Chapitre 7 :M ouvements à force centrale
La force gravitationnelle est une force centrale (exemple : soleil œ planète L'interaction newtonienne est un exemple de force centrale.
Chapitre 5 : Application - Forces Centrales
Une force est dite Newtonienne si c'est une force centrale qui varie selon la loi 1/r2 : F = ? r2 e k étant une constante. La force est attractive si k est
Mécanique Interaction newtonienne
4 Dans ce référentiel les forces qui s'exercent sont la force centrale et les forces d'inertie d'entraînement et de Coriolis. 4 Ep(r) = ?2. 2 mr2 est donc l'
Chapitre 17 Forces centrales
On dit qu'un système se déplace dans un champ newtonien quand il n'est soumis qu'à une force centrale newtonienne. 3.1 Mouvement circulaire. L'énergie
Mouvement dans un champ de forces centrales conservatives
Force centrale si : F = F(r)er conservative si : ?W = ?dEp. Pour les forces de gravitation et électrostatiques que l'on appelle interactions newtoniennes. F(r)
Chapitre 8 :M ouvement dans un champ newtonien
Chapitre 8 : Mouvement dans un champ newtonien. Mécanique. Page 6 sur 15. II M ouvement dans un champ de force centrale newtonienne. A) Hypothèses.
M7 – FORCES CENTRALES CONSERVATIVES – CAS DE L
La seconde partie de ce cours (§V) concerne l'interaction newtonienne avec l'étude spécifique du mouvement d'un point matériel dans le champ gravitationnel créé
Mouvements dans un champ de force central et conservatif
Cet exercice propose de calculer l'ordre de grandeur de la taille et de la densité d'un trou noir dans un modèle heuristique de physique newtonienne.
Mouvement dans un champ de force centrale conservative Cas
Exemples de forces centrales conservatives . Propriétés générales d'un mouvement à force centrale ... Cas particulier du champ de force newtonien.
M05 Mouvements dans un champ de force centrale conservatif
Énergie potentielle effective. État lié et état de diffusion. • Champ newtonien. Lois de Kepler. • Cas particulier du mouvement circulaire : satellite planète.
[PDF] Chapitre 7 :M ouvements à force centrale - Melusine
La force gravitationnelle est une force centrale (exemple : soleil œ planète L'interaction newtonienne est un exemple de force centrale
[PDF] Chapitre 5 : Application - Forces Centrales
Une force est dite Newtonienne si c'est une force centrale qui varie selon la loi 1/r2 : F = ? r2 e k étant une constante La force est attractive si k est
[PDF] Cours de mécanique 2 - M22-Forces centrales - Physagreg
Dans ce chapitre nous verrons les forces centrales conservatives dont la force de Newton et celle de Coulomb font parties et leurs caractéristiques ; puis
[PDF] Chapitre 17 Forces centrales - Cahier de Prépa
La force d'attraction gravitationnelle et la force électrostatique sont des forces newtoniennes De plus une telle force est associée à une énergie potentielle
[PDF] Chapitre 5 : Forces centrales-Mouvement newtonien
On appelle force centrale une force F dont la direction passe toujours par un point fixe O Exemples : • La tension du fil dans le pendule simple ; • Force
[PDF] Mouvement dans un champ de force centrale conservative Cas
II Propriétés générales d'un mouvement à force centrale 1 Conservation du moment cinétique On considère un point matériel M de masse m en mouvement dans
[PDF] Mouvements force centrale
Stabilité d'une orbite circulaire dans un champ de force centrale Soit O un point fixe et k et n deux constantes positives Un mobile P de masse m n'est soumis
[PDF] Mécanique Interaction newtonienne
Lorsqu'un point est soumis à une force centrale son mouvement est dans un plan qui contient le centre de force I·2·iii – constante des aires 4 Nous avons
[PDF] Mouvements dans un champ de force central et conservatif
Cet exercice propose de calculer l'ordre de grandeur de la taille et de la densité d'un trou noir dans un modèle heuristique de physique newtonienne
[PDF] Mouvement dans un champ de forces centrales conservatives
Force centrale si : F = F(r)er conservative si : ?W = ?dEp Pour les forces de gravitation et électrostatiques que l'on appelle interactions newtoniennes F(r)
C'est quoi une force newtonienne ?
