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Chapitre 7 : Mouvements à force centrale Mécanique Page 1 sur 8 I Définition œ interaction newtonienne A) Force centrale On dit que M est soumis à une
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Dans ce cas aussi la force centrale F est parallèle au vecteur position OM Exemples : ? Interaction gravitationnelle : F = ? e ? Interaction
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Soit M un point de masse m mobile dans un référentiel galiléen R0 et soumis uniquement à une force centrale conservative F dont le support passe toujours
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Force centrale si : F = F(r)er conservative si : ?W = ?dEp Pour les forces de gravitation et électrostatiques que l'on appelle interactions newtoniennes F(r)
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1 - Exprimer la force gravitationnelle ressentie par M ainsi que l'énergie potentielle dont Bilan des forces : M n'est soumis qu'à une force centrale
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Énergie mécanique dans le cas du mouvement circulaire puis dans le cas du mouvement ellip- tique • Vitesses cosmiques : vitesse en orbite basse et vitesse de
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Dans ce chapitre nous verrons les forces centrales conservatives "Physique Tout-en-un MPSI PCSI PTSI" - Marie-Noëlle Sanz / Anne-Emmanuelle Badel
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Sciences Physiques : PCSI 2 I – Forces centrales conservatives soumis à une force centrale conservative s'il subit une force du type:
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(b) Utiliser la conservation du moment cinétique pour déterminer l'angle ? du vecteur vitesse #»v(M) avec la normale à la surface de la Terre au moment de l'
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PCSI 2019–2020 Lycée Lalande Bourg–en–Bresse Alexandre Alles Chapitre 17 Forces centrales I'm a shooting star leaping through the sky
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A) Force centrale On dit que M est soumis à une force centrale F La force gravitationnelle est une force centrale (exemple : soleil œ planète
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I 1)-? Définition Un point matériel est soumis à une force centrale si cette force est toujours dirigée vers un point fixe O du référentiel considéré
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Un mouvement à force centrale est toujours plan contenu dans le plan perpendiculaire au moment cinétique et passant par le centre de la force Page 5 Cours :
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II Propriétés générales d'un mouvement à force centrale 1 Conservation du moment cinétique On considère un point matériel M de masse m en mouvement dans
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Dans ce chapitre nous verrons les forces centrales conservatives dont la force de Newton et celle de Coulomb font parties et leurs caractéristiques ; puis
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Force centrale si : F = F(r)er conservative si : ?W = ?dEp Pour les forces de gravitation et électrostatiques que l'on appelle interactions newtoniennes F(r)
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On considère le mouvement d'un point matériel de position M soumis dans un référentiel galiléen à une force centrale de centre O conservative à laquelle est
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Point matériel soumis à un seul champ de force centrale • Énergie potentielle effective État lié et état de diffusion • Champ newtonien Lois de Kepler
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Mouvements dans un champ de force central et conservatif Donnée pour tous les exercices : constante de gravitation G = 667 · 10?11 m3 · kg?1 · s?2
MPSI - M´ecanique II - Mouvement dans un champ de forces centrales conservativespage 1/5Mouvement dans un champ de forcescentrales conservativesTable des mati`eres1 Forces centrales conservatives1
1.1 Exemple de la force de gravitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Exemple de la force ´electrostatique . . . . . . . . . . . . . . . .. . 1
1.3 G´en´eralisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 Lois g´en´erales de conservation1
2.1 Conservation du moment cin´etique . . . . . . . . . . . . . . . . . .2
2.1.1 Plan´eit´e du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.1.2 Int´egrale premi`ere du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.1.3 Loi des aires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.2 Conservation de l"´energie (m´ecanique) . . . . . . . . . . . .. . . . 2
2.2.1 Int´egrale premi`ere du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.2.2 ´Energie potentielle effective . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2.2.3 ´Etats de diffusion, ´etats li´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Mouvement dans un champ de forces centrales newtonien 3
3.1 ´Equation g´en´erale de la trajectoire . . . . . . . . . . . . . . . . . .33.2 Interaction r´epulsive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3.3 Interaction attractive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3.3.1 ´Etat de diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3.3.2 ´Etat li´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43.4 Mouvements des plan`etes - Lois de K´epler . . . . . . . . . . . .. . 4
3.4.1 Lois de K´epler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.4.2 Vitesses cosmiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1 Forces centrales conservatives
1.1 Exemple de la force de gravitation
SoientM1de massem1etM2de massem2
F1→2=-F2→1=-Gm1m2
(M1M2)2M 1M2 M1M2 avecG= 6,67.10-11kg-1.m3.s-2 On supposera queMde massemest attir´e par un centre de force fixeO de massem??mF=-Gm?m
r2erδW=F.dOM=-A
r2er.(drer+rder) =-Adr r2=-dEp avecEp=-A ren prenantEp(∞) = 01.2 Exemple de la force ´electrostatique
SoientM1de chargeq1etM2de chargeq2
F1→2=-F2→1=1
4π?0q
1q2 (M1M2)2M 1M2 M1M2 avec 14π?0= 9.109S.I.
