Chapitre 7 :M ouvements à force centrale
La force gravitationnelle est une force centrale (exemple : soleil œ planète L'interaction newtonienne est un exemple de force centrale.
Chapitre 5 : Application - Forces Centrales
Une force est dite Newtonienne si c'est une force centrale qui varie selon la loi 1/r2 : F = ? r2 e k étant une constante. La force est attractive si k est
Mécanique Interaction newtonienne
4 Dans ce référentiel les forces qui s'exercent sont la force centrale et les forces d'inertie d'entraînement et de Coriolis. 4 Ep(r) = ?2. 2 mr2 est donc l'
Chapitre 17 Forces centrales
On dit qu'un système se déplace dans un champ newtonien quand il n'est soumis qu'à une force centrale newtonienne. 3.1 Mouvement circulaire. L'énergie
Mouvement dans un champ de forces centrales conservatives
Force centrale si : F = F(r)er conservative si : ?W = ?dEp. Pour les forces de gravitation et électrostatiques que l'on appelle interactions newtoniennes. F(r)
Chapitre 8 :M ouvement dans un champ newtonien
Chapitre 8 : Mouvement dans un champ newtonien. Mécanique. Page 6 sur 15. II M ouvement dans un champ de force centrale newtonienne. A) Hypothèses.
M7 – FORCES CENTRALES CONSERVATIVES – CAS DE L
La seconde partie de ce cours (§V) concerne l'interaction newtonienne avec l'étude spécifique du mouvement d'un point matériel dans le champ gravitationnel créé
Mouvements dans un champ de force central et conservatif
Cet exercice propose de calculer l'ordre de grandeur de la taille et de la densité d'un trou noir dans un modèle heuristique de physique newtonienne.
Mouvement dans un champ de force centrale conservative Cas
Exemples de forces centrales conservatives . Propriétés générales d'un mouvement à force centrale ... Cas particulier du champ de force newtonien.
M05 Mouvements dans un champ de force centrale conservatif
Énergie potentielle effective. État lié et état de diffusion. • Champ newtonien. Lois de Kepler. • Cas particulier du mouvement circulaire : satellite planète.
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La force gravitationnelle est une force centrale (exemple : soleil œ planète L'interaction newtonienne est un exemple de force centrale
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Une force est dite Newtonienne si c'est une force centrale qui varie selon la loi 1/r2 : F = ? r2 e k étant une constante La force est attractive si k est
[PDF] Cours de mécanique 2 - M22-Forces centrales - Physagreg
Dans ce chapitre nous verrons les forces centrales conservatives dont la force de Newton et celle de Coulomb font parties et leurs caractéristiques ; puis
[PDF] Chapitre 17 Forces centrales - Cahier de Prépa
La force d'attraction gravitationnelle et la force électrostatique sont des forces newtoniennes De plus une telle force est associée à une énergie potentielle
[PDF] Chapitre 5 : Forces centrales-Mouvement newtonien
On appelle force centrale une force F dont la direction passe toujours par un point fixe O Exemples : • La tension du fil dans le pendule simple ; • Force
[PDF] Mouvement dans un champ de force centrale conservative Cas
II Propriétés générales d'un mouvement à force centrale 1 Conservation du moment cinétique On considère un point matériel M de masse m en mouvement dans
[PDF] Mouvements force centrale
Stabilité d'une orbite circulaire dans un champ de force centrale Soit O un point fixe et k et n deux constantes positives Un mobile P de masse m n'est soumis
[PDF] Mécanique Interaction newtonienne
Lorsqu'un point est soumis à une force centrale son mouvement est dans un plan qui contient le centre de force I·2·iii – constante des aires 4 Nous avons
[PDF] Mouvements dans un champ de force central et conservatif
Cet exercice propose de calculer l'ordre de grandeur de la taille et de la densité d'un trou noir dans un modèle heuristique de physique newtonienne
[PDF] Mouvement dans un champ de forces centrales conservatives
Force centrale si : F = F(r)er conservative si : ?W = ?dEp Pour les forces de gravitation et électrostatiques que l'on appelle interactions newtoniennes F(r)
C'est quoi une force newtonienne ?
