[PDF] BANQUE ÉPREUVE ORALE DE MATHÉMATIQUES SESSION 2022

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CONCOURS COMMUN INP

FILIÈRE MP - FILIÈRE MPI

BANQUE

ÉPREUVE ORALE

DE MATHÉMATIQUES

SESSION 2023

sans corrigés

2014, CC BY-NC-SA 3.0 FR

Dernière mise à jour : le 07/09/22

Banque épreuve orale de mathématiques session 2023, CCINP, filière MP et filière MPI Mise à jour : 07/09/22

Introduction

L"épreuve orale de mathématiques du concours commun INP, filière MP et filière MPI, se déroule de la manière

suivante :

25mn de préparatio nsur table.

25mn de passage à l"oral.

Chaque sujet proposé est constitué de deux exercices : un exercice sur 8 p ointsis sude la banque publique accessible sur le site un exercice sur 12 p oints. Les deux exercices proposés portent sur des domaines différents. Ce document contient les112 exercices de la banque pour la session 2023:

58 exercices d"analyse ( exercice 1 à exercice 58).

36 exercices d"algèbre (exercice 59 à exercice 94).

18 exercices de probabilités (exercice 95 à exercice 112).

Dans l"optique d"aider les futurs candidats à se préparer au mieux aux oraux du CCINP, chaque exercice de la

banque est proposé, avec un corrigé, dans la version de la banque avec corrigés sur le site du CCINP.

Il se peut que des mises à jour aient lieu en cours d"année scolaire.

Cela dit, il ne s"agira, si tel est le cas, que de mises à jour mineures : reformulation de certaines questions pour

plus de clarté, relevé d"éventuelles erreurs, suppression éventuelle de questions ou d"exercices.

Nous vous conseillons donc de vérifier, en cours d"année, en vous connectant sur le site :

Si une nouvelle version a été mise en ligne, la date de la dernière mise à jour figurant en haut de chaque page.

Si tel est le cas, les exercices concernés et les modifications, seront signalés dans la version de la banque avec

corrigés, sur le site du CCINP.

Remerciements à David DELAUNAY pour l"autorisation de libre utilisation du fichier source de ses corrigés des

exercices de l"ancienne banque, diffusés sur son sitehttp://mp.cpgedupuydelome.fr NB : la présente banque intègre des éléments issus des publications suivantes : A. Antibi, L. d"Estampes et interrogateurs, Banque d"exercices de mathématiques pour le programme

2003-2014 des oraux CCP-MP,Éd. Ress. Pédag. Ouv. INPT,0701(2013) 120 exercices.

http://pedagotech.inp-toulouse.fr/130701 D. Delaunay, Prépas Dupuy de Lôme, cours et exercices corrigés MPSI - MP, 2014. http://mp.cpgedupuydelome.fr

L"équipe des examinateurs de l"oral de mathématiques du CCINP, filière MP et filière MPI.

Contact: Valérie BELLECAVE, coordonnatrice

des oraux de mathématiques du CCINP, filière MP et filière MPI. vbellecave@gmail.com

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BANQUE ANALYSE

EXERCICE 1 analyse

1.

On considère deux suites n umériques(un)n2Net(vn)n2Ntelles que(vn)n2Nest non nulle à partir d"un

certain rang etuns+1vn. Démontrer queunetvnsont de même signe à partir d"un certain rang. 2. Déterminer le signe, au v oisinagede l"infini, de : un=sh1n tan1n

EXERCICE 2 analyse

On posef(x) =3x+ 7(x+ 1)2.

1.

Décomp oserf(x)en éléments simples.

2.

En déduire que fest développable en série entière sur un intervalle du type]r;r[(oùr >0).

Préciser ce développement en série entière et déterminer, en le justifiant, le domaine de validitéDde ce

développement en série entière. 3. (a)

Soit Panxnune série entière de rayonR >0.

On pose, pour toutx2]R;R[,g(x) =+1X

n=0a nxn. Exprimer, pour tout entierp, en le prouvant,apen fonction deg(p)(0). (b) En déduire le dév eloppementlimité de fà l"ordre 3 au voisinage de 0.

EXERCICE 3 analyse

1.

On p oseg(x) = e2xeth(x) =11 +x.

Calculer, pour tout entier naturelk, la dérivée d"ordrekdes fonctionsgethsur leurs ensembles de

définitions respectifs. 2.

On p osef(x) =e2x1 +x.

En utilisant la formule de Leibniz concernant la dérivéenièmed"un produit de fonctions, déterminer, pour

tout entier naturelnet pour toutx2Rnf1g, la valeur def(n)(x). 3.

Démon trer,dans le cas g énéral,la form ulede Leibniz, utilisée dans la question précéden te.

EXERCICE 4 analyse

1. Énoncer le théorème des accroisse mentsfinis. 2.

