

167

6.A.2 Sections de Poincaré

168

6.A.3 Stabilité et exposant de Liapounov

171

B Dynamique discrète et approche du chaos

172

7 Annexes177

A Rappels d"algèbre linéaire

177

7.A.1 Notations indicielle et matricielle

177

7.A.2 Changements de base

180

7.A.3 Vecteurs et valeurs propres d"une matrice

180

B Vecteurs et tenseurs

184

6TABLE DES MATIÈRES

Table des problèmes

1.1 Machine d"Atwood généralisée

34

1.2 Mouvement le long d"une cycloïde

34

1.3 Pendule à pivot tournant

35

1.4 Masse pesante se déplaçant sur un cône

36

1.5 Masse pesante sur une sphère

36

1.6 Objet glissant le long d"un cylindre

36

1.7 Roulement d"un objet cylindrique sur un autre

36

1.8 Bille sur un anneau

37

1.9 Géodésiques

37

1.10 Systèmes masses-ressorts

38

1.11 Pendules couplés

38

2.1 Film de savon

66

2.2 Pendule avec tige élastique

66

2.3 Pendule à pivot tournant : hamiltonien

67

2.4 Masse glissant le long d"une hélice libre de tourner

67

2.5 Masse glissant le long d"une hélice

68

2.6 Coordonnées elliptiques

68

2.7 Crochets de Poisson et moment cinétique

68

2.8 Transformations canoniques

69

2.9 Équation de Hamilton-Jacobi pour une force constante

69

2.10 Équation de Hamilton-Jacobi en coordonnées elliptiques

69

3.1 Matrice de rotation générale

102

3.2 Rotations et matrices de Pauli

102

3.3 Matrices de rotations

103

3.4 Vitesse angulaire dans le repère fixe

103

3.5 Tenseur d"inertie de la molécule de méthane

103

3.6 Moment d"inertie d"un disque mince

104

3.7 Moments d"inertie d"un ellipsoïde

104

3.8 Angles d"Euler et rotation libre

104

3.9 Toupie dormante et potentiel effectif

104

3.10 Toupie reposant sur une plaque sans frottement

104

3.11 Précession rapide

105

3.12 Rotation libre d"un objet asymétrique

105

3.13 Mouvement de billes magnétiques

105

4.1 Diffusion de Rutherford : cas attractif

139

4.2 Diffusion par un potentiel en 1/r2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .139

4.3 Diffusion par une sphère molle

139

4.4 Théorie des perturbations pour l"oscillateur anharmonique

139

4.5 Perturbation d"une orbite par une force constante

140

4.6 Précession de l"orbite d"un satellite

140
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