La force d'attraction gravitationnelle et la force électrostatique sont des forces newtoniennes. De plus une telle force est associée à une énergie potentielle de la forme Ep = ? r .Comment montrer qu'une force est centrale ?
Une force centrale est une force qui s'écrit ?F=F(r)?ur en coordonnées sphériques.
1que sa valeur ne dépend pas du temps ;2que a valeur de dépend que de r, la distance de M (point qui subit la force) à O (point appelé centre de force) ;3que sa droite d'action a la même direction que le vecteur ?OM.Est-ce qu'une force centrale est conservative ?
L'expression d'une force centrale est ?F=F(r)?ur, sa valeur, indépendante du temps, ne dépend que de r, distance entre le point qui subit la force et le centre de force. Une force centrale est conservative.- Cette constante des aires permet de dire que l'aire aréolaire A' (dérivée de l'aire par rapport au temps) est constante, en effet A' = C/2 (de façon simplifiée). Astuce : Pour se souvenir de ces différentes relations liées à la constante des aires, il faut se dire la phrase suivante : « Courrrs vite loin de moi »
Mécaniqu
uPointmatéri lChapitre5:Application-ForcesCentralesSMPC1Prof.M. EL BAZ Automne2014Page 1 / 10Chapitre5:Application-ForcesCentralesI-ForceCentraleI.1)-DéfinitionUnpointmatérielestsoumisàuneforcecentrale,sicetteforceesttoujoursdirigéeversunpointfixeOduréférentielconsidéré.EnchoisissantOcommecentreduréférentiel,laforces'écritdonc:!=!!!.!!étantlevecteurunitaireradialdescoordonnéespolaire(noté!!
ansl chapitr 1).Danscecasaussi,laforcecentrale!estparallèleauvecteurposition!".Exemples:♠ Interactiongravitationnelle:!=-!!!!!!!!!♠ Interactionélectrostatique(ForcedeCoulomb):!=!!!!!!!!!!!!!♠ Forcederappeld'unressort:!=-!"!I.2)-ConservationduMomentCinétiqueLemomentc inétiqued'une forcecentraleparrapporta upointverslequel elleestdirigéeestconservé:!!!(!/!)!"=0Preuve:!!!(!/!)!"=!!"∧!!(!/!)!"=!!"!"∧!!(!/!)+!"∧!!!(!/!)!"!!!(!/!)!"=!(!/!)∧!!(!/!)+!"∧!!(!/!)=!"∧!!(!/!)EnutilisantleP.F.D.deladynamique:!!(!/!)=!,etsachantque!,estuneforcecentrale(! // !" )onendéduitque!!!(!/!)!"=0.I.3)-MouvementPlanUneconséque nceimmédiatedelaconservationdu momentcinétiqueestque lemouvementd'unpointmatérielsoumisàuneforcecentraleestplan.Eneffet,lemomentcinétiqueétantperpendiculaireauvecteurpositionetauvecteurvitesse,cesdeuxvecteursappartiennentdoncàunplanfixe(puisqueperpendiculaireà!!!/!=!!")quiestleplandumouvement.Decefait,engénéral,lescoordonnéespolairessontplusadéquatespourladescriptiond'unmouvementàforcecentrale.
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uPointmatéri lChapitre5:Application-ForcesCentralesSMPC1Prof.M. EL BAZ Automne2014Page 2 / 101.4)-LoidesairesConstantedesaires:Unedeuxièmeconséquencedelaconservationdumomentcinétiquedanslecasdesforcescentralesestquelaquantité!!!estconstante:!!!=!Cestappeléelaconstantedesaires.Eneff et,enutilisantlesexpres sions encoordonnéespolair esduvecteur position,!"=!!!,etduvecteurvit esse,!!/!=!!!+!!!!,onobt ientl'expressiondumomentcinétique:!!!/!=!"∧!!!/!=!!!∧!!!!+!!!!=!!!!!Lemomentcinétiqueétantconservéonendéduitque!!!estuneconstante.Loidesaires(2èmeloideKepler):Laloidesairesstipulequelavitessearéolaireestconstantepourunmouvementàforcecentrale.Celapeutêtre aussiexprimés ouslaformes uivante:"L v ct urpositionbalai
ssurfac ségal s n sint rvall st mpségaux».Preuve:Lavitessearéol aireestdéfini ecommeétant letauxdevariation,dansletemps,delasurfacebalayéparlevecteurposition:!=!"!"!"étantl'élémentdesurfacebalayéparlevecteurpositionenunin tervalle detemps!"(àn pa sconf on
r av cl'absciss curvilign !").Enutilisantleschémaàcotéonpeutécrirel'élémentdesurfaceenfonctiondel'élémentd'angle:!"=!!"#2=12!!!"Lavitessearéolaires'écritalors:!=!"!"=12!!!"!"=12!!!=12!Cétantlaconstantedesaires,celadémontrequelavitessearéolaireestunequantitéconstantedanslecasd'unmouvementàforcecentrale.I.5)-FormulesdeBinet1.5.1)-PremièreformuledeBinet(Energiecinétique):L'énergiecinétiqued'un pointmatérielsoumisà uneforcecentral eestdonnéepa rl'expressionsuivante:!!=12!!!=12!!!!′!+!!oùonautilisélesnotationssuivantes:!=1! et !!=!"!".
