LES NOMBRES PREMIERS – PPCM
La multiplication de deux nombres même très grands
PGCD ET NOMBRES PREMIERS
Théorème de Bézout : Soit a et b deux entiers naturels non nuls. a et b sont premiers entre eux si et seulement si
PGCD et PPCM
Combinaisons : Les combinaisons aZ + bZ sont exactement les multiples du PGCD. 1. Page 2. 2 Nombres premiers entre eux. Deux nombres sont premiers entre
PGCD - PPCM Théorèmes de Bézout et de Gauss
15 ?.?. 2559 Définition 1 : Soit a et b deux entiers relatifs non nuls. ... Il ne faut pas confondre des nombres premiers entre eux et des nombres pre-.
PGCD et PPCM de deux entiers :
On suppose a et b premiers entre eux donc pgcd(a ; b) = 1. L'un des deux nombres est non nul
Remédiation – PGCD et PPCM Plus grand commun diviseur (PGCD)
Une fraction est irréductible si le PGCD de ses termes est 1. On dit alors que leurs termes sont premiers entre eux. Vérification du PGCD de deux nombres. Vrai
Cours darithmétique
précédents : Exercice : On définit le n-i`eme nombre de Fermat par la formule Fn = 22n + 1. Montrer que les Fn sont deux `a deux premiers entre eux.
PEI Math 1 Module 2 / Feuille nOl/page l
La propriété « le produit du PGCD de deux nombres par leur PPCM est égal au produit des ces a' et b' sont donc deux diviseurs de 36 premiers entre eux.
Untitled
g) Faux car 6 et 12 sont deux nombres non premiers entre eux dont le PPCM vaut 12. h) Vrai
calcul-multiples-et-diviseurs.pdf
Les multiples de deux nombres (ou plus) sont les multiples du ppcm de ces Deux nombres naturels dont le pgcd est 1 sont dits « premiers entre eux ».
[PDF] LES NOMBRES PREMIERS – PPCM - Pierre Lux
La multiplication de deux nombres même très grands n'est pas compliquée : avec du papier Si a et b sont premiers entre eux on a PPCM(a ; b) = a × b
[PDF] ppcmpdf
cherche des multiples communs à deux nombres on peut même si l'énoncé ne demande pas de trouver le plus petit d'entre eux chercher le PPCM des deux
[PDF] PGCD ET NOMBRES PREMIERS - maths et tiques
Définition : Soit a et b deux entiers naturels non nuls On dit que a et b sont premiers entre eux lorsque leur PGCD est égal à 1 Exemple :
[PDF] Nombres premiers pgcd et ppcm - Lycée dAdultes
27 jui 2016 · Nombres premiers pgcd et ppcm 3 3 Nombres premiers entre eux il admet exactement deux diviseurs 1 et lui-même
[PDF] PGCD et PPCM de deux entiers :
Montrer que les nombres 3 920 et 1 089sont premiers entre eux et déterminer des entiers u et v tels que 3920u +1089v = 1 Méthode : on écrit toutes les
[PDF] Leçon 7 : Le plus petit commun multiple (ppcm) et le plus grand
Le plus petit des multiples corlmuns à deux nombres a et b s'appelle leur plus petit commun multiple et se note ppcm(ab)
[PDF] PGCD PPCM nombres premiers décomposition en produit de
Quand le PGCD de deux nombres vaut 1 on dit qu'ils sont premiers entre eux Par exemple : • deux nombres premiers distincts sont toujours premiers entre
[PDF] I PGCD et PPCM de deux nombres entiers - My MATHS SPACE
I 3 Nombres premiers entre eux Définition 2 On dit que deux entiers relatifs non nuls a et b sont premiers entre eux lorsque leur PGCD est égal
[PDF] PGCDPPCM nombres premiers entre-eux:
Prop: Tous les diviseurs communs à deux entiers sont les diviseurs de leur PGCD Déf: Deux nombres sont dits premiers entre-eux s'ils ont 1 pour PGCD
PPCM - Maxicours
Quel que soit l'entier naturel p les nombres 9p + 4 et 2p + 1 sont premiers entre eux et leur PPCM est égal à leur produit
Comment calculer le PPCM avec les nombres premiers ?
Le ppcm (plus petit commun multiple), de plusieurs nombres décomposés en facteurs premiers est égal au produit de tous les facteurs premiers communs ou non, chacun d'eux n'est pris qu'une seule fois, avec son exposant le plus grand. 45 = 3?? = 3²?. Le ppcm = 2²?²? = 180.Comment trouver le PPCM de deux nombres ?
Cette méthode consiste à diviser simultanément les nombres dont on cherche le PPCM par des diviseurs premiers. Le PPCM sera alors le produit de ces diviseurs premiers. Attention, la méthode est légèrement différente de celle présentée pour le PGCD.Quel est le PPCM de 5 et 7 ?
