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M05Mouvements dans un champ de force centrale

conservatif PCSI

22013 - 2014

Introduction :Le bloc 5 est motivé par ses nombreuses applications. On se limite à discuter la

nature de la trajectoire sur un graphe donnant l"énergie potentielle effective et on ne poursuit l"étude

dans le cas d"un champ newtonien (lois de Kepler) que dans le cas d"une trajectoire circulaire. Le ca-

ractère elliptique des trajectoires associées à un état liéest affirmé sans qu"aucune étude géométrique

des ellipses ne soit prévue; on utilise dans ce cas les constantes du mouvement (moment cinétique

et énergie mécanique) pour exprimer l"énergie de la trajectoire elliptique en fonction du demi-grand

axe. Enfin l"approche de l"expérience de Rutherford est exclusivement documentaire : tout calcul de

la déviation est exclu, il s"agit en revanche d"utiliser le graphe de l"énergie potentielle effective pour

relier la distance minimale d"approche à l"énergie mise en jeu.

Notions et contenu :

• Point matériel soumis à un seul champ de force centrale. • Énergie potentielle effective. État lié et état de diffusion. • Champ newtonien. Lois de Kepler. • Cas particulier du mouvement circulaire : satellite, planète. • Satellite géostationnaire.

• Énergie mécanique dans le cas du mouvement circulaire puisdans le cas du mouvement ellip-

tique. • Vitesses cosmiques : vitesse en orbite basse et vitesse de libération. I Force centrales conservatives, généralités

Soit un système ramené à un point matérielMsoumis à une force?F. On étudie son mouvement

dans un référentielRggaliléen.

1. Définition et exemples

a. Définitions • La force appliquée àMest centrale si il existe un pointOfixe deRgtel que?Fest toujours colinéaire à--→OMlors du mouvement deM. • La force ?Fest conservative si elle dérive d"une énergie potentielle notéeEp(r), fonction de r=OM. 1

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y z x? O ?F=F(r)?e r M ?eθ ?er ?e? r

Figure1 - Force centrale

On peut alors l"écrire sous la forme :

F=F(r).?eravec?er=--→OM

retF(r) =-dEp(r)dr ?e

rest le vecteur radial du système de coordonnées sphériques etF(r)la composante radiale de?F

Remarque :la force est

• attractive siFr<0??dEp dr>0, c"est à direEp(r)croissante. • répulsive siFr>0??dEp dr<0, c"est à direEp(r)décroissante. b. Oscillateur harmonique plan Un point matériel soumis uniquement à la force de rappel d"unressort?F=-k(r-l0).?erest soumis

à une force centrale qui dérive deEp,ela=1

2k(r-l0)2.

O

Mr < l

0 ?er ?F

Mr > l0?er

?F l00E p(r) r+l

0Figure2 - Oscillateur harmonique plan

Remarques :

• Cette force est tantôt attractive (r > l0), tantôt répulsive (r < l0). •r=OMest forcément positive.

2. Lois générales de conservation

Le mouvement deMsoumis à?Fcentrale et conservative est à priori à 3 degrés de liberté(x,y,z)ou

(r,θ,?). On va montrer qu"on peut se ramener à deux degrés de liberté puis effectuer des discutions

graphiques comme pour un mouvement à un seul degré de liberté. PCSI

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a. Conservation du moment cinétique et conséquences Démonstration :Oest fixe dansRggaliléen, on peut donc appliquer le théorème du moment cinétique àM R g C ?O M ?F?v ?LO ?r0 ?v 0 Figure3 - Moment cinétique d"un point soumis à une force centrale d?LO dt? R g=?MO(?F) =--→OM??F=?0??LOreste constant lors du mouvement

En posant

?C=?r0??v0, la constante des aires où?r0et?v0sont respectivement la position et la vitesse initiale deM, on peut écrire la conservation de?LOsous la forme

LO=m.?Cconstant au cours du mouvement

Planéité :comme?LO=m.?Cgarde une direction fixe, celle de?r0??v0, le plan (--→OM,?v) reste

orthogonal à cette direction fixe et le mouvement est plan.