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uPointmatéri lChapitre5:Application-ForcesCentralesSMPC1Prof.M. EL BAZ Automne2014Page 3 / 10Preuve:Encoordonnéespolaireslevecteurvitesses'écrit:!=! !!+!!!!etsonmoduledéfinipar:!=!!+!!!!Enutilisant!=!!ona!"!"=-!!!etonécrit!=!"!"=!"!"!"!"=!"!"!"!"!"!"=-!!!!′!Ouencore!=-!"′oùonautiliséladéfinitiondelaconstantedesaires:!=!!!=!!!!.Cequidonnedonc!!=!!!′!L'autretermedanslemoduledelavitesses'écrit:!!!!=!!!!=!!!!Lecarrédumoduledelavitesses'écritdonc!!=!!+!!!!=!!!′!+!!!!!!=!!!′!+!!CequidonnelapremièreformuledeBinet.1.5.2)-DeuxièmeformuledeBinet(Laforce):Laforcecentraleexercéesurunpointmatérielpeutêtreécritesouslaforme:!=!!(!/!)=-!!!!!!"+!!!avec!"=!!!!!!.Preuve:Encoordonnéespolaireslevecteuraccélérations'écrit:!!/!=!-!!!!!+!!+2!!!!=!-!!!!!Lacompos antesuivant!!estnulle,puisque !!+2!!=!!!"!"=0,où!=!!!estlaconstantedesaires.Onpeutécrirelacomposanteradialedel'accélérationenfonctiondeC,uetu'':Onavaitdéjàétablique!=-!"′cequidonnepour! :!=!!!"=-!!!!!"=-!!!!!"!"!"=-!"′′!=-!!!′′!!.Dansladernièreégalitéonautilisé!=!!!.Onaaussi!!!=!!!!=!!!!Levecteuraccélérations'écritalors:!!/!=!-!!!!!=-!!!!!!!-!!!!!!!!/!=-!!!!!!!+!!!Quipermetd'établirladeuxièmeformuledeBinetenutilisantleP.F.D.
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uPointmatéri lChapitre5:Application-ForcesCentralesSMPC1Prof.M. EL BAZ Automne2014Page 4 / 10II-ChampNewtonienII.1)-DéfinitionUneforceestditeNewtoniennesic'estuneforcecentralequivarieselonlaloi1/r2:!=-!!!!!kétantuneconstante.Laforceestattractivesikestpositive;elleestrépulsivesikestnégative.Exemples:♠ Interactiongravitationnelle:!=!!!!!♠ Interactionélectrostatique(ForcedeCoulomb):!=-!!!!!!!!!II.2)-EquationdelaTrajectoireL'équationdifférentielledumouvementd'unpointmatérielsoumisàuneforcecentrales'écrit:!!!!!!+!=!!!!Cetteéquationp eutêtreétablieenut ilisantlesformulesde Binetavecleprinci pefondamentaledeladynamiqueouencoreenut ilisant laco nservationdel'énergiemécanique.Preuve1(enutilisantlePFD):UneforceNewtoniennes'écritsouslaforme:!=-!!!!!=-!!!!!où!=1/!.D'unautrecôté,enutilisantladeuxièmeformuledeBinetonécritlaforcesousforme:!=-!!!!!!"+!!!Enégalisantlesdeuxexpressionsonobtient-!!!!!=-!!!!!!"+!!!!=!!!!"+!ouencore!"+!=!!!!Preuve2(enutilisantlaconservationdeEm):UneforceNew tonienneét antuneforceconservative,ell edérived'u neénergiepotentiellequis'écritsouslaforme(utiliser!=-grad!!):!!=-!!+!"#.Enconsidérantquel'énergiepotentielles'annuleàl'infinionobtient:!!=-!!=-!"D'autrepartl'énergiecinétiques'écritenutilisantlapremièreformuledeBinet:!!=12!!!!′!+!!L'énergiemécaniques'écritalors:!!=!!+!!=-!"+12!!!!′!+!!
