Contrôle de mathématiques
Énoncer puis démontrer le théorème de Gauss. Voir le cours. Exercice 2 de Bezout les entiers naturels n et 2n + 1 sont premiers entre eux.
Exercices pour préparer la composition du premier trimestre 2010
un multiple de 5. 3) Montrer que 2n + 1 et n sont premiers entre eux. 4) a). Déterminer suivant les valeurs de n et en fonction de n le PGCD de a et b.
PGCD ET NOMBRES PREMIERS
On dit que a et b sont premiers entre eux lorsque leur PGCD est égal à 1. Démontrer que pour tout entier naturel n 2n + 3 et 5n + 7 sont premiers entre ...
Exo7 - Exercices de mathématiques
Démontrer en raisonnant par récurrence
Cours darithmétique
Lorsque pgcd(a b) = 1
Exercices de mathématiques - Exo7
Exercice 11 ***IT. Pour n ? N on pose Fn = 22n. +1 (nombres de FERMAT). Montrer que les nombres de Fermat sont deux à deux premiers entre eux. Correction ?.
Corrigé de linterrogation darithmétique
Algorithme d'Euclide entre 128 et 30 : et 14n + 3 sont premiers entre eux. Exercice 4. ... pgcd(a b)=2min(2n
Arithmétique dans Z
1. Montrer que le reste de la division euclidienne par 8 du carré de tout nombre impair est 1. Montrer que pour m = n Fn et Fm sont premiers entre eux.
PGCD - PPCM Théorèmes de Bézout et de Gauss
15 juil. 2016 Exemple : : Montrer que (2n + 1) et (3n + 2) sont premiers entre eux ?n ? N. Il s'agit de trouver des coefficients u et v pour que u(2n + ...
UTM Département de Mathématiques et Informatique Année 2010
Trouver les entiers n ? 1 tels que n ? 1 divise n2 + 1. 3. Montrer que pour Montrer que n et 2n + 1 sont premiers entre eux. 2. On pose a = 2n + 1 et ...
[PDF] PGCD ET NOMBRES PREMIERS - maths et tiques
Démontrer que pour tout entier naturel n 2n + 3 et 5n + 7 sont premiers entre eux D'après le théorème de Bézout avec les coefficients 5 et -2 on peut
[PDF] Ctrle : PGCD PPCM 06 12 2010 - Contrôle de mathématiques
Proposition 1 : Pour tout entier naturel n non nul n et 2n + 1 sont premiers entre eux Proposition vraie : en effet on a (?2)n+(1)(2n+1) = 1 donc d'après
[PDF] Exercices pour préparer la composition du premier trimestre 2010
3) Montrer que 2n + 1 et n sont premiers entre eux 4) a) Déterminer suivant les valeurs de n et en fonction de n le PGCD de a et b On
[PDF] Arithmétique - Exo7 - Exercices de mathématiques
Montrer que l'on peut se ramener au cas où x?y?z = 1 Montrer alors que dans ce cas x y et z sont de plus deux à deux premiers entre eux 2 On suppose
[PDF] chapitre 1 : divisibilité et premiers
Si n ? 2 alors n est un produit de nombres premiers Montrer par une récurrence simple pour tout n ? 1 on a 1 1 · 2 sont premiers entre eux
[PDF] Exo7 - Exercices de mathématiques
17 103 04 Nombres premiers nombres premiers entre eux n(n+1)(2n+1) Démontrer en raisonnant par récurrence que 32n+2 ?2n+1 est divisible par 7
[PDF] Chapitre n°7 : Entiers premiers entre eux - Scolamath
Montrer que 59 et 27 sont premiers entre eux puis déterminer un couple d'entiers relatifs (xy) tels que 59x + 27y = 1
[PDF] Cours darithmétique
Lorsque pgcd(a b) = 1 on dit que a et b sont premiers entre eux Exercice 19* (Nombres de Fermat) Montrer que si 2n + 1 est un nombre premier alors
[PDF] Arithmétique - PCSI 3
13 jan 2023 · Montrer que pour tout n ? 1 n2 divise (n + 1)n ? 1 108 Somme et produit de nombres premiers entre eux Soient a et b deux nombres premiers
[PDF] Chapitre 1 Arithmétique Partie 6 : Nombres premiers entre eux
naturels non nuls et consécutifs est égal à 1 » • Démontrer que si * n?? les entiers n et 2n + 1 sont premiers entre eux
Comment montrer que n et 2n 1 sont premiers entre eux ?
pour montrer que n et 2n+1 sont premiers entre eux, il suffit d'appliquer le théorème de Bézout. a et b sont premiers entre eux, si il existe u et v dans Z tq au+bv=1. ( ie pgcd(a;b)=1). alors on applique ce théorème on a -2).Comment démontrer que deux nombres sont premiers entre eux ?
On dit que a et b sont premiers entre eux lorsque leurs seuls diviseurs communs sont 1 et ?1. Autrement dit, a et b sont premiers entre eux lorsque PGCD(a;b)=1.Comment savoir si deux polynômes sont premiers entre eux ?
On dit que deux polynômes non tous deux nuls sont premiers entre eux si leur PGCD est égal à 1.- Deux nombres entiers sont dits premiers entre eux lorsqu'il n'admette aucun diviseur commun, sinon l'unité. Par exemple 5 et 12 sont premiers entre eux, mais pas 12 et 15 qui admettent 3 comme diviseur commun.
