BANQUE ÉPREUVE ORALE DE MATHÉMATIQUES SESSION 2022
d'Estampes et interrogateurs Banque d'exercices de mathématiques pour le programme. 2003-2014 des oraux CCP-MP
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d'Estampes et interrogateurs Banque d'exercices de mathématiques pour le programme. 2003-2014 des oraux CCP-MP
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d'Estampes et interrogateurs Banque d'exercices de mathématiques pour le programme. 2003-2014 des oraux CCP-MP
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Delaunay Prépas Dupuy de Lôme
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Delaunay Prépas Dupuy de Lôme
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d'Estampes et interrogateurs Banque d'exercices de mathématiques pour le programme. 2003-2014 des oraux CCP-MP
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Delaunay Prépas Dupuy de Lôme
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http://ccp.scei-concours.fr 2003-2014 des oraux CCP-MP Éd. Ress. ... D. Delaunay
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24 sept. 2014 ... CCP chaque exercice de la banque est proposé
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Banque épreuve orale de mathématiques session 2019 CCP-MP. Mise à jour : 13/09/18. Introduction banque est proposé
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http://ccp.scei-concours.fr 2003-2014 des oraux CCP-MP Éd. Ress. ... D. Delaunay
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Banque épreuve orale de mathématiques session 2016 CCP-MP. Mise à jour : 06/10/15 exercice 7 : énoncé et corrigé de la question 2. changés.
BANQUE ÉPREUVE ORALE DE MATHÉMATIQUES SESSION 2017
Banque épreuve orale de mathématiques session 2017 CCP-MP exercice 59 corrigé : justification du fait que f est un endomorphisme de E placée avant les ...
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13 sept. 2018 Banque épreuve orale de mathématiques session 2019 CCP-MP ... banque est proposé
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Chaque sujet proposé est constitué de deux exercices : — un exercice sur 8 points issu de la banque publique accessible sur le site http://ccp scei-concours
[PDF] BANQUE ÉPREUVE ORALE DE MATHÉMATIQUES - CCINP
16 fév 2022 · Chaque sujet proposé est constitué de deux exercices : — un exercice sur 8 points issu de la banque publique accessible sur le site http://ccp
Examen corrige oral ccp
Banque épreuve orale de mathématiques session 2021 CCINP filière MP D Delaunay Prépas Dupuy de Lôme cours et exercices corrigés MPSI - MP 2014
Examen corrige Correction ccp mp 46
Banque officielle des oraux des CCP avec corrigés - Math France Banque épreuve orale de mathématiques session 2018 CCP-MP Mise à jour : 18/09/17
ccp Examens Corriges PDF
ccp · Correction des 120 exercices de la banque CCP MP de · Exercices de la banque CCP 2015 · BANQUE ÉPREUVE ORALE DE MATHÉMATIQUES · Problèmes corrigés
Corrigés de quelques exercices de la banque CCP - mpcezannefr
Corrigé CCP 2012-Fili`ere -MP- mathématiques 2 1 Examens corriges pdf Corrigés de quelques exercices de la banque CCP - mpcezanne
[PDF] BANQUE ÉPREUVE ORALE DE MATHÉMATIQUES SESSION 2021
Banque épreuve orale de mathématiques session 2020 CCINP filière MP Mise à jour : 29/09/21 BANQUE ANALYSE Exercice 1 Banque CCP MP 2021 n° 1 analyse
Banque exercices oral maths CCINP 2023/2022
25 jui 2022 · L'auteur des corrigés est David Delaunay Il a un site d'exercices de maths corrigés en partie : http://ddmaths free fr/index html
La nouvelle banque CCINP est arrivée - joffremp2
23 sept 2022 · Voici la nouvelle cuvée d'exercice pour les oraux 2023 : BanqueCCINPMP-2023-sans-corrigé Banque CCINP MP-2023 avec corrigé Désormais les
sujets et corrigés de devoirs posés aux concours scientifiques
sujets et corrigés de concours en mathématiques 2008 d'après CCP MP 2008 fonction zéta de Riemann alternée sujet · corrigé
CONCOURS COMMUN INP
FILIÈRE MP
BANQUE
ÉPREUVE ORALE
DE MATHÉMATIQUES
SESSION 2021
avec corrigésV. Bellecave, J.-L. Artigue, A. Begyn, P. Berger, M. Boukhobza, F. Bernard, J.-P. Bourgade, J.Y. Boyer,
S. Busson, S. Calmet, A. Calvez, D. Clenet, J. Esteban, M. Fructus, R. Gabay, B. Harington, J.-P. Keller,
M.-F. Lallemand, A. Leprince, A. Lluel, O. Lopez, J.-P. Logé, Emmanuel Magnin, S. Moinier,P.-L. Morien, S.Mouez, S. Pellerin, V. Rayssiguier, S. Rigal, A. Rigny, K. Tari, A. Walbron, A. Warin
2014, CC BY-NC-SA 3.0 FR
Dernière mise à jour : le 22/05/21
Banque épreuve orale de mathématiques session 2021, CCINP, filière MP Mise à jour : 22/05/21
Introduction
L"épreuve orale de mathématiques du CCINP, filière MP, se déroule de la manière suivante :
25mn de préparatio nsur table.