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uPointmatéri lChapitre5:Application-ForcesCentralesSMPC1Prof.M. EL BAZ Automne2014Page 5 / 10!étantconservative,l'énergiemécaniquedoitêtreconservée:!"!!"=0-!!"!"+12!!!!!!!!"+!!!!"=0ouencore-!!"!"!"!"+12!!!2!′!"′!"+2!!"!"=0-!!"!"!"!"+12!!!2!′!"′!"!"!"+2!!"!"!"!"=0ensimplifiantpar!"!"!"!"=!′!"!"quinepeutêtrenul:-!+!!!!"′!"+!=0quipermetd'écrire(sachantque!"!!"=!′′):!"+!=!!!!Lasolut iondel'équationdifféren tielle(d esecondordreavecsecondmembre )dumouvements'écritsouslaforme:!!=!!cos!-!!+!!!!Enutilisantlesnotationssuivantes:!!=!!!! ,!=!!!avec! dénotantlesignedekc.à.
.!=1 si !>0!=-1 si !<0 ,onobt ientl'expressiondel'équationdelatrajectoireentermesdescoordonnéespolaires(!,!) :!!=!!+!cos!-!!C'estl'équationd'uneconiquedeparamètrepetd'excentricité ,oùOestl'undesfoyers.Danstoutela suite,onvapren dre!!=0et!=1(forceattractive),donn antcommeéquationdelatrajectoire:!!=!1+!cos!II.3)-Classificationd'uneTrajectoireselonsonexcentricitéSuivantlavaleurdel'excentricité ,onpeutobtenirplusieurstypesdetrajectoires.II.3.1)TrajectoirecirculairePour!=0,laconiqueestuncercle,puisquedanscecas!=!estconstant.
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uPointmatéri lChapitre5:Application-ForcesCentralesSMPC1Prof.M. EL BAZ Automne2014Page 6 / 10II.3.2)TrajectoireelliptiquePour01,latr ajectoireest unehyperbole.Cependant,puisquelesdeux branchesdel'hyperbolesontdéconnectées,lepoint matérielsedéplaceuniquementsurl'unedesbranchesdel'hyperbole.L'unecorrespondàlatrajectoired'unpointmatér ielsousl'action d'uneforceattractiveetl'autre sousl'act iond'uneforcerépulsive.Lepérigéeestobtenupour!=0,etestsituéàunedistancerpdeO:!!=!!.Ilestànoteraussiquepour <1latrajectoireestfermée(c ercleouellipse) onparl ealors
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uPointmatéri lChapitre5:Application-ForcesCentralesSMPC1Prof.M. EL BAZ Automne2014Page 8 / 10Ainsionobtientunétatlié(trajectoirefermée)pour!!<0,tandisqu'onaunétatlibre(trajectoireouverte)pour!!≥0.III-LoisdeKeplerLestroislo isdeKeplersont desloisempir iques,el lesontétéétablies àpartirdes observationsastronomiquesdumouvementdesplanètes:PremièreloideKeplerLatrajectoiredescentresdesplanètesdécrituneellipsedontl'undesfoyersestlesoleil.DeuxièmeloideKeplerLesrayonsvecteursbalaientdesaireségalespourdesintervallesdetempségaux;c'estlaloidesaires.III.3)TroisièmeloideKeplerLerapportentrelecarrédelapériodeTdelarévolutiond'uneplanèteautourdusoleiletlecubedudemi-grandaxeadelatrajectoireestindépendantdelaplanète:!!!!=4!!!!=4!!!!!"#$%#=ConstanteoùGestlaconstantedegravitationuniverselle,et!!"#$%#représentelamassedusoleil.IV-MouvementdesSatellitesOnconsidèrelemouvementd'unsatellitedemassemautourdelaterre.DanslasuiteonvanoterMTlamassedelaterreetRTsonrayon.Danscecas,laconstanteks'écrit:!=!"!!.Lemouvemen tdusatellitepeutêtr edécrit parsonénergiemécaniquequi estconservée:!!=-!"!!!!+12!!!!ouencore!!=-!2!1-!!=-!"!!2!1-!!Enfixant lesconditionsinitiales ,(c.à.
