Contrôle de mathématiques
Énoncer puis démontrer le théorème de Gauss. Voir le cours. Exercice 2 de Bezout les entiers naturels n et 2n + 1 sont premiers entre eux.
Exercices pour préparer la composition du premier trimestre 2010
un multiple de 5. 3) Montrer que 2n + 1 et n sont premiers entre eux. 4) a). Déterminer suivant les valeurs de n et en fonction de n le PGCD de a et b.
PGCD ET NOMBRES PREMIERS
On dit que a et b sont premiers entre eux lorsque leur PGCD est égal à 1. Démontrer que pour tout entier naturel n 2n + 3 et 5n + 7 sont premiers entre ...
Exo7 - Exercices de mathématiques
Démontrer en raisonnant par récurrence
Cours darithmétique
Lorsque pgcd(a b) = 1
Exercices de mathématiques - Exo7
Exercice 11 ***IT. Pour n ? N on pose Fn = 22n. +1 (nombres de FERMAT). Montrer que les nombres de Fermat sont deux à deux premiers entre eux. Correction ?.
Corrigé de linterrogation darithmétique
Algorithme d'Euclide entre 128 et 30 : et 14n + 3 sont premiers entre eux. Exercice 4. ... pgcd(a b)=2min(2n
Arithmétique dans Z
1. Montrer que le reste de la division euclidienne par 8 du carré de tout nombre impair est 1. Montrer que pour m = n Fn et Fm sont premiers entre eux.
PGCD - PPCM Théorèmes de Bézout et de Gauss
15 juil. 2016 Exemple : : Montrer que (2n + 1) et (3n + 2) sont premiers entre eux ?n ? N. Il s'agit de trouver des coefficients u et v pour que u(2n + ...
UTM Département de Mathématiques et Informatique Année 2010
Trouver les entiers n ? 1 tels que n ? 1 divise n2 + 1. 3. Montrer que pour Montrer que n et 2n + 1 sont premiers entre eux. 2. On pose a = 2n + 1 et ...
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Démontrer que pour tout entier naturel n 2n + 3 et 5n + 7 sont premiers entre eux D'après le théorème de Bézout avec les coefficients 5 et -2 on peut
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Proposition 1 : Pour tout entier naturel n non nul n et 2n + 1 sont premiers entre eux Proposition vraie : en effet on a (?2)n+(1)(2n+1) = 1 donc d'après
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3) Montrer que 2n + 1 et n sont premiers entre eux 4) a) Déterminer suivant les valeurs de n et en fonction de n le PGCD de a et b On
[PDF] Arithmétique - Exo7 - Exercices de mathématiques
Montrer que l'on peut se ramener au cas où x?y?z = 1 Montrer alors que dans ce cas x y et z sont de plus deux à deux premiers entre eux 2 On suppose
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Si n ? 2 alors n est un produit de nombres premiers Montrer par une récurrence simple pour tout n ? 1 on a 1 1 · 2 sont premiers entre eux
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17 103 04 Nombres premiers nombres premiers entre eux n(n+1)(2n+1) Démontrer en raisonnant par récurrence que 32n+2 ?2n+1 est divisible par 7
[PDF] Chapitre n°7 : Entiers premiers entre eux - Scolamath
Montrer que 59 et 27 sont premiers entre eux puis déterminer un couple d'entiers relatifs (xy) tels que 59x + 27y = 1
[PDF] Cours darithmétique
Lorsque pgcd(a b) = 1 on dit que a et b sont premiers entre eux Exercice 19* (Nombres de Fermat) Montrer que si 2n + 1 est un nombre premier alors
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13 jan 2023 · Montrer que pour tout n ? 1 n2 divise (n + 1)n ? 1 108 Somme et produit de nombres premiers entre eux Soient a et b deux nombres premiers
[PDF] Chapitre 1 Arithmétique Partie 6 : Nombres premiers entre eux
naturels non nuls et consécutifs est égal à 1 » • Démontrer que si * n?? les entiers n et 2n + 1 sont premiers entre eux
Comment montrer que n et 2n 1 sont premiers entre eux ?
pour montrer que n et 2n+1 sont premiers entre eux, il suffit d'appliquer le théorème de Bézout. a et b sont premiers entre eux, si il existe u et v dans Z tq au+bv=1. ( ie pgcd(a;b)=1). alors on applique ce théorème on a -2).Comment démontrer que deux nombres sont premiers entre eux ?
On dit que a et b sont premiers entre eux lorsque leurs seuls diviseurs communs sont 1 et ?1. Autrement dit, a et b sont premiers entre eux lorsque PGCD(a;b)=1.Comment savoir si deux polynômes sont premiers entre eux ?
On dit que deux polynômes non tous deux nuls sont premiers entre eux si leur PGCD est égal à 1.- Deux nombres entiers sont dits premiers entre eux lorsqu'il n'admette aucun diviseur commun, sinon l'unité. Par exemple 5 et 12 sont premiers entre eux, mais pas 12 et 15 qui admettent 3 comme diviseur commun.