25mn de passage à l"oral.
Chaque sujet proposé est constitué de deux exercices :un exercice sur 8 p ointsis sude la banque publique accessible sur le site http://ccp.scei-concours.fr
un exercice sur 12 p oints. Les deux exercices proposés portent sur des domaines différents. Ce document contient les112 exercices de la banque pour la session 2021:58 exercices d"analyse ( exercice 1 à exercice 58).
36 exercices d"algèbre (exercice 59 à exercice 94).
18 exercices de probabilités (exercice 95 à exercice 112).
Dans l"optique d"aider les futurs candidats à se préparer au mieux aux oraux du CCINP, chaque exercice de la
banque est proposé, dans ce document, avec un corrigé. Il se peut que des mises à jour aient lieu en cours d"année scolaire.Cela dit, il ne s"agira, si tel est le cas, que de mises à jour mineures : reformulation de certaines questions pour
plus de clarté, relevé d"éventuelles erreurs, suppression éventuelle de questions ou d"exercices.
Nous vous conseillons donc de vérifier, en cours d"année, en vous connectant sur le site : http://ccp.scei-concours.frsi une nouvelle version a été mise en ligne, la date de la dernière mise à jour se trouvera en haut de chaque page.
Si tel est le cas, les exercices concernés seront signalés dans le présent document, page 3.
Remerciements à David DELAUNAY pour l"autorisation de libre utilisation du fichier source de ses corrigés des
exercices de l"ancienne banque, diffusés sur son sitehttp://mp.cpgedupuydelome.fr NB : la présente banque intègre des éléments issus des publications suivantes : A. Antibi, L. d"Estampes et interrogateurs, Banque d"exercices de mathématiques pour le programme2003-2014 des oraux CCP-MP,Éd. Ress. Pédag. Ouv. INPT,0701(2013) 120 exercices.
http://pedagotech.inp-toulouse.fr/130701 D. Delaunay, Prépas Dupuy de Lôme, cours et exercices corrigés MPSI - MP, 2014. http://mp.cpgedupuydelome.fr L"équipe des examinateurs de l"oral de mathématiques du CCINP, filière MP.Contact: Valérie BELLECAVE, coordonnatrice
des oraux de mathématiques du CCINP, filière MP. vbellecave@gmail.comCC BY-NC-SA 3.0 FR Page 2
Banque épreuve orale de mathématiques session 2021, CCINP, filière MP Mise à jour : 22/05/21
MISES À JOUR :
Les mises à jour signalées sont des mises à jour par rapport à la dernière version publiée sur le site du concours
commun INP, en date du 09/10/20. mise à jour du 29/09/20: Exercice 28: Corrigé question 2. cas oùa61remplacer le corrigé par :8x2[e;+1[,h(x)>1x
a.Orx7!1x
anon intégrable sur[e;+1[.(fonction de Riemann aveca61) Donc, par règle de minoration pour les fonctions positives,hnon intégrable sur[e;+1[ Donc, par règle d"équivalence pour les fonctions positives,fnon intégrable sur[e;+1[.Donc,fnon intégrable sur]0;+1[.
mise à jour du 21/05/21: simplement des dates modifiées. mise à jour du 22/05/21: Encore une date modifiée en entête des pages.Exercice 78 corrigé question 1.:
Première ligne : Soitu2 L(E)tel que8(x;y)2E2,(u(x)ju(y)) = (xjy)remplacée par :Soitu2 L(E)tel que8(x;y)2E2,jju(x)jj=jjxjj.
Exercice 25 énoncé question 2.:
Pour toutn2N, poseun=Z
+10dt1 +t2+tnet. Calculerlimn!+1unremplacé par :
Pour toutn2N,onposeun=Z
+10dt1 +t2+tnet. Calculerlimn!+1un.