Exemples. Trouver le PPCM de 5 et 7 : 1.- Le PPCM est donné par le rapport du produit des 2 entiers donnés et de leur PGCD. On obtient la formule suivante PPCM (a,b) = a × b ÷ PGCD (a,b). Vous pouvez rechercher le PPCM d'entiers jusqu'à 20 chiffres.
CALCUL
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Multiples et diviseursMultiples et diviseursMultiples et diviseursMultiples et diviseurs a et b sont deux nombres naturels. Si aaaa = = = = bbbb x x x x kkkk alors : a aaa est un multiplemultiplemultiplemultiple de bbbb b bbb est un diviseurdiviseurdiviseurdiviseur de aaaa a aaa est divisibledivisibledivisibledivisible par bbbb 1111) ) ) ) PropriétésPropriétésPropriétésPropriétés généralegénéralegénéralegénéralessss
• Tout naturel est multiple de 1.1 est diviseur de tout naturel.
1 n'a qu'un seul diviseur : lui-même.
• Tout naturel est multiple ET diviseur de lui-même.0 n'a qu'un seul multiple : lui-même.
• Si a est diviseur de n, alors le quotient de est un diviseur de n, puisque n = a × q.2222) ) ) ) PropriétésPropriétésPropriétésPropriétés des opérationsdes opérationsdes opérationsdes opérations
• Si a et b sont multiples de c, alors a + b est multiple de c. • Si c est un diviseur de a et b, alors c est un diviseur de a + b. • Si a ≥ b et que a et b sont multiples de c, alors a - b est multiple de c. • Si a ≥ b et que c est un diviseur de a et b, alors c est un diviseur de a - b. • Si a et b sont multiples de c, alors a × b est multiple de c. • Si c est un diviseur de a et b, alors c est un diviseur de a × b. • Si a est multiple de b, et que b est multiple de c, alors a est multiple de c. • Si c est un diviseur de b, et que b est un diviseur de a, alors c est un diviseur de a.3333) ) ) ) Critères de divisibilitéCritères de divisibilitéCritères de divisibilitéCritères de divisibilité
• Un nombre est divisible par 2222 quand son chiffre des unités est pair. • Un nombre est divisible par 4444 quand le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4. • Un nombre est divisible par 5555 seulement si son chiffre des unités est 0 ou 5. • Un nombre est divisible par 10101010 seulement si son chiffre des unités est 0. • Un nombre est divisible par 9999 seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 9. • Un nombre est divisible par 3333 seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 3.4444) ) ) ) Nombres premiersNombres premiersNombres premiersNombres premiers
Un nombre est dit premierpremierpremierpremier s'il n'a que deux diviseursdeux diviseursdeux diviseursdeux diviseurs :::: 1 et lui1 et lui1 et lui1 et lui----mêmemêmemêmemême.
Les multiples de deux nombres (ou plus) sont les multiples du ppcm de ces deux nombres. Les diviseurs communs de deux nombres (ou plus) sont les diviseurs du pgcd de ces deux nombres. • Deux nombres naturels dont le pgcd est 1 sont dits " premiers entre eux ». • Lesdécompositions en produits de facteurs premiers de deux nombres premiers entre eux n'ont aucun facteur
commun.• Si n est divisible par a et b, et si a et b sont premiers entre eux, alors n est divisible par a × b.
• Si un n divise un produit de deux facteurs et s'il est premier avec l'un d'entre eux, alors il divise l'autre.
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MéthodeMéthodeMéthodeMéthode
1111) ) ) ) Chercher si un nombre est premierChercher si un nombre est premierChercher si un nombre est premierChercher si un nombre est premier
• Diviser ce nombre par le plus petit nombre premier : 2. S'il n'est pas divisible par 2, poursuivre.
• Diviser ce nombre par les nombres premiers consécutifs, dans l'ordre croissant : 3, 5, 7, 11, etc.
• Arrêter au plus grand nombre premier inférieur à• Si le nombre que l'on cherchait à diviser n'est divisible par aucun de ces nombres premiers, alors il est lui-même
premier.2) Décomposer un nombre en produit de facteurs premiers2) Décomposer un nombre en produit de facteurs premiers2) Décomposer un nombre en produit de facteurs premiers2) Décomposer un nombre en produit de facteurs premiers
• • • • Diviser le nombre n par le plus petit nombre premier par lequel il est divisible.
• Diviser le quotient obtenu par le plus petit nombre premier par lequel il est divisible.• Continuer ainsi jusqu'à ce que le quotient soit égal à 1. La décomposition est le produit de tous les nombres entiers
successifs.EEEExxxx : Trouver la décomposition de 392.
