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Chapitre 7 :M ouvements à force centrale

La force gravitationnelle est une force centrale (exemple : soleil œ planète L'interaction newtonienne est un exemple de force centrale.



Chapitre 5 : Application - Forces Centrales

Une force est dite Newtonienne si c'est une force centrale qui varie selon la loi 1/r2 : F = ? r2 e k étant une constante. La force est attractive si k est 



Mécanique Interaction newtonienne

4 Dans ce référentiel les forces qui s'exercent sont la force centrale et les forces d'inertie d'entraînement et de Coriolis. 4 Ep(r) = ?2. 2 mr2 est donc l' 



Chapitre 17 Forces centrales

On dit qu'un système se déplace dans un champ newtonien quand il n'est soumis qu'à une force centrale newtonienne. 3.1 Mouvement circulaire. L'énergie 



Mouvement dans un champ de forces centrales conservatives

Force centrale si : F = F(r)er conservative si : ?W = ?dEp. Pour les forces de gravitation et électrostatiques que l'on appelle interactions newtoniennes. F(r) 



Chapitre 8 :M ouvement dans un champ newtonien

Chapitre 8 : Mouvement dans un champ newtonien. Mécanique. Page 6 sur 15. II M ouvement dans un champ de force centrale newtonienne. A) Hypothèses.



M7 – FORCES CENTRALES CONSERVATIVES – CAS DE L

La seconde partie de ce cours (§V) concerne l'interaction newtonienne avec l'étude spécifique du mouvement d'un point matériel dans le champ gravitationnel créé 



Mouvements dans un champ de force central et conservatif

Cet exercice propose de calculer l'ordre de grandeur de la taille et de la densité d'un trou noir dans un modèle heuristique de physique newtonienne.



Mouvement dans un champ de force centrale conservative Cas

Exemples de forces centrales conservatives . Propriétés générales d'un mouvement à force centrale ... Cas particulier du champ de force newtonien.



M05 Mouvements dans un champ de force centrale conservatif

Énergie potentielle effective. État lié et état de diffusion. • Champ newtonien. Lois de Kepler. • Cas particulier du mouvement circulaire : satellite planète.



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Une force est dite Newtonienne si c'est une force centrale qui varie selon la loi 1/r2 : F = ? r2 e k étant une constante La force est attractive si k est 



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Dans ce chapitre nous verrons les forces centrales conservatives dont la force de Newton et celle de Coulomb font parties et leurs caractéristiques ; puis 



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La force d'attraction gravitationnelle et la force électrostatique sont des forces newtoniennes De plus une telle force est associée à une énergie potentielle 



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On appelle force centrale une force F dont la direction passe toujours par un point fixe O Exemples : • La tension du fil dans le pendule simple ; • Force 



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II Propriétés générales d'un mouvement à force centrale 1 Conservation du moment cinétique On considère un point matériel M de masse m en mouvement dans 



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Stabilité d'une orbite circulaire dans un champ de force centrale Soit O un point fixe et k et n deux constantes positives Un mobile P de masse m n'est soumis 



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Lorsqu'un point est soumis à une force centrale son mouvement est dans un plan qui contient le centre de force I·2·iii – constante des aires 4 Nous avons 



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Cet exercice propose de calculer l'ordre de grandeur de la taille et de la densité d'un trou noir dans un modèle heuristique de physique newtonienne



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Force centrale si : F = F(r)er conservative si : ?W = ?dEp Pour les forces de gravitation et électrostatiques que l'on appelle interactions newtoniennes F(r) 

  • C'est quoi une force newtonienne ?

    La force d'attraction gravitationnelle et la force électrostatique sont des forces newtoniennes. De plus une telle force est associée à une énergie potentielle de la forme Ep = ? r .

  • Comment montrer qu'une force est centrale ?

    Une force centrale est une force qui s'écrit ?F=F(r)?ur en coordonnées sphériques.

    1que sa valeur ne dépend pas du temps ;2que a valeur de dépend que de r, la distance de M (point qui subit la force) à O (point appelé centre de force) ;3que sa droite d'action a la même direction que le vecteur ?OM.

  • Est-ce qu'une force centrale est conservative ?