Exercice 61 corrigé 2. ligne 4:
Donc,8(i;j)2(J1;nK)2,jci;jj6nX
k=1jai;kj:j(bk;jj6nX k=1kAkkBk=nkAkkBk. remplacé par : Donc,8(i;j)2(J1;nK)2,jci;jj6nX
k=1jai;kj:jbk;jj6nX k=1kAkkBk=nkAkkBk.Exercice 84 corrigé 2. ligne 1:
z= 0n"est passoultionde l"équationzn= 1remplacé par : z= 0n"est pas solution de l"équationzn= 1.CC BY-NC-SA 3.0 FR Page 3
Banque épreuve orale de mathématiques session 2021, CCINP, filière MP Mise à jour : 22/05/21
BANQUE ANALYSE
EXERCICE 1 analyse
Énoncé exercice 1
1.On considère deux suites n umériques(un)n2Net(vn)n2Ntelles que(vn)n2Nest non nulle à partir d"un
certain rang etuns+1vn. Démontrer queunetvnsont de même signe à partir d"un certain rang. 2. Déterminer le signe, au v oisinagede l"infini, de : un=sh1n tan1nCorrigé exercice 1
1.P arh ypothèse,9N02N=8n2N;n>N0=)vn6= 0.
Ainsi la suiteunv
n est définie à partir du rangN0.De plus, commeuns+1vn, on alimn!+1u
nv n= 1.Alors,8" >0,9N2N=N>N0et8n2N;n>N=)u
nv n16". (1)Prenons"=12
. Fixons un entierNvérifiant(1).Ainsi,8n2N;n>N=)u
nv n1612C"est-à-dire,8n2N;n>N=) 12
6unv n1612On en déduit que8n2N;n>N=)unv
n>12Et donc,8n2N;n>N=)unv
n>0. Ce qui implique queunetvnsont de même signe à partir du rangN. 2.Au v oisinagede +1, sh(1n
) =1n +16n3+o1n 3 ettan1n =1n +13n3+o1n 3 . Doncuns+116n3. On en déduit, d"après 1., qu"à partir d"un certain rang,unest négatif.CC BY-NC-SA 3.0 FR Page 4
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EXERCICE 2 analyse
Énoncé exercice 2
On posef(x) =3x+ 7(x+ 1)2.
1.Décomp oserf(x)en éléments simples.
2.En déduire que fest développable en série entière sur un intervalle du type]r;r[(oùr >0).
Préciser ce développement en série entière et déterminer, en le justifiant, le domaine de validitéDde ce
développement en série entière. 3. (a)Soit Panxnune série entière de rayonR >0.
On pose, pour toutx2]R;R[,g(x) =+1X
n=0a nxn. Exprimer, pour tout entierp, en le prouvant,apen fonction deg(p)(0). (b) En déduire le dév eloppementlimité de fà l"ordre 3 au voisinage de 0.Corrigé exercice 2
1. En utilisan tles métho deshabituel lesde décomp ositionen élémen tssimple s,on trouv e: f(x) =3x+ 1+4(x+ 1)2. 2.D"après le cours, x7!1x+ 1etx7!1(x+ 1)2sont développables en série entière à l"origine.
De plus, on a8x2]1;1[,11 +x=+1P
n=0(1)nxn.Et,8x2]1;1[,1(1 +x)2=+1P
n=1(1)n+1nxn1( obtenu par dérivation du développement précédent).On en déduit quefest développable en série entière en tant que somme de deux fonctions développables en
série entière.Et8x2]1;1[,f(x) = 3+1P
n=0(1)nxn+ 4+1P n=0(1)n(n+ 1)xn.C"est-à-dire :8x2]1;1[,f(x) =+1X
n=0(4n+ 7)(1)nxn. NotonsDle domaine de validité du développement en série entière def.D"après ce qui précéde,]1;1[D.
NotonsRle rayon de convergence de la série entièreX(4n+ 7)(1)nxn.D"après ce qui précédeR>1.
Posons, pour tout entier natureln,an= (4n+ 7)(1)n. Pourx= 1etx=1,limn!+1janxnj= +1doncX(4n+ 7)(1)nxndiverge grossièrement.DoncR61,162Det162D.
On en déduit queD= ]1;1[.
3. (a)Soit Panxnune série entière de rayonR >0.
On pose, pour toutx2]R;R[,g(x) =+1X
n=0a nxn.D"après le cours,gest de classeC1sur]R;R[.