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Terminale S spé
Contrôle de mathématiques
Correction du Lundi 06 décembre 2010
Exercice 1
Question de cours. (2 points)
Énoncer puis démontrer le théorème de Gauss.Voir le cours
Exercice 2
PGCD et PPCM. (4,5 points)
1) A vecl"algorithme d"Euclide, déterminer le pgcd de 2010 et 5159.On obtient les divisions suivantes :
5159=20102+1139
2010=11391+871
1139=8711+268
871=2683+67
268=674
On en déduit que : PGCD(2010;5159)=67
2) Démontrer que pour tout entier relatif k, 14k+3 et 5k+1 sont premier entre eux.Calculons la quantité suivante :
5(14k+3)+(14)(5k+1)=70k+1570k14=1
D"après le théorème de Bezout, 14k+3 et 5k+1 sont premier entre eux. 3) Deux entiers positifs ont pour PGCD 6 et pour PPCM 102. Déterminer ces entiers. Soitxety,x102=6x0y0,x0y0=17
or 17 n"a que deux diviseurs 1 et 17, doncx0=1 ety0=17 qui sont premiers entre eux. Les deux entiers sont doncx=6 ety=617=102.Paul Milan 1 sur4 10 décembre 2010 contrˆole de math´ematiquesTerminale S spé4)Existe-t-il des couples d"entiers ( x;y) solution de l"équation 51x+39y=1? Vous
citerez le théorème utilisé. Calculons le PGCD(51,39) par l"algorithme d"Euclide :51=391+12
39=123+3
12=34 Donc le PGCD(51;39)=3. De plus le corollaire de Bezout nous dit que : l"équa- tionax+by=cadmet des solutions entière si et seulement sicest un multiple du PGCD(a;b). Or 1 n"est pas un multiple de 3, donc l"équation 51x+39y=1 n"admet pas de solution entière.Exercice 3
Vrai - Faux (4 points)
Pour chacune des 4 propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et don- ner une démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point. Proposition 1: Pour tout entier naturelnnon nul,net 2n+1 sont premiers entre eux. Proposition vraie: en eet, on a (2)n+(1)(2n+1)=1, donc d"après le théorème de Bezout, les entiers naturelsnet 2n+1 sont premiers entre eux. Proposition 2: L"ensemble des couples d"entiers relatifs (x;y) solutions de l"équation12x5y=3 est l"ensemble des couples de la forme (4+10k;9+24k) oùk2Z.
Proposition fausse: il existe des solutions de l"équation 12x5y=3 qui ne sont pas de la forme (4+10k;9+24k). Par exemple (9;21) est solution de l"équation :129521=108105=3 et n"est pas de la forme (4+10k;9+24k).
Proposition 3: Si un entier naturelnest congru à 1 modulo 7 alors le PGCD de 3n+4 et 4n+3 est égal à 7. Proposition vraie: Soitd=PGCD(3n+4;4n+3), doncddivise 3n+4 et 4n+3 doncddivise 4(3n+4)3(4n+3)=7 De plus sin1 mod 7, d"après la compatibilité de la congruence avec l"addition et la multiplication, on a :3n+43+4 mod 7 donc 3n+40 mod 7 et
4n+34+3 mod 7 donc 3n+40 mod 7
Les entiers 3n+4 et 4n+3 sont donc divisible par 7 et commeddivise 7, on ad=7 Proposition 4: S"il existe deux entiers relatifsuetvtel queau+bv=2 alors le PGCD deaetbest égal à 2. Proposition fausse: en eet 5 et 7 sont premiers entre eux et (1)5+(1)7=2Exercice 4
PGCD (2,5 points)
Soitnun entier naturel non nul. On considère les nombresaetbtels que : a=2n3+5n2+4n+1 etb=2n2+n:Paul Milan 2 sur4 10 décembre 2010 contr ˆole de math´ematiquesTerminale S spé1)Montrer que 2 n+1 diviseaetb.On obtient par factorisation :
a=(2n+1)(n+1)2etb=n(2n+1) ce qui prouve que 2n+1 diviseaetb. 2)Montrer que le PGCD de aetbest 2n+1.
Comme 2n+1 diviseaetb, on a :
PGCD(a;b)=(2n+1)PGCD((n+1)2;n)
or 1(n+1)2+(n2)n=1, donc d"après le théorème de Bezout (n+1)2etn sont premiers entre eux et donc PGCD(a;b)=2n+1.Exercice 5
Pompon et manège (7 points)
1) On considère l"équation ( E) : 17x24y=9 où (x;y) est un couple d"entiers relatifs. a) Vérifier que le couple (9 ; 6) est solution de l"équation ( E). On a 179246=153144=9, donc le couple (9;6) vérifie l"équation (E). b)Résoudre l"équation ( E).
On a :
(17x24y=9179246=9
on déduit par diérence : 17(x9)24(y6)=0,17(x9)=24(y6) (1). Donc 24 divise 17(x9), mais étant premier avec 17, d"après le théorème de Gauss, divisex9. Il existe donck2Ztel quex9=24kEn reportant dans (1), on obtient :y6=17k.
L"ensemble des couples solutions de l"équation (E) est donc : (x=9+24k y=6+17kk2Z 2) a) Montrer que ( x;y) est solution de l"équation (E) de la question 1) Jean a eectuéytours avant d"attraper le pompon à l"instanttet le pomponxtours.Pour le pompont=17x, et comme Jean met38
quotesdbs_dbs2.pdfusesText_2[PDF] on note dn le pgcd de n(n+3) et de (2n+1)
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