    L'expression d'une force centrale est ?F=F(r)?ur, sa valeur, indépendante du temps, ne dépend que de r, distance entre le point qui subit la force et le centre de force. Une force centrale est conservative.
  • Cette constante des aires permet de dire que l'aire aréolaire A' (dérivée de l'aire par rapport au temps) est constante, en effet A' = C/2 (de façon simplifiée). Astuce : Pour se souvenir de ces différentes relations liées à la constante des aires, il faut se dire la phrase suivante : « Courrrs vite loin de moi »

MPSI - M´ecanique II - Mouvement dans un champ de forces centrales conservativespage 1/5Mouvement dans un champ de forcescentrales conservativesTable des mati`eres1 Forces centrales conservatives1

1.1 Exemple de la force de gravitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Exemple de la force ´electrostatique . . . . . . . . . . . . . . . .. . 1

1.3 G´en´eralisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2 Lois g´en´erales de conservation1

2.1 Conservation du moment cin´etique . . . . . . . . . . . . . . . . . .2

2.1.1 Plan´eit´e du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.1.2 Int´egrale premi`ere du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.1.3 Loi des aires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.2 Conservation de l"´energie (m´ecanique) . . . . . . . . . . . .. . . . 2

2.2.1 Int´egrale premi`ere du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.2.2 ´Energie potentielle effective . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2.2.3 ´Etats de diffusion, ´etats li´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

3 Mouvement dans un champ de forces centrales newtonien 3

3.1 ´Equation g´en´erale de la trajectoire . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

3.2 Interaction r´epulsive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

3.3 Interaction attractive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

3.3.1 ´Etat de diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3.3.2 ´Etat li´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3.4 Mouvements des plan`etes - Lois de K´epler . . . . . . . . . . . .. . 4

3.4.1 Lois de K´epler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3.4.2 Vitesses cosmiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1 Forces centrales conservatives

1.1 Exemple de la force de gravitation

SoientM1de massem1etM2de massem2

F

1→2=-F2→1=-Gm1m2

(M1M2)2M 1M2 M1M2 avecG= 6,67.10-11kg-1.m3.s-2 On supposera queMde massemest attir´e par un centre de force fixeO de massem??m

F=-Gm?m

r2er

δW=F.dOM=-A

r2er.(drer+rder) =-Adr r2=-dEp avecEp=-A ren prenantEp(∞) = 0

1.2 Exemple de la force ´electrostatique

SoientM1de chargeq1etM2de chargeq2

F

1→2=-F2→1=1

4π?0q

1q2 (M1M2)2M 1M2 M1M2 avec 1

4π?0= 9.109S.I.

On supposera queMde chargeqet de massemest attir´e ou repouss´e par un centre de force fixeOde chargeq?et de massem??m F=1

4π?0q

?q r2er

δW=F.dOM=B

r2er.(drer+rder) =Bdr r2=-dEp avecEp=B ren prenantEp(∞) = 0 Damien DECOUT - Derni`ere modification : f´evrier 2007

MPSI - M´ecanique II - Mouvement dans un champ de forces centrales conservativespage 2/5remarque: si l"on compare les forces de gravitation et ´electrostatiques qui

s"exercent par exemple entre deux ´electrons F e Fg=?e m? 2?1

4π?0G?

= 4,2.1042 D"une mani`ere g´en´erale, `a l"´echelle microscopique, les forces de gravitation sont n´egligeables devant les forces ´electrostatiques.

1.3 G´en´eralisation

Force centrale si :

F=F(r)er

conservative si :

δW=-dEp

Pour les forces de gravitation et ´electrostatiques que l"on appelle interactions newtoniennes

F(r) =k

r2et Ep=k ravec Ep(∞) = 0 k=-Gm?m <0 pour l"interaction gravitationnelle; k=1

4π?0q?q, pour l"interaction ´electrostatique, n´egatif siq?etqde signe

diff´erent, positif siq?etqde mˆeme signe.

2 Lois g´en´erales de conservation

Soit M de massemet de vitessevsoumis `a un champ de forces centrales conser- vativesF=F(r)ercr´e´e par un centre de force O.

2.1 Conservation du moment cin´etique

2.1.1 Plan´eit´e du mouvement

dLO dt=MO=OM?F=rer?F(r)er= 0?LO=cte CommeLO=OM?mv,OMetvrestent perpendiculaires `aLO=cte,OM etvsont donc contenus dans le plan perpendiculaire `aLO=cte: le mouvement est plan.

2.1.2 Int´egrale premi`ere du mouvement

Dans ce plan, choisissons les coordonn´ees polaires (r,θ) :

OM=rerv= rer+rθeθ

L

O=OM?mv=mr2θez

commeLO=cte: r2θ=cte=C appel´e int´egrale premi`ere du mouvement, Cconstante des aires.