De plus,8x2]R;R[,
g0(x) =+1X
n=1na nxn1=+1X n=0(n+ 1)an+1xn g00(x) =+1X
n=1n(n+ 1)an+1xn1=+1X n=0(n+ 1)(n+ 2)an+2xn.CC BY-NC-SA 3.0 FR Page 5
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et, par récurrence, on a :8p2N,8x2]R;R[,g(p)(x) =+1X
n=0(n+ 1)(n+ 2):::(n+p)an+pxn=+1X n=0(n+p)!n!an+pxn.Ainsi, pour toutp2N,g(p)(0) =p!ap.
C"est-à-dire, pour toutp2N,ap=g(p)(0)p!.
(b)fest de classeC1sur]1;1[. Donc d"après la formule de Taylor-Young, au voisinage de0,f(x) =3X p=0f (p)(0)p!xp+o(x3). (*)Or, d"après 3.(a), pour tout entierp,f(p)(0)p!est aussi la valeur dupièmecoefficient du développement en
série entière def. Donc, d"après 2., pour tout entierp,f(p)(0)p!= (4p+ 7)(1)p. (**) Ainsi, d"après (*) et (**), au voisinage de0,f(x) =3X p=0(4p+ 7)(1)pxp+o(x3). C"est-à-dire, au voisinage de0,f(x) = 711x+ 15x219x3+o(x3).CC BY-NC-SA 3.0 FR Page 6
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EXERCICE 3 analyse
Énoncé exercice 3
1.On p oseg(x) = e2xeth(x) =11 +x.
Calculer, pour tout entier naturelk, la dérivée d"ordrekdes fonctionsgethsur leurs ensembles de
définitions respectifs. 2.On p osef(x) =e2x1 +x.
En utilisant la formule de Leibniz concernant la dérivéenièmed"un produit de fonctions, déterminer, pour
tout entier naturelnet pour toutx2Rnf1g, la valeur def(n)(x). 3.Démon trer,dans le cas g énéral,la form ulede Leibniz, utilisée dans la question précéden te.
Corrigé exercice 3
1.gest de classeC1surRethest de classeC1surRnf1g.
On prouve, par récurrence, que :
8x2R,g(k)(x) = 2ke2xet8x2Rnf1g,h(k)(x) =(1)kk!(1 +x)k+1.
2.gethsont de classeC1surRnf1gdonc, d"après la formule de Leibniz,fest de classeC1surRnf1g
et8x2Rnf1g: f (n)(x) =nX k=0 n k g (nk)(x)h(k)(x) =nX k=0 n k 2 nke2x(1)kk!(1 +x)k+1=n!e2xnX k=0(1)k2nk(nk)!(1 +x)k+1. 3.Notons (Pn)la propriété :
Sif:I!Retg:I!Rsontnfois dérivables surIalors,fgestnfois dérivable surIet :8x2I,(fg)(n)(x) =nX
k=0 n k f (nk)(x)g(k)(x).Prouvons que(Pn)est vraie par récurrence surn.
La propriété est vraie pourn= 0et pourn= 1(dérivée d"un produit).Supposons la propriété vraie au rangn>0.
Soitf:I!Retg:I!Rdeux fonctionsn+ 1fois dérivables surI.Les fonctionsfetgsont, en particulier,nfois dérivables surIet donc par hypothèse de récurrence la
fonctionfgl"est aussi avec8x2I,(fg)(n)(x) =nX k=0 n k f (nk)(x)g(k)(x). Pour toutk2 f0;:::;ng, les fonctionsf(nk)etg(k)sont dérivables surIdonc par opération sur les fonctions dérivables, la fonction(fg)(n)est encore dérivable surI. Ainsi la fonctionfgest(n+ 1)fois dérivable et :8x2I,(fg)(n+1)(x) =nX
k=0 n k f(n+1k)(x)g(k)(x) +f(nk)(x)g(k+1)(x)En décomposant la somme en deux et en procédant à un décalage d"indice sur la deuxième somme, on
obtient :8x2I,(fg)(n+1)(x) =nX k=0 n k f (n+1k)(x)g(k)(x) +n+1X k=1 n k1 f (n+1k)(x)g(k)(x).C"est-à-dire
(fg)(n+1)(x) =nX k=1 n k +n k1 f (n+1k)(x)g(k)(x) +n 0 f (n+1)(x)g(0)(x) +n n f (0)(x)g(n+1)(x).Or, en utilisant le triangle de Pascal, on a
n k +n k1 =n+ 1 kOn remarque également que
n 0 = 1 =n+ 1 0quotesdbs_dbs27.pdfusesText_33[PDF] le role de la banque centrale dans la creation monetaire
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