Respect de la loi des aires :le mouvement étant plan, on peut utiliser le système de coordonnées

polaires ?v= r?er+rθ?eθet?r=r?er??r??v=r2θ?ez C=?L0 R g C ?O Mr ?F ?v ?LO ?v.dt dA C? O M r ?F ?v ??LO ?v.dt dA

Figure4 - AiredAbalayée pendantdt

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SoitdAla surface balayée par le rayon vecteur--→OMpendant le tempsdt.

C"est la moitié de l"aire du parallélogramme construit à partir des vecteurs--→OMetd--→OM=?vdt

dA=1

2||--→OM??vdt|| ?Vitesse aréolairedAdt=|?LO|2m=C2=r2θ2constante

Loi des aires : l"aire balayée par le rayon vecteur est proportionnelle au temps mis pour la balayer :

A=C2test l"aire balayée depuist= 0.

A1 A2 Figure5 - Loi des aires : les airesA1etA2sont identiques si balayées pendant la même durée

Conclusion :on retiendra que la conservation du moment cinétique?L0=mr2θ.?ezimplique la planéité

du mouvement et la loi des aires, r

2θ= 2dA

dt=C Remarque :dans le cas particulier oùsin(?r0,?v0) = 0, le mouvement est rectiligne et non plan. b. Conservation de l"énergie mécanique, énergie potentielle effective F, la seule force appliquée àMdansRggaliléen est une force conservative, par application du

théorème de l"énergie mécanique,ΔEm=Wnc= 0?Emest égale à une constanteE0qui ne dépend

que des CI. : E m=Ec+Ep(r) =E0=Cte(CI) En exprimantEcen coordonnées polaires dans le plan du mouvement, E c=1

2mv2=12m(r2+ (rθ)2)?Em=12mr2+12mr2θ2+Ep(r) =E0

Or,r2θ=C??θ=C

r2et on peut se ramener ainsi à l"étude d"un système à une seule variable :r. E m=1

2mr2+mC22r2+Ep(r) =E0intégrale première du mouvement.

Définition :on définit alors l"énergie potentielle effective,Epeff(r)telle que E m=1

2mr2+Epeff(r)en posantEpeff(r) =mC22r2+Ep(r)

La connaissance deEpeff(r)permet de préciser graphiquement le domaine du mouvement radial et si Mest dans un état lié au un état de diffusion deMpuisque E peff(r) =Em-1 PCSI

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Exemple :Potentiel de Yukawa. Dans la théorie de Yukawa sur les forcesnucléaires, l"interaction est

caractérisée par une force attractive centrale qui dérive de l"énergie potentielleEp(r) =-K

re-raoù

Kest une constante positive. On en déduit

E peff= mC2

2r2-Kre-r

a 0E peff r E m1

état de diffusion, noyau instable

E m2

état lié

E m3 Figure6 - Energie potentielle effective d"un proton dans la théoriede Yukawa

En fonction de l"énergie mécanique, on rencontre différentes situations, certaines zones sont non

permises. La particule est forcément dans une zone non grisée. ?O? ME m=Em1

Etat de diffusion?O?

ME m=Em2

Etat lié?O?

ME m=Em3 ?r=CteEtat lié, mvt circulaire

Figure7 - Différents états possibles

II Cas des champs newtoniens

1. Loi de force

a. Définition

Les interactions newtoniennes (de gravitation ou électrostatique) sont caractérisées par une force?F

centrale de centre de forceOde la forme :

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?F=-k--→OM ||--→OM||3=-kr2?er Remarque :certains ouvrages définissent plutôt?F= +k r2.?er, il faut donc adapter les notations. b. Exemple de l"interaction gravitationnelle : force de gravitation Si on place enOune massemOfixe (point source), elle crée autour d"elle un champ de gravitation ?GO(r,θ,?). En un pointM(point champ) distant der=OM, le champ créé parOsera

GO(M) =-GmO.--→OM

||--→OM||3=-GmOr2.?er Ce champ est permanent mais pas uniforme : il dépend de la position deM. Un point matériel de massemMplacé enMsubira alors la force

FO/M=mM?GO(M) =-GmOmM

r2.?er=-kr2.?eraveck=GmOmM>0

Remarques :

•G= 6,67.10-11SI est la constante de gravitation. •k >0ce qui impose?Ftoujours attractive.