Soit f: [a;b]!Ret soitx02]a;b[.

On suppose quefest continue sur[a;b]et quefest dérivable sur]a;x0[et sur]x0;b[.

Démontrer que, sif0admet une limite finie enx0, alorsfest dérivable enx0etf0(x0) = limx!x0f0(x).

3. Prouv erque l"implication : ( fest dérivable enx0)=)(f0admet une limite finie enx0) est fausse. Indication: on pourra considérer la fonctiongdéfinie par :g(x) =x2sin1x six6= 0etg(0) = 0.

EXERCICE 5 analyse

1. On considère la série de terme général un=1n(lnn)oùn>2et2R.

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(a)Cas6660 En utilisant une minoration très simple deun, démontrer que la série diverge. (b)Cas >0

Étudier la nature de la série.

Indication: on pourra utiliser la fonctionfdéfinie parf(x) =1x(lnx). 2.

Déterminer la nature de la s érie

X n>2 e 1 +1n n e 1n (ln(n2+n))2.

EXERCICE 6 analyse

Soit(un)n2Nune suite de réels strictement positifs etlun réel positif strictement inférieur à 1.

1.

Démon trerq uesi limn!+1u

n+1u n=l, alors la sérieXu nconverge. Indication: écrire, judicieusement, la définition delimn!+1u n+1u n=l, puis majorer, pournassez grand,un par le terme général d"une suite géométrique. 2.

Quelle est la nature de la série

X n>1n!n n?

EXERCICE 7 analyse

1. Soien t(un)n2Net(vn)n2Ndeux suites de nombres réels positifs. On suppose que(un)n2Net(vn)n2Nsont non nulles à partir d"un certain rang.

Montrer que :

u ns+1vn=)Xu netXv nsont de même nature: 2.

Étudier la con vergencede la série

X n>2((1)n+ i)lnnsin1n pn+ 31. Remarque:idésigne le nombre complexe de carré égal à1.

EXERCICE 8 analyse

1. Soit (un)n2Nune suite décroissante positive de limite nulle. (a) Démon trerque la série X(1)kukest convergente. Indication: on pourra considérer(S2n)n2Net(S2n+1)n2NavecSn=nX k=0(1)kuk. (b) Donner une ma jorationde la v aleurabsolue du reste de la série

X(1)kuk.

2.

On p ose: 8n2N,8x2R,fn(x) =(1)nenxn

(a) Étudier la c onvergencesimple sur Rde la série de fonctionsX n>1f n. (b) Étudier la con vergenceuniforme sur [0;+1[de la série de fonctionsX n>1f n.

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EXERCICE 9 analyse

1. Soit Xun ensemble,(gn)une suite de fonctions deXdansCetgune fonction deXdansC.

Donner la définition de la convergence uniforme surXde la suite de fonctions(gn)vers la fonctiong.

2.

On p osefn(x) =n+ 2n+ 1enx2cos(pnx).

(a) Étudier la c onvergencesimple de la suite de fonctions (fn). (b) La suite de fonctions (fn)converge-t-elle uniformément sur[0;+1[? (c) Soit a >0. La suite de fonctions(fn)converge-t-elle uniformément sur[a;+1[? (d) La suite de fonctions (fn)converge-t-elle uniformément sur]0;+1[?

EXERCICE 10 analyse

On posefn(x) =x2+ 1nex+xexn+x.

1. Démon trerque la suite de fonctions (fn)converge uniformément sur[0;1]. 2.

Calculer limn!+11

Z 0 x2+ 1nex+xexn+xdx.

EXERCICE 11 analyse

1. Soit Xune partie deR,(fn)une suite de fonctions deXdansRconvergeant simplement vers une fonction f.

On suppose qu"il existe une suite(xn)n2Nd"éléments deXtelle que la suite(fn(xn)f(xn))n2Nne tende

pas vers0. Démontrer que la suite de fonctions(fn)ne converge pas uniformément versfsurX. 2.

P ourtout x2R, on posefn(x) =sin(nx)1 +n2x2.

(a) Étudier la c onvergencesimple de la suite (fn). (b) Étudier la con vergenceuniforme de la suite (fn)sur[a;+1[(aveca >0), puis sur]0;+1[.

EXERCICE 12 analyse

1.

Soit (fn)une suite de fonctions de[a;b]dansR.

On suppose que la suite de fonctions(fn)converge uniformément sur[a;b]vers une fonctionf, et que, pour

toutn2N,fnest continue enx0, avecx02[a;b].

Démontrer quefest continue enx0.

2.

On p ose: 8n2N,8x2[0;1],gn(x) =xn.

La suite de fonctions(gn)n2Nconverge-t-elle uniformément sur[0;1]?

EXERCICE 13 analyse

1.

Rapp eler,oralemen t,la définition, par les suites de v ecteurs,d"une partie compacte d"un espace v ectoriel

normé. 2.