La force d'attraction gravitationnelle et la force électrostatique sont des forces newtoniennes. De plus une telle force est associée à une énergie potentielle de la forme Ep = ? r .Comment montrer qu'une force est centrale ?
Une force centrale est une force qui s'écrit ?F=F(r)?ur en coordonnées sphériques.
1que sa valeur ne dépend pas du temps ;2que a valeur de dépend que de r, la distance de M (point qui subit la force) à O (point appelé centre de force) ;3que sa droite d'action a la même direction que le vecteur ?OM.Est-ce qu'une force centrale est conservative ?
L'expression d'une force centrale est ?F=F(r)?ur, sa valeur, indépendante du temps, ne dépend que de r, distance entre le point qui subit la force et le centre de force. Une force centrale est conservative.- Cette constante des aires permet de dire que l'aire aréolaire A' (dérivée de l'aire par rapport au temps) est constante, en effet A' = C/2 (de façon simplifiée). Astuce : Pour se souvenir de ces différentes relations liées à la constante des aires, il faut se dire la phrase suivante : « Courrrs vite loin de moi »
Chapitre17
Forcescentrales
I'mashooti ngstar leapingthroughthesky
Likeatigerde fyin gthelawsofgrav ity
Don'tStopMeNow,Q ueen(1 979)Bibliographie
bCapPrépaPh ysiqueMPSI-PCSI-PTSI,P érez,2013!Chapitre13Denombreux systèmesen rotationexistentsdanslanaturecomme parexem plelessy stèmesauto-gravitants:lesgalaxi esson tun
ensembled'étoilesenrot ation,ouuneétoile peutêt revucommeunfluideen rotation. Danscessyst èmesl'e
ff etdel'at traction gravitationnelles'exerçantentrelesdi ff érentscorpsestéqu ivalenteàl'exi stenced'u neforcedirigéeverslecentredusystè me .Onrencontresouventdessituati onsanalogueslorsquel aforceexer céesurunmobileesttoujoursdiri géeversunpointfixeprécis,on dit
quelesys tèmees tsoumisàuneforcecentr ale.Leprob lèmeàforcecentraleaétéré sol uepourlaprem ièrefoisparNewtonen1687, les étudesqu isuivirentpermirentd efairede
nombreusesavancéesquantaucomp ortementdusystèmesolair e(mentionnonsle strav auxdeKepler).Mentionnonsencorequelqu es
autresexemplescom meunressortaccrochéenun pointassociéàun emass elibredesedéplacerdan sunplan,ouladi
ff usionRutherford .IForcesCentrales
1.1Définition
ForceFexercéesurun point matérielMconstammentdirigéeversuncertainpoi ntfixeOappelécentredeforce.
bForcecentral eDanslasuite nousco nsidéronsquele référentield' étudeesttoujoursgaliléenetlecentr edeforcefi xe.
Lemome ntd'uneforcecentra leesttoujoursnul
M O F,M/R OM^ F=r ur^F ur= 0. bMomentd'une forcecentraleExemples:
late nsiond'unfilattac héenunpoint Oestuneforc ecentrale dirigéedupo intmatérielMversO;laforc ed'attractiongr avitationnelleestuneforcecentraledi rigéedupointmatérielverslecentreattracteur;
lafor ceélectrostatiq ueestuneforcecentraledirigéedelachargeétudié verslacha rgeattra ctrice.
1.2Conséquences
Lemoment cinétique(calculéenO) d'unpointmatériel Mdemass emsoumisàuneforcecent ral edecentr eOl'origineduréférentiel
galiléenRestconst antlorsdumouvementdupoi ntmatérielca rlemom entdesforcesestnul. bConservationdumomentcinétique momentcinétiqued edirectionconstante uzimpliquequelemouvements efaitdansl eplan ( ux, uy).Unpo intmatérielMsoumisàuneforcecen tra ledecentr eOeffectueunmouvemen tdansle planfixepassantparOetperp endiculaire
aumom entcinétique O M/R bMouvementplanLemouvemen tétantastreintdansun planetsefaisantautourdu pointfixeO,il estjud icieuxdet ravaillerencoordonnéesp olaire s
dansle planz=0.Danscerepère,lemomentcinétiquecalculéenOs'écrit O M/R OM^ p M/R =r ur^m(˙r ur+r u )=mr 2 uz.Dansunmouvem entàfor cecentraledecentreO,lemouvementdeMestcaractérisé parunequantité conse rvé appeléelaconstante
desaires C=r 2 bConstantedesaires Remarque:Lesignede Cdépenddel'ori entation choisiepourlaplanetdusensderotati on(i.e.lesignede Remarque:Sile pointm atérielserapprochede Oalorsrdiminueetdonc ✓augmente. 159PCSI2019-2 020,LycéeLalande,Bourg-en-Bre sseAlexandreAl les SiC>0alorslemouveme ntsefai tdanslesensdirect.Considér onsund éplace- mentinfinit ésimaleentreM(t)etM 0 entreMetM 0 peutêtreas similéàauseg mentMM 0 enpremièreappro ximation.
Letriangle OMM
0 représentelasurfacebalayéeparl evect eur-position r= OM aucoursdu déplacem ent infinitésimal.SoitdAl'airedutrian gleOMM 0 alors, |dA|= 1 2 r^d r|= 1 2 r^(r ur+rd✓ u 1 2 |r 2 d✓|. Pouruninter valled etempsdonné,lasurfacebalayépar levect eur-position estconstan tetindépendantdelapo siti oninitialedupoin tmatériel. Cecipeut s'écrire dA dt 1 2 C. bLoides aires x y M M 0 d✓ ur u F O M/RFigure1-Illustrationdelaloidesaires
Remarque:Laquant ité
dA dtestap peléevitessearéolaire,elleestp ositivepourunmouv ementdans lesens direct etnégativesinon.
Confrontezàunproblèmecompor tan tdesfor cescentrales:bilandesfor cesetconservationdumomentciné tique(TM C),mouvement
plan,lemouv ementv érifielaloidesaires. bBilanTD22App 1
IIForcescentralesc onservatives
2.1Définition
Soituneforcecen traleq uelconque
F=F(r,✓)
F F.d l=F(r,✓)dr.La forcec entraleconsi déréeestconser vativesietseulementsisontravailglob alned épendp asducheminsuivi,unesolutio nsimpl eestdeco nsidéreruneforcequi
nedé pendquedelacoordonnéeradiale r.Touteforcecentra ledelaforme
F=F(r)
urestconservat ive.Elledérivedoncd'uneénergiepoten tielleEp(r)tellequel F(r)= dEp dr ouenco reEp(r)= ZF(r)dr.
bForcecentral econservative Remarque:Laplu partdesforcescentrales nedépend entquedelavaria bler.2.2Forcesnewtonien nes
Onappe lleforcenewtonienneun eforcepouvant s'écrirecomme Fnew= r 2 ur;oùestuncoe fficientpositifpou runeforceattractiveet négatifpour uneforceré pulsive.Lafo rced'attractiongravitationnel leetla
forceélectro statiquesontdesforcesnewtoniennes. Deplus unetelleforc eestassoc iéeàuneénergie potentielled elaformeEp= r bForcesnewtoniennes Remarque:Pourlesforce sgravitat ionnelleetélec trostatiquecelacorrespondàEp,gr=G m1m2 r etE p,el q1q2Uneforc eestattractivesiF(r)<0,cequicorrespondàunerégionoùl'énergiepotentielleestcroissante.
Uneforcees trépulsivesi F(r)>0,cequicorrespondàunerégionoùl'énergiepotentielleestdécroissante.
bCaractèreattractif/répul sif2.3Énergiepoten tielleeffective
Soitunpoin tmatéri elMdemas semsoumisàuneforcecent ral econserv ativeFdecentre O.Encoordonnéespolairesl'énergie
mécaniquedusystèmes'écrit Em= 1 2 m ˙r 2 +r 2 2 +Ep(r)= 1 2 m˙r 2 mC 2 2r 2 +Ep(r). 160PCSI2019-2 020,LycéeLalande,Bourg-en-Bre sseAlexandreAl les
Unsyst èmetridimensionnelso umisàuneforcecentraledérivantdel'énergiepote ntielleEp(r)estformell ementéquivalentàunsystème
unidimensionneld'énergiemécanique Em= 1 2 m˙r 2 +E p,eff (r); aveclepot entiel e ff ectifE p,eff (r)=Ep(t)+ mC 2 2r 2 bÉnergiepotentie lleeffectiveTD22E x2
2.4Classificationdesmouvements
Onconsidérera lemouvementd'une particule Mdemas semsoumiseàuneforce centralenewtonienneattractivede centreO.Danscecaslepotentieleffectifs'écrit E p,eff (r)= r mC 2 2r 2 avec>0. L'originedesp oten tielsestchoisiearbitrairement,onpeut doncprendre E p,eff r!+1 0.Lepot entieleffectifdivergeen0
E p,eff (r)! r!0 +1. L'étudedelafonctionéne rgiep otenti ellemontrel'existenc ed'unminimumen r0= mC 2 r Ep,c= mC 2 2r 2 Ep= r Em,2Em,1⇥
r1 r2 r0L'énergiemécaniqued'un telsyst èmeestconst ante,ainsilep ointmatérielne peuta ccéderqu'audomaineoùE
p,eff (r)Em.SiEm p,eff (r0)alorsaucunmouvem entn' estpossible,iln'ex isteaucunesolutionaux équationdumouvement. SiEm=E
p,eff (r0)alorsleseul mouvementcorres pondàr=r0,trajectoirecirculaire. Em=Em,1<0alorsrvariesurl'int ervalle[r1,r2],c'estunétatliésuivantunetrajectoireelliptique. Em=0alorsrestbornéi nférieurementun iquement,c'estunétatdedi ffusionsuivantunetrajectoireparabolique.
Em=Em,2>0alorsrestborné inférieurementun iquement,c'estunétatdedi ffusionsuivantunetrajectoirehyperbolique.
Demêm enouspouvons étudierunefo rcecentralenewtonienn erépulsiveenprenant$<0.C'estparexemplelecasdel'interaction
entredeuxchargesélectriques demêmesigne. Danscasiln'exi stequedesétat sde di usions.C'estpar exemplelemo dèlequ'a utilisé Rutherfordpoursonderlamatiè reetétudier larépartitionsdech arges électriquedanslamati ère(Ex périencedeRutherford, 1911).
C'estcequi lui permisde poserlesbasesd'unmo dèleplanétairepourl'at ome,modèle revuetcorrigéparNeils Bohrdeuxans plustard.
!*ErnestRutherford 1871-1937:physiciennéo-zéla ndaisetprixNobeldechimie190 8. !*NeilsBohr1885- 1962:physici endannoisetprixNobeldephysiq ue1 922. 161
PCSI2019-2 020,LycéeLalande,Bourg-en-Bre sseAlexandreAl les IIITrajectoiresdansunchampnewtonien
Onditq u'unsystè mesedéplacedan sunchampnewtonienqua ndiln' estsoumisqu'àuneforce centralenewt onien ne.
3.1Mouvementcirculaire
L'énergiepotentiellee
ff ectiveassociéàune forcenewtoniennes'écr it( cfprécéde mment)E p,eff (r)= r mC 2 2r 2 .La traject oirecirculaire correspondauminimum decette énergiepotentieller=r0= mC 2 lecent redeforceetlesystè meestc onstante. Em= 2r0 bÉnergiemécaniqued'uns ystèmesoumisàuneforcenewton iennesurune trajectoirecirculair e Dansce caslepoin tMparcourtunetrajectoirefer méederay onr0àlavitesseangulaireconstante ✓=C/r 2 0 Lemouv ementestpériodique.
LePFDappliqué àcesyst ème s'écrit
m d v M/R dt OM OM| 3 uravec>0=) 8 mr0 2 r 2 mr0 ✓=0. Lapremi èreéquationconduità
r 2 0 =mr0! 2 =mr0 2⇡
T 2 unerelati onentrelerayondelatrajec toireetlapério de. Lasecond eéquationconfirmequela vitesseangulaireestconstan te. Lapério deTetlera yonr0d'unsystème enmouvementcirculair eetsou misàuneforcecentralenewtoni ennesontreliées.Dansle
casdel 'attracti ongravitationnellecetterelation s'écrit T 2 r 3 0 4⇡
2 GM0 avecM0lama sseducent reattr acteuretGlaco nstantedelagravitationuniverselle. bRelationray on/périoded'unetrajectoirecirculaire 3.2Satellitesgéostationnaires
Unsate llitegéostationnaireestuns atelliteplacéenorbitedetellefaçonqu'ilsoitto ujoursàla vertic aledumêmepointterrestre.Ce ci
esttrès utilepourlest élécommunicationou latélédi ff usion.Considéronsla Terre sphériquedera yonRTetquele satellite soitsoumis uniquementàl'attractionterres tre dansleréférentielterrestresupposégal iléen. Toutetrajectoir eestinclusdansunplancomprenan tlecentr edelaTerreetlevect eur-vitesse initia ledusatellit e.
Latra jectoirenepeutqu'avoirlieudans leplan équatorialc arlaforcecentraleestdiri géeverslecen tredelaTerr e.
SoitNlepo intàlaverticaledu satellit e,lesa telliteMresteaudessus decep oint siNetMontmêmev itesseangulaire.
Larot ationdelaTerresefaitàvit esseco nstant edoncMsed éplaceàvitesseconstante. Unsate llitegéostationnaireaunetr ajectoirecirculairedansleplanéquatorial.Savi tes seangulai reestconstanteetégaleàcellede
laTer re. bTrajectoired'unsatellitegéosta tionnaire Larela tionpériode/rayondelatr ajectoirecirculaireconduitàunrayonr0⇠42,2.10 3 km. L'altituded'unsatellitegéost ationnaireest donch=r0RT⇠35,8.10 3 km. bAltituded'unsatellitegéos tationnaire TD22Pb1
162
PCSI2019-2 020,LycéeLalande,Bourg-en-Bre sseAlexandreAl les 3.3Vitessescosmiques
Vitesseminimaleàfourni ràuncorpspourleplaceren or biteautourdelaTerr e. bPremièrevitess ecosmique Onparled'orbit ebasse,c elacorrespondàun eorbite circulairedera yonégalaurayonterrest re.LePF Dconduitauxrelations suivantes
8 mRT ✓=0; mRT 2 =G MTm R 2 T Lasecondeé quat ionpermetd'exprimerlavitessev1=RT r GMT RT ⇠7,9.10 3 m/s=28,5.10 3 km/h. Remarque:Spoutnik1(URSS),lancéle 4c otobre1957estlepremie robjetmisenorbi teparl 'ho mme. Vitesseminimalep ourarrach eruncorpsàl'a ttractionterrestre. bDeuxièmevitessecosm ique Celacorresp ondàl'étatdedi
ff usiond'énergiel eplusfaible Em= 1 2 mv 2 2 G MTm RT =0=)v2= r 2GMT RT ⇠11,2.10 3 m/s=40,3.10 3 km/h. Remarque:Lasond eLuna1(URSS),la ncéle2janvie r19 59,futlepremierobjetcr ééparl'hommeàd épasse rce ttevitessedelibér ation.
Vitesseminimalepourar racherunobjetàl'attracti ondusystème solaireaudépartdelaTerr e. bTroisièmevitessecosmique Cettevitesses'élèveàv3=
r 2GMS dTS ⇠42,3.10 3 m/s=152.10 3 km/h. Remarque:Enpratique laTerreestenmouv ementc equicontribue àlavit essedu corps. Remarque:Voyager1(USA),lancé ele 5septembre1977aqu ittél'héliosphère enaoût 201 2. 3.4LoisdeKepler
L'étudedestrajectoir esplanét airesparTychoBrahédatedelafinduXVIèm esiècleetfutréalisésansl'aidedelu nettesou télescopes.
Cesétudes conduisirentàtroi srésultatsexpérimentauxconnussousle nom desloisdeKepler .Ellessegénéralisentàtouto bjetse
déplaçantdansunchamp newtonien. N*TychoBrahé1546 -1601:astronomeda nnois.
Dansleréféren tielhé liocentrique,chaqueplanètedéc ritunetrajectoireelliptiquedontleSoleiloccup eundesdeuxfoyers.
bPremièreloid eKep ler Dansleréféren tielhé liocentrique,l'airebalayéepa rlerayonvecteurSoleil-planèteestproportionne lautempsmispourla décrire.
!DeuxièmeloideKepler(loid esaires ) Dansleréféren tielhé liocentrique,lecarrédelapério deestproportionnelaucubedudemi-grandaxedela traject oireT
2 *a 3 !TroisièmeloideKepler Remarque:Enprem ièreapproximationlatraje ctoiredelaTerreautourduSoleilestcircul airea vecT0=365,25jr,a0=1,49.10
11 km. Remarque:Lestraject oiresnesontpasexactementelliptiq uesca rlesplanètes interagis sententre-ellesetperturbentc emodèleap-
proximatifouseulleSoleilinflue nceun eplanète.C'e stanal ysantcesdéviation sparrapportaumodèledeKep lerqueUrb ainLeVerrier
découvritl'exis tencedeNeptuneen1846. !*UrbainLeVerrier181 1-187 7:astronomefrançais. TD22App 3
163
PCSI2019-2 020,LycéeLalande,Bourg-en-Bre sseAlexandreAl les 3.5Étatlié
Lepoin tPlepl usprocheducen treattracteurestappelé péricentr e(oupérigépourunsat elliteautourdelaTerre,oupérihéliepour
unesa telliteautourduSoleil),tandisqueAleplu séloignéestap peléapocentre(o uap ogée,ouaphélie).
bPéricentreetApocentre EnPetAladista nceradialeestextréma le,i.e.˙r=0etla vitesseest orthoradiale. 1 2 mv 2 P =Em+ rmin >Em+ rmax 1 2 mv 2 A Ainsilepoin tmat érielatteintlemaximu mdesavitesseenPetleminim umenA.LadistanceAP=2aestlegrand axedel'ellipse et
aledemi- grandaxedel'ellipse. L'énergieauxp oints AetPestpurem entpotentielleEm= mC 2 2r 2 r .Lesdistancesrmaxetrminsontdoncles racinesd'uneéquatio n dus econdedegréenr.Ainsileursommevérifiermin+rmax= Em =2a L'énergied'unpointmobilesu rsatrajectoi reelliptiqueest reliéeaudemi-gran daxeparla relat ion Em= 2a bÉnergiemécaniqued'un pointmatérielsoumisàunefor cecentralen ewtonienne 3.6Trajectoireconique(démonstrati onhorsprogramme)
PartonsduPFDprojetésu rladir ection
ur:m ¨rr
quotesdbs_dbs41.pdfusesText_41
SiEm=E
p,eff (r0)alorsleseul mouvementcorres pondàr=r0,trajectoirecirculaire. Em=Em,1<0alorsrvariesurl'int ervalle[r1,r2],c'estunétatliésuivantunetrajectoireelliptique.Em=0alorsrestbornéi nférieurementun iquement,c'estunétatdedi ffusionsuivantunetrajectoireparabolique.
Em=Em,2>0alorsrestborné inférieurementun iquement,c'estunétatdedi ffusionsuivantunetrajectoirehyperbolique.
Demêm enouspouvons étudierunefo rcecentralenewtonienn erépulsiveenprenant$<0.C'estparexemplelecasdel'interaction
entredeuxchargesélectriques demêmesigne. Danscasiln'exi stequedesétat sde di usions.C'estpar exemplelemo dèlequ'a utiliséRutherfordpoursonderlamatiè reetétudier larépartitionsdech arges électriquedanslamati ère(Ex périencedeRutherford, 1911).
C'estcequi lui permisde poserlesbasesd'unmo dèleplanétairepourl'at ome,modèle revuetcorrigéparNeils Bohrdeuxans plustard.
!*ErnestRutherford 1871-1937:physiciennéo-zéla ndaisetprixNobeldechimie190 8. !*NeilsBohr1885- 1962:physici endannoisetprixNobeldephysiq ue1 922. 161PCSI2019-2 020,LycéeLalande,Bourg-en-Bre sseAlexandreAl les
IIITrajectoiresdansunchampnewtonien
Onditq u'unsystè mesedéplacedan sunchampnewtonienqua ndiln' estsoumisqu'àuneforce centralenewt onien ne.
3.1Mouvementcirculaire
L'énergiepotentiellee
ff ectiveassociéàune forcenewtoniennes'écr it( cfprécéde mment)E p,eff (r)= r mC 2 2r 2 .La traject oirecirculaire correspondauminimum decette énergiepotentieller=r0= mC 2 lecent redeforceetlesystè meestc onstante. Em= 2r0 bÉnergiemécaniqued'uns ystèmesoumisàuneforcenewton iennesurune trajectoirecirculair e Dansce caslepoin tMparcourtunetrajectoirefer méederay onr0àlavitesseangulaireconstante ✓=C/r 2 0Lemouv ementestpériodique.
LePFDappliqué àcesyst ème s'écrit
m d v M/R dt OM OM| 3 uravec>0=) 8 mr0 2 r 2 mr0 ✓=0.Lapremi èreéquationconduità
r 2 0 =mr0! 2 =mr02⇡
T 2 unerelati onentrelerayondelatrajec toireetlapério de. Lasecond eéquationconfirmequela vitesseangulaireestconstan te.Lapério deTetlera yonr0d'unsystème enmouvementcirculair eetsou misàuneforcecentralenewtoni ennesontreliées.Dansle
casdel 'attracti ongravitationnellecetterelation s'écrit T 2 r 3 04⇡
2 GM0 avecM0lama sseducent reattr acteuretGlaco nstantedelagravitationuniverselle. bRelationray on/périoded'unetrajectoirecirculaire3.2Satellitesgéostationnaires
Unsate llitegéostationnaireestuns atelliteplacéenorbitedetellefaçonqu'ilsoitto ujoursàla vertic aledumêmepointterrestre.Ce ci
esttrès utilepourlest élécommunicationou latélédi ff usion.Considéronsla Terre sphériquedera yonRTetquele satellite soitsoumis uniquementàl'attractionterres tre dansleréférentielterrestresupposégal iléen.Toutetrajectoir eestinclusdansunplancomprenan tlecentr edelaTerreetlevect eur-vitesse initia ledusatellit e.
Latra jectoirenepeutqu'avoirlieudans leplan équatorialc arlaforcecentraleestdiri géeverslecen tredelaTerr e.
SoitNlepo intàlaverticaledu satellit e,lesa telliteMresteaudessus decep oint siNetMontmêmev itesseangulaire.
Larot ationdelaTerresefaitàvit esseco nstant edoncMsed éplaceàvitesseconstante.Unsate llitegéostationnaireaunetr ajectoirecirculairedansleplanéquatorial.Savi tes seangulai reestconstanteetégaleàcellede
laTer re. bTrajectoired'unsatellitegéosta tionnaire Larela tionpériode/rayondelatr ajectoirecirculaireconduitàunrayonr0⇠42,2.10 3 km. L'altituded'unsatellitegéost ationnaireest donch=r0RT⇠35,8.10 3 km. bAltituded'unsatellitegéos tationnaireTD22Pb1
162PCSI2019-2 020,LycéeLalande,Bourg-en-Bre sseAlexandreAl les
3.3Vitessescosmiques
Vitesseminimaleàfourni ràuncorpspourleplaceren or biteautourdelaTerr e. bPremièrevitess ecosmiqueOnparled'orbit ebasse,c elacorrespondàun eorbite circulairedera yonégalaurayonterrest re.LePF Dconduitauxrelations suivantes
8 mRT ✓=0; mRT 2 =G MTm R 2 T Lasecondeé quat ionpermetd'exprimerlavitessev1=RT r GMT RT ⇠7,9.10 3 m/s=28,5.10 3 km/h. Remarque:Spoutnik1(URSS),lancéle 4c otobre1957estlepremie robjetmisenorbi teparl 'ho mme. Vitesseminimalep ourarrach eruncorpsàl'a ttractionterrestre. bDeuxièmevitessecosm iqueCelacorresp ondàl'étatdedi
ff usiond'énergiel eplusfaible Em= 1 2 mv 2 2 G MTm RT =0=)v2= r 2GMT RT ⇠11,2.10 3 m/s=40,3.10 3 km/h.Remarque:Lasond eLuna1(URSS),la ncéle2janvie r19 59,futlepremierobjetcr ééparl'hommeàd épasse rce ttevitessedelibér ation.
Vitesseminimalepourar racherunobjetàl'attracti ondusystème solaireaudépartdelaTerr e. bTroisièmevitessecosmiqueCettevitesses'élèveàv3=
r 2GMS dTS ⇠42,3.10 3 m/s=152.10 3 km/h. Remarque:Enpratique laTerreestenmouv ementc equicontribue àlavit essedu corps. Remarque:Voyager1(USA),lancé ele 5septembre1977aqu ittél'héliosphère enaoût 201 2.3.4LoisdeKepler
L'étudedestrajectoir esplanét airesparTychoBrahédatedelafinduXVIèm esiècleetfutréalisésansl'aidedelu nettesou télescopes.
Cesétudes conduisirentàtroi srésultatsexpérimentauxconnussousle nom desloisdeKepler .Ellessegénéralisentàtouto bjetse
déplaçantdansunchamp newtonien.N*TychoBrahé1546 -1601:astronomeda nnois.
Dansleréféren tielhé liocentrique,chaqueplanètedéc ritunetrajectoireelliptiquedontleSoleiloccup eundesdeuxfoyers.
bPremièreloid eKep lerDansleréféren tielhé liocentrique,l'airebalayéepa rlerayonvecteurSoleil-planèteestproportionne lautempsmispourla décrire.
!DeuxièmeloideKepler(loid esaires )Dansleréféren tielhé liocentrique,lecarrédelapério deestproportionnelaucubedudemi-grandaxedela traject oireT
2 *a 3 !TroisièmeloideKeplerRemarque:Enprem ièreapproximationlatraje ctoiredelaTerreautourduSoleilestcircul airea vecT0=365,25jr,a0=1,49.10
11 km.Remarque:Lestraject oiresnesontpasexactementelliptiq uesca rlesplanètes interagis sententre-ellesetperturbentc emodèleap-
proximatifouseulleSoleilinflue nceun eplanète.C'e stanal ysantcesdéviation sparrapportaumodèledeKep lerqueUrb ainLeVerrier
découvritl'exis tencedeNeptuneen1846. !*UrbainLeVerrier181 1-187 7:astronomefrançais.TD22App 3
163PCSI2019-2 020,LycéeLalande,Bourg-en-Bre sseAlexandreAl les
3.5Étatlié
Lepoin tPlepl usprocheducen treattracteurestappelé péricentr e(oupérigépourunsat elliteautourdelaTerre,oupérihéliepour
unesa telliteautourduSoleil),tandisqueAleplu séloignéestap peléapocentre(o uap ogée,ouaphélie).
bPéricentreetApocentre EnPetAladista nceradialeestextréma le,i.e.˙r=0etla vitesseest orthoradiale. 1 2 mv 2 P =Em+ rmin >Em+ rmax 1 2 mv 2 AAinsilepoin tmat érielatteintlemaximu mdesavitesseenPetleminim umenA.LadistanceAP=2aestlegrand axedel'ellipse et
aledemi- grandaxedel'ellipse. L'énergieauxp oints AetPestpurem entpotentielleEm= mC 2 2r 2 r .Lesdistancesrmaxetrminsontdoncles racinesd'uneéquatio n dus econdedegréenr.Ainsileursommevérifiermin+rmax= Em =2a L'énergied'unpointmobilesu rsatrajectoi reelliptiqueest reliéeaudemi-gran daxeparla relat ion Em= 2a bÉnergiemécaniqued'un pointmatérielsoumisàunefor cecentralen ewtonienne3.6Trajectoireconique(démonstrati onhorsprogramme)
PartonsduPFDprojetésu rladir ection
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