• Un corps sphérique de rayonRet de centre de masseOcrée enr≥Rle même champ que si

toute sa masse était concentrée enO.

Exemple :cas du système Terre - Lune.

TM T LM L dTL ?FT/L ?MT T ?ML L dTL ?FT/L Figure8 - Interaction Terre - Lune, pas à l"échelle

FT/L=mL?GT(L) =-GmTmL

d2TL.?e r c. Exemple de l"interaction électrostatique : force coulombienne L"interaction électrostatique entre deux particules de chargesqOplacée enO(point source) etqM placée enM(point champ) est

FO/M=qOqM

Par analogie avec le champ de gravitation

?G, on définit le champ électrostatique (non uniforme) créé parOenM. ?EO(M) =qO

4πε0r2.?er

L"interaction est

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• attractive sik >0??qOqM<0 • répulsive sik <0??qOqM>0

2. Énergie potentielle

Pour vérifier si

?Fest conservative, on calcule son travail élémentaire et on vérifie si c"est une forme intégrable. Si c"est le cas,δW(?F) =-dEp. Comme ?Fest centrale, le mouvement du mobile est forcément plan est on utilise l"expression ded?r dans la base polaire(?er,?eθ).

δW(?F) =?F.d?r=-k

r2?er.(dr?er+rdθ?eθ) =-kr2dr=-dEpavecEp=-kr On prendEp(r→ ∞) = 0puisque il n"y a plus d"interaction siMtrop loin deO.

?F, la résultante des forces est conservative etEmest une constante qui ne dépend que des conditions

initiales.

3. Énergie potentielle effective, discussion graphique de l"évolution radiale

Par conservation de l"énergie mécanique et du moment cinétiqueLOd"une particuleMde masse

mpar rapport àO, on peut se ramener à l"étude d"un système à un degré de liberté en définissant

l"énergie potentielle effective telle que. E m(M/Rg) =Cte=Em=Ec+Ep(r) =1

2m(r2+r2θ2) +Ep(r) =Epeff(r) +12mr2avec

E peff=1

2mr2θ2+Ep(r) =mC22r2+Ep(r)??Epeff(r) =

mC2

2r2-kr

a. Interaction attractive :k >0 0E peff r

Em>0état de diffusion :hyperbole

Em<0état lié :ellipse

rminrmax

Em= 0état de diffusion :parabole

mC2 2r2 -kr r0

Emminimalecercle

Figure9 - Energie potentielle effective, cas attractif On voit sur ce graphe que la nature du mouvement dépend deEm: PCSI

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• Le grapheEpeff(r)passe par un minimum pourr=r0, la trajectoire est circulaire. • SiEm>0,Mest dans un état de diffusion :Mpeut se rapprocher deOà la distance minimale d"approche puis s"éloigner à l"infini. On peut montrer que latrajectoire est une hyperbole. trajectoire est une ellipse.

• SiEm= 0, on est à la limite entre état lié et état de diffusion. La trajectoire est une parabole.

trajectoires b. Interaction répulsive :k <0 0E peff r rmin?Em>0état de diffusion : hyperbole mC2 2r2 -kr Figure10 - Energie potentielle effective, cas répulsiff E mest la somme de deux valeurs positive, on a donc toujoursEm>0etMsera dans un état de diffusion. La trajectoire est toujours hyperbolique. c. Trajectoires possibles : admis La discussion sur le grapheEpeff(r)permet de déterminer les variations dermais pas la trajectoirequotesdbs_dbs5.pdfusesText_10

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