LES NOMBRES PREMIERS – PPCM
La multiplication de deux nombres même très grands
PGCD ET NOMBRES PREMIERS
Théorème de Bézout : Soit a et b deux entiers naturels non nuls. a et b sont premiers entre eux si et seulement si
PGCD et PPCM
Combinaisons : Les combinaisons aZ + bZ sont exactement les multiples du PGCD. 1. Page 2. 2 Nombres premiers entre eux. Deux nombres sont premiers entre
PGCD - PPCM Théorèmes de Bézout et de Gauss
15 ?.?. 2559 Définition 1 : Soit a et b deux entiers relatifs non nuls. ... Il ne