Démon trerq u"unepartie compacte d "unespace v ectorielnormé est une partie fermée de cet espace.

3.

Démon trerq u"unepartie compacte d "unespace v ectorielnormé est une partie b ornéede cet espace.

Indication: On pourra raisonner par l"absurde.

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4. On se place sur E=R[X]muni de la normejj jj1définie pour tout polynômeP=a0+a1X+::::+anXn deEpar :jjPjj1=nX i=0jaij. (a) Justifier que S(0;1) =fP2R[X]=jjPjj1= 1gest une partie fermée et bornée deE. (b) Calculer jjXnXmjj1pourmetnentiers naturels distincts. S(0;1)est-elle une partie compacte deE? Justifier.

EXERCICE 14 analyse

1.

Soit aetbdeux réels donnés aveca < b.

Soit(fn)une suite de fonctions continues sur[a;b];à valeurs réelles. Démontrer que si la suite(fn)converge uniformément sur[a;b]versf, alors la suite Zb a f n(x)dx! n2N converge versZ b a f(x)dx. 2. Justifier commen tce résultat p eutêtre utilisé dans le cas des séries de fonctions. 3.

Démon trerq ueZ

12 0 +1X n=0x n! dx=+1X n=11n2n:

EXERCICE 15 analyse

SoitXune partie deRouC.

1.

Soit Xf

nune série de fonctions définies surXà valeurs dansRouC. Rappeler la définition de la convergence normale deXf nsurX, puis celle de la convergence uniforme deXf nsurX. 2.

Démon trerque toute série de fonctions, à v aleursdans RouC, normalement convergente surXest

uniformément convergente surX. 3.

La série de fonctions

Xn2n!znest-elle uniformément convergente sur le disque fermé de centre0et de rayonR2R+?

EXERCICE 16 analyse

On considère la série de fonctions de terme généralundéfinie par :

8n2N;8x2[0;1]; un(x) = ln

1 +xn xn

On pose, lorsque la série converge,S(x) =+1X

n=1h ln 1 +xn xn i 1.

Démon trerque Sest dérivable sur[0;1].

2.

Calculer S0(1).

EXERCICE 17 analyse

SoitACet(fn)une suite de fonctions deAdansC.

1.

Démon trerl"implication :

la série de fonctionsXf nconverge uniformément surA (la suite de fonctions(fn)converge uniformément vers 0 surA)

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2.

On p ose: 8n2N,8x2[0;+1[,fn(x) =nx2expn

Prouver queXf

nconverge simplement sur[0;+1[.Xf nconverge-t-elle uniformément sur[0;+1[? Justifier.

EXERCICE 18 analyse

On pose :8n2N,8x2R,un(x) =(1)nxnn

On considère la série de fonctions

X n>1u n. 1. Étudier la con vergencesimpl ede cette s érie. On noteDl"ensemble desxoù cette série converge etS(x)la somme de cette série pourx2D. 2. (a) Étudier la con vergencenormale, puis la con vergenceuniforme de cette série sur D. (b)

La fonction Sest-elle continue surD?

EXERCICE 19 analyse

1. Prouv erque, p ourtout en tiernaturel n,fn:t7!tnlntest intégrable sur]0;1]et calculer I n=Z 1 0 tnlntdt. 2. Prouv erque f:t7!etlntest intégrable sur]0;1]et queZ 1 0 etlntdt=+1X n=11nn!. Indication: utiliser le développement en série entière de la fonction exponentielle.

EXERCICE 20 analyse

1. Donner la définition du ra yonde con vergenced"une série en tièrede la v ariablecomplexe. 2. Déterminer le ra yonde con vergencede c hacunedes séries en tièressuiv antes: (a)

X(n!)2(2n)!z2n+1.

(b)

Xn(1)nzn.

(c)

Xcosnzn.

EXERCICE 21 analyse

1. Donner la définition du ra yonde con vergenced"une série en tièrede la v ariablecomplexe. 2. Soit (an)n2Nune suite bornée telle que la sérieXa ndiverge. Quel est le rayon de convergence de la série entièreXa nzn? Justifier. 3. Quel est le ra yonde con vergencede la série en tière X n>1 pn (1)nln

1 +1pn

z n?

EXERCICE 22 analyse

1.

Que p eut-ondire du ra yonde con vergencede la somme de deux séries en tières?Le démon trer.

2.

Dév elopperen série en tièreau v oisinagede 0, en précisant le rayon de convergence, la fonction

f:x7!ln(1 +x) + ln(12x).

La série obtenue converge-t-elle pourx=14

?x=12 ?x=12

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EXERCICE 23 analyse

Soit(an)n2Nune suite complexe telle que la suitejan+1jjanj n2Nadmet une limite.quotesdbs_dbs28.pdfusesText_34

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