.pourr0donnéonfix eune vitesseinitialecorrespondante)onfixelanaturedelatrajectoireselonlavaleurdel'énergiemécaniqueobtenue.IV.1)PremièreVitesseCosmique-VitesseCirculaireLatraject oirecirculairedusatellitecorresp ondà =0etp=r0.Enutilisantles deuxexpressionsdel'énergiemécanique,onétablitlavitesseinitialeV0=VC,appeléepr mièr vit ss cosmiqu ,permettantd'avoircettetrajectoire:!!=-!"!!!!+12!!!!=-!"!!2!!!!=!!!!!
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uPointmatéri lChapitre5:Application-ForcesCentralesSMPC1Prof.M. EL BAZ Automne2014Page 9 / 10Unsatellitelancéàunevitesseinitialeégaleàlapremièrevitessecosmique,àladistancer0ducentredelaterreauraunetrajectoirecirculairederayonr0.IV.2)DeuxièmeVitesseCosmique-VitessedeLibérationLavitess edelibération,aussi appelée deuxièmevitessecosmique,correspond àlavitesseinitialeminimale nécessairepourlibérerle satellitedel'attr actiongravitationnelledelaterrec.à.
.permettantausatellited'avoirunetrajectoireouverte.Lavitesseminimalepermettantd'avoirunetrajectoireouvertecorrespondàlavitessepourunetrajectoireparabolique:!=1⟹!!=0!!=-!"!!!!+12!!!!=0⟹!!=2!!!!!Parconséquentsilavitesseinitialed'unsatelliteestsupérieureouégaleàsavitessedelibérationsatrajectoires eraouve rte(paraboliqueouhyperbolique).L esatellites'éloigneradoncindéfinimentdelaterre.Application:Latrajec toireminimalequepeutavoirunsat ellitecorrespondà unetrajecto irecirculaireàaltitudenégligeabl eparrapportaurayondelat erre(r0≈RT).Ellecorrespondàunepremièrevitessecosmique:!!=!!!!!D'unautrecoté,lavitessedelibérationestégaleà!!=2!!!!!=2!!Parconséquent pouréviterdeperdre unsatel liteilfaut le lancer avecunevit esseinitialeV0telleque:!! Cours
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uPointmatéri lChapitre5:Application-ForcesCentralesSMPC1Prof.M. EL BAZ Automne2014Page 10 / 10Pourquelesatelliteaitunevitesseconstante,ilfautquesatrajectoiresoitcirculaire(sinon,onavuquelavitessedépenddeladistanceparrapportàlaterreonauradoncunevitessevariable),onutilisealorslapremièrevitessecosmique:!=!!=!!!!Orlavitesseangulaireestdonnéepar!=!!,etlapériodederotationpar!=2!!=2!!!=2!!!!!!Lerayondelatrajectoired'unsatellitegéostationnairedoitdoncêtre!=!!!!!4!!!!Applicationnumérique:!=6,67×10!!!!.!!/!"! ; !!=6×10!"!" ; !!=6400!"!=42 300 !"=6,6 !!Celacorrespondàunealtitude:ℎ=!-!!≈36 000 !"Remarque:Nepasconfondreunsatellitegéostationnaireàunsatellitegéosynchrone.Cedernieràlamêmepériodederotationquecelledelaterremaisiln'estpasfixeparrapportàcellela.Pourunobservateurliéàlaterrecesatelliterevientaumêmepointdel'espaceaprèsunepériodede24h.
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