On supposera queMde chargeqet de massemest attir´e ou repouss´e par un centre de force fixeOde chargeq?et de massem??m F=14π?0q
?q r2erδW=F.dOM=B
r2er.(drer+rder) =Bdr r2=-dEp avecEp=B ren prenantEp(∞) = 0 Damien DECOUT - Derni`ere modification : f´evrier 2007MPSI - M´ecanique II - Mouvement dans un champ de forces centrales conservativespage 2/5remarque: si l"on compare les forces de gravitation et ´electrostatiques qui
s"exercent par exemple entre deux ´electrons F e Fg=?e m? 2?14π?0G?
= 4,2.1042 D"une mani`ere g´en´erale, `a l"´echelle microscopique, les forces de gravitation sont n´egligeables devant les forces ´electrostatiques.1.3 G´en´eralisation
Force centrale si :
F=F(r)er
conservative si :δW=-dEp
Pour les forces de gravitation et ´electrostatiques que l"on appelle interactions newtoniennesF(r) =k
r2et Ep=k ravec Ep(∞) = 0 k=-Gm?m <0 pour l"interaction gravitationnelle; k=14π?0q?q, pour l"interaction ´electrostatique, n´egatif siq?etqde signe
diff´erent, positif siq?etqde mˆeme signe.2 Lois g´en´erales de conservation
Soit M de massemet de vitessevsoumis `a un champ de forces centrales conser- vativesF=F(r)ercr´e´e par un centre de force O.2.1 Conservation du moment cin´etique
2.1.1 Plan´eit´e du mouvement
dLO dt=MO=OM?F=rer?F(r)er= 0?LO=cte CommeLO=OM?mv,OMetvrestent perpendiculaires `aLO=cte,OM etvsont donc contenus dans le plan perpendiculaire `aLO=cte: le mouvement est plan.2.1.2 Int´egrale premi`ere du mouvement
Dans ce plan, choisissons les coordonn´ees polaires (r,θ) :OM=rerv= rer+rθeθ
LO=OM?mv=mr2θez
commeLO=cte: r2θ=cte=C appel´e int´egrale premi`ere du mouvement, Cconstante des aires.2.1.3 Loi des aires
L"aire balay´ee pendantdt
dA=12×r×rdθ=1
2r2dθ
La vitesse a´erolaire :
dA dt=12r2θ=1
2C=cte
Les aires balay´ees pendant des dur´ees ´egales sont ´egales ce qui explique l"ac- c´el´eration de M lorsqu"il se rapproche du centre de force et son ralentissementlorsqu"il s"en ´eloigne.2.2 Conservation de l"´energie (m´ecanique)2.2.1 Int´egrale premi`ere du mouvementF=F(r)erd´erivant d"une ´energie potentielleEp(r), l"´energie m´ecanique se
conserve : E m=12m(r2+r2θ2) +Ep(r) =cte
appel´e int´egrale premi`ere du mouvement. Damien DECOUT - Derni`ere modification : f´evrier 2007MPSI - M´ecanique II - Mouvement dans un champ de forces centrales conservativespage 3/52.2.2´Energie potentielle effective
E m=12mr2+1
2mr2θ2+Ep(r)
12mr2θ2=m
2r2(r2θ)2=m
2r2C2 E m=12mr2+mC2
2r2+Ep(r)
L"´energie m´ecanique ne d´epend plus que de retr: le terme12mr2est appel´e ´energie cin´etique radiale
le terme mC22r2+Ep(r) =Ep,effest appel´e ´energie potentielle effective Em=12mr2+Epeff(r) =cte
2.2.3´Etats de diffusion, ´etats li´es
Le terme cin´etique
12mr2´etant positif,Em=cteest la plus grande valeur que
puisse prendreEpeff(r); les valeurs derpour lesquellesEp,eff> Emsont donc inaccessibles.Sir > rmin, on parle d"´etat de diffusion
3 Mouvement dans un champ de forces centrales new-