392 / 2 = 196 196 / 2 = 98 98 / 2 = 49 49 / 7 = 7 7 / 7 = 1
La décomposition e
La décomposition eLa décomposition eLa décomposition est doncst doncst doncst donc :::: 2 x 2 x 2 x 7 x 7 = 22 x 2 x 2 x 7 x 7 = 22 x 2 x 2 x 7 x 7 = 22 x 2 x 2 x 7 x 7 = 2
3333 x 7²x 7²x 7²x 7²
3) Chercher tous les diviseurs d3) Chercher tous les diviseurs d3) Chercher tous les diviseurs d3) Chercher tous les diviseurs d''''un nombreun nombreun nombreun nombre
• Décomposer le nombre en produits de facteurs premiers.• Utiliser un arbre permettant d'obtenir les décompositions en produits de facteurs premiers de ces diviseurs (voir
fiche sur les " Méthodes de dénombrement »). ExExExEx : La décomposition de 392 est 23 x 7².On a donc : 2
0 → 70 20 → 71 20 → 72
21 → 70 21 → 71 21 → 72
Etc.4) Chercher combien 4) Chercher combien 4) Chercher combien 4) Chercher combien de diviseurs de diviseurs de diviseurs de diviseurs possède possède possède possède un nombreun nombreun nombreun nombre nnnn
• Décomposer le nombre n en produits de facteurs premiers. • La décomposition obtenue est de forme a p x bq x cr. On utilise la formule suivante pour trouver le nombre de diviseurs de n :(p + 1) x (q + 1) x (r + 1)(p + 1) x (q + 1) x (r + 1)(p + 1) x (q + 1) x (r + 1)(p + 1) x (q + 1) x (r + 1)
5) Trouver le ppcm 5) Trouver le ppcm 5) Trouver le ppcm 5) Trouver le ppcm de deuxde deuxde deuxde deux nombrenombrenombrenombressss
RRRRappelappelappelappel : le ppcm est le "
plus petit commun diviseur » de deux nombres. • Décomposer les deux nombres en produits de facteurs premiers. • Calculer le ppcm en multipliant tous les types facteurs qui figurent dans l'une ouououou l'autre des décompositions, affectés de l'exposant le plus grand grandgrandgrand avec lesquels ils sont notés dans l'une des décompositions.EEEExxxx : 72 = 23 x 3² 90 = 2 x 3² x 5 Donc le pppppcm pcm pcm pcm = = = = 22223333 x 3x 3x 3x 3² x 5 = 360² x 5 = 360² x 5 = 360² x 5 = 360
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6) Trouver le pgcd 6) Trouver le pgcd 6) Trouver le pgcd 6) Trouver le pgcd de deuxde deuxde deuxde deux nombrenombrenombrenombressss
RRRRappelappelappelappel : le pgcd est le "
plus grand commun diviseur » de deux nombres. • Décomposer les deux nombres en produit de facteurs premiers. • Calculer le pgcd en multipliant tous les types facteurs qui figurent dans l'une etetetet l'autre des décompositions, affectés de l'exposant le plus petit petitpetitpetit avec lesquels ils sont notés dans l'une des décompositions. S'il n'y a pas de facteur commun aux deux décompositions, alors le pgcd est 1.EEEExxxx : 42 = 2 x 3 x 7 98 = 2 x 7² Donc le pgcd = 2 x 7 = 14pgcd = 2 x 7 = 14pgcd = 2 x 7 = 14pgcd = 2 x 7 = 14
7) 7) 7) 7) Utiliser ses connaisUtiliser ses connaisUtiliser ses connaisUtiliser ses connaissances pour savoir si sances pour savoir si sances pour savoir si sances pour savoir si aaaa est un est un est un est un diviseur de diviseur de diviseur de diviseur de bbbb
Méthode 1Méthode 1Méthode 1Méthode 1 : utiliser un critère de divisibilité, si c'est possible.
Méthode 2Méthode 2Méthode 2Méthode 2 : dans la division euclidienne, regarder si le reste est égal à 0 ou si b = a x un nombre naturel.
Méthode 3Méthode 3Méthode 3Méthode 3 : chercher si b est la somme, la différence ou le produit de nombres tous divisibles par a.
Méthode 4Méthode 4Méthode 4Méthode 4 : décomposer les nombres en produit de facteurs premiers. Si les facteurs de a et de b sont les mêmes et
que les exposants des facteurs de a sont inférieurs ou égaux à ceux de b, alors a est un diviseur de b.
Méthode 5Méthode 5Méthode 5Méthode 5 : utiliser le fait que si m est un diviseur de n et n un diviseur de p, alors m est un diviseur de p.
quotesdbs_dbs41.pdfusesText_41[PDF] montrer qu'il existe une infinité de nombres premiers de la forme 4n+1
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