Maths discretes, 2012-2013 Universite Paris-Sud
Corrige de l'interrogation d'arithmetique
Exercice 1.Soitq1le reste de la division euclidienne de 13 paraetq2le reste de la division euclidienne de 36 para. On a : 13 =q1a+ 3, 36 =q2a+ 1, et 3< a(propriete du reste d'une division euclidienne). Doncq1a= 10 etq2a= 35. On en deduit queadivise 10 et 35, doncadivise pgcd(10;35). Les decompositions en produits de nombres premiers de 10 et de 35 sont 10 = 35 et 35 = 57, donc pgcd(10;35) = 5. Ceci implique queaest egal a 1 ou a 5. Ora >3, donca= 5.Exercice 2.Algorithme d'Euclide entre 128 et 30 :
128 = 430 + 8
30 = 38 + 6
8 = 16 + 2
6 = 22 = 0
Donc pgcd(128;30) = 2, et on a
2 = 86
= 8(3038) = 4830 = 4(128430)30 = 41281730 Conclusion : 41281730 = 2 est une relation de Bezout entre 128 et 30.Exercice 3.On ecrit :
21n+ 4 = (14n+ 3) + (7n+ 1)
14n+ 3 = 2(7n+ 1) + 1 Remarquons que, commen2N, les entiers 21n+ 4;14n+ 3
et 7n+ 1 sont strictement positifs (donc non nuls).Par le lemme d'Euclide, on en deduit que
pgcd(21n+ 4;14n+ 3) = pgcd(14n+ 3;7n+ 1) = pgcd(7n+ 1;1): Or pgcd(7n+ 1;1) = 1. Conclusion : pgcd(21n+ 4;14n+ 3) = 1, autrement dit, 21n+ 4 et 14n+ 3 sont premiers entre eux. Exercice 4.D'abord, pgcd(1;2) = 1, donc l'equationx+2y= 2 a des solutions. Ensuite,21 = 1 est une relation de Bezout entre 2 et 1, on en deduit quex0=2;y0= 2 est
une solution particuliere. Si (x;y) est une solution, alorsx+ 2y= 2 =x0+ 2y0, d'ou (xx0) =2(yy0). Donc 2 divise (xx0), c'est-a-dire qu'il existe un entier relatifktel quexx0= 2k. On en deduit queyy0=k. Reciproquement, six=x0+ 2kety=y0k, alors x+ 2y=x0+ 2y0+ 2k2k= 2, donc (x;y) est une solution. Conclusion : l'ensemble des solutions dex+ 2y= 2 estS=f(2 + 2k;2k)jk2Zg. Exercice 5.Siest l'exposant de 2 dansn, alors 2est l'exposant de 2 dansn2(en eet, si la decomposition denen produit de nombres premiers s'ecritn=p11p22:::prr,
alors la decomposition den2estn2=p211p222:::p2rr).
8 = 23divisen2si et seulement si 3 est plus petit ou egal que l'exposant de 2 dansn2,
c'est-a-dire 32. On a donc3=2 = 1;5. Commeest un entier, ceci implique que2, et donc 4 = 22divisen.
Exercice 6.Comme 4 = 22 et 10 = 25, les decompositions en produits de nombres premiers dea= 4netb= 10n+1sonta= 22netb= 2n+15n+1. On en deduit que pgcd(a;b) = 2min(2n;n+1)et ppcm(a;b) = 2max(2n;n+1)5n+1. Sin= 0, alors min(2n;n+ 1) = 0 et max(2n;n+ 1) = 1, donc pgcd(a;b) = 1 et ppcm(a;b) = 25 = 10. Sin1, alors 2n=n+nn+1, donc min(2n;n+1) =n+1 et max(2n;n+1) = 2n, donc pgcd(a;b) = 2n+1et ppcm(a;b) = 22n5n+1. Exercice 7.Puisqueab= 23345, seuls les nombres premiers 2;3 et 5 apparaissent dans les decompositions en nombres premiers deaetb. On ecrita= 213253etb= 213253 (avec1;2;3;1;2;3des entiers naturels). On a : ab= 21+132+253+3et pgcd(a;b) = 2min(1;1)3min(2;2)5min(3;3): Pour avoirab= 23345 et pgcd(a;b) = 3, il faut donc avoir (par unicite de la decomposition en facteurs premiers) :1+1= 3 et min(1;1) = 0, donc soit1= 3 et1= 0, soit1= 3 et1= 0.
2+2= 4 et min(2;2) = 1, donc soit1= 3 et1= 1, soit1= 3 et1= 1.
3+3= 1 et min(3;3) = 0, donc soit3= 1 et3= 0, soit3= 1 et3= 0.
Conclusion : il y a 8 couples de solution :
a= 23335 = 1080 etb= 3, a= 2333= 216 etb= 35 = 15, a= 2335 = 120 etb= 33= 27, a= 233 = 24 etb= 335 = 135, a= 335 = 135 etb= 233 = 24, a= 33= 27 etb= 2335 = 120, a= 35 = 15 etb= 2333= 216, a= 3 etb= 23335 = 1080.Exercice 8.
Modulo 2 :
40 (2) donc 4170170 (2).
111 (2) donc 11101101 (2).
D'ou 4
17+ 111010 + 110 (2)
Modulo 5 :
4 1 (5) donc 417(1)17 1 (5).
111 (5) donc 11101101 (5).
D'ou 4
17+ 11101 1 + 11 1 (5). Donc 417+ 11101 n'est pas multiple de 5,
et donc pas multiple de 10 non plus.quotesdbs_dbs41.pdfusesText_41[PDF] on note dn le pgcd de n(n+3) et de (2n+1)
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