tonien Le mouvement v´erifie les propri´et´es g´en´erales du mouvement dans un champ de forces centrales conservatives (plan´eit´e du mouvement, loi des aires, ´energie potentielle effective) avecF(r) =k r2etEp=k r3.1´Equation g´en´erale de la trajectoire
On peut alors montrer (voir TD) que la trajectoire du point M,rep´er´e par ses coordonn´ees polaires a pour ´equation (en choisissant Ox axe de sym´etrie de la trajectoire) r(θ) =p1 +ecosθ
On reconnaˆıt l"´equation d"une conique : sie >1, M d´ecrit une hyperbole sie= 1, M d´ecrit une parabole si 0< e <1, M d´ecrit une ellipse sie= 0, M d´ecrit un cercle3.2 Interaction r´epulsive
k >0 rE peff r minE m Damien DECOUT - Derni`ere modification : f´evrier 2007MPSI - M´ecanique II - Mouvement dans un champ de forces centrales conservativespage 4/5r > rmin, ´etat de diffusion, M ne peut pas s"approcher du centre de force `a une
distance inf´erieure `armin, cette position extrˆeme s"appelle lep´ericentre. La trajectoire correspondante correspond `a une branche d"hyperbole.3.3 Interaction attractive
k <0 3.3.1´Etat de diffusion
E m>0 rE peff r minE m r > r min, on observe encore un ´etat de diffusion. La trajectoire est encore une branche d"hyperbole. Le cas particulierEm= 0 correspond `a une trajectoire parabolique. 3.3.2´Etat li´e
E peffmin< Em<0 rE peff r min E mr max r p´ericentre, celle correspondant `armaxapocentre.La trajectoire est elliptique.
Le cas particulierrmin=rmax=Rcorrespond `a une trajectoire circulaire. Damien DECOUT - Derni`ere modification : f´evrier 2007MPSI - M´ecanique II - Mouvement dans un champ de forces centrales conservativespage 5/53.4 Mouvements des plan`etes - Lois de K´epler3.4.1 Lois de K´eplerCes lois historiques concernent les mouvements des plan`etes autour du Soleil,
elles se g´en´eralisent `a tous les mouvements `a force gravitationnelle centrale. 1 reloi : les plan`etes autour du Soleil d´ecrivent des ellipsesdont l"un des foyers est occup´e par le Soleil. 2 eloi : le mouvement d"une plan`ete ob´eit `a la loi des aires; pendant des dur´ees ´egales Δt, le rayon vecteurOMbalaye des aires ´egalesS=C2Δto`uC
est la constante des aires li´ee `a la plan`ete consid´er´ee. 3 eloi :T2 a3=4π2 Gm? o`uTest la p´eriode de r´evolution elliptique de la plan`ete autour du Soleil,ale demi grand-axe de la trajectoire elliptique etm?=mSla masse du Soleil; la masse de la plan`ete n"intervient pas.3.4.2 Vitesses cosmiques
Lavitesse circulaireest la vitesse `a communiquer initialement `a un corps pour qu"il d´ecrive une orbite circulaire de rayonaautour d"un gros astre de massem?: E m=-|k|2a 12mv2c-|k|
a=-|k|2a?vc=?
Gm?a Lavitesse de lib´erationest la vitesse `a communiquer initialement `a un corps pour qu"il ´echappe `a l"attraction d"un gros astre de massem?: 12mv2l-|k|
r0= 0?vl=?2Gm?r0
Damien DECOUT - Derni`ere modification : f´evrier 2007quotesdbs_dbs10.pdfusesText_16[PDF] mouvement ? accélération centrale exercice
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