2.1.3 Loi des aires

L"aire balay´ee pendantdt

dA=1

2×r×rdθ=1

2r2dθ

La vitesse a´erolaire :

dA dt=1

2r2θ=1

2C=cte

Les aires balay´ees pendant des dur´ees ´egales sont ´egales ce qui explique l"ac- c´el´eration de M lorsqu"il se rapproche du centre de force et son ralentissement

lorsqu"il s"en ´eloigne.2.2 Conservation de l"´energie (m´ecanique)2.2.1 Int´egrale premi`ere du mouvementF=F(r)erd´erivant d"une ´energie potentielleEp(r), l"´energie m´ecanique se

conserve : E m=1

2m(r2+r2θ2) +Ep(r) =cte

appel´e int´egrale premi`ere du mouvement. Damien DECOUT - Derni`ere modification : f´evrier 2007

MPSI - M´ecanique II - Mouvement dans un champ de forces centrales conservativespage 3/52.2.2´Energie potentielle effective

E m=1

2mr2+1

2mr2θ2+Ep(r)

1

2mr2θ2=m

2r2(r2θ)2=m

2r2C2 E m=1

2mr2+mC2

2r2+Ep(r)

L"´energie m´ecanique ne d´epend plus que de retr: le terme1

2mr2est appel´e ´energie cin´etique radiale

le terme mC22r2+Ep(r) =Ep,effest appel´e ´energie potentielle effective Em=1

2mr2+Epeff(r) =cte

2.2.3´Etats de diffusion, ´etats li´es

Le terme cin´etique

1

2mr2´etant positif,Em=cteest la plus grande valeur que

puisse prendreEpeff(r); les valeurs derpour lesquellesEp,eff> Emsont donc inaccessibles.

Sir > rmin, on parle d"´etat de diffusion

3 Mouvement dans un champ de forces centrales new-

tonien Le mouvement v´erifie les propri´et´es g´en´erales du mouvement dans un champ de forces centrales conservatives (plan´eit´e du mouvement, loi des aires, ´energie potentielle effective) avecF(r) =k r2etEp=k r

3.1´Equation g´en´erale de la trajectoire

On peut alors montrer (voir TD) que la trajectoire du point M,rep´er´e par ses coordonn´ees polaires a pour ´equation (en choisissant Ox axe de sym´etrie de la trajectoire) r(θ) =p

1 +ecosθ

On reconnaˆıt l"´equation d"une conique : sie >1, M d´ecrit une hyperbole sie= 1, M d´ecrit une parabole si 0< e <1, M d´ecrit une ellipse sie= 0, M d´ecrit un cercle

3.2 Interaction r´epulsive

k >0 rE peff r minE m Damien DECOUT - Derni`ere modification : f´evrier 2007

MPSI - M´ecanique II - Mouvement dans un champ de forces centrales conservativespage 4/5r > rmin, ´etat de diffusion, M ne peut pas s"approcher du centre de force `a une

distance inf´erieure `armin, cette position extrˆeme s"appelle lep´ericentre. La trajectoire correspondante correspond `a une branche d"hyperbole.

3.3 Interaction attractive

k <0 3.3.1

´Etat de diffusion

E m>0 rE peff r minE m r > r min, on observe encore un ´etat de diffusion. La trajectoire est encore une branche d"hyperbole. Le cas particulierEm= 0 correspond `a une trajectoire parabolique. 3.3.2

´Etat li´e

E peffmin< Em<0 rE peff r min E mr max r p´ericentre, celle correspondant `armaxapocentre.

La trajectoire est elliptique.

Le cas particulierrmin=rmax=Rcorrespond `a une trajectoire circulaire. Damien DECOUT - Derni`ere modification : f´evrier 2007

MPSI - M´ecanique II - Mouvement dans un champ de forces centrales conservativespage 5/53.4 Mouvements des plan`etes - Lois de K´epler3.4.1 Lois de K´eplerCes lois historiques concernent les mouvements des plan`etes autour du Soleil,

elles se g´en´eralisent `a tous les mouvements `a force gravitationnelle centrale. 1 reloi : les plan`etes autour du Soleil d´ecrivent des ellipsesdont l"un des foyers est occup´e par le Soleil. 2 eloi : le mouvement d"une plan`ete ob´eit `a la loi des aires; pendant des dur´ees ´egales Δt, le rayon vecteurOMbalaye des aires ´egalesS=C

2Δto`uC

est la constante des aires li´ee `a la plan`ete consid´er´ee. 3 eloi :T2 a3=4π2 Gm? o`uTest la p´eriode de r´evolution elliptique de la plan`ete autour du Soleil,ale demi grand-axe de la trajectoire elliptique etm?=mSla masse du Soleil; la masse de la plan`ete n"intervient pas.

3.4.2 Vitesses cosmiques

Lavitesse circulaireest la vitesse `a communiquer initialement `a un corps pour qu"il d´ecrive une orbite circulaire de rayonaautour d"un gros astre de massem?: E m=-|k|2a 1

2mv2c-|k|

a=-|k|

2a?vc=?

Gm?a Lavitesse de lib´erationest la vitesse `a communiquer initialement `a un corps pour qu"il ´echappe `a l"attraction d"un gros astre de massem?: 1

2mv2l-|k|

r0= 0?vl=?

2Gm?r0

Damien DECOUT - Derni`ere modification : f´evrier 2007quotesdbs_dbs41.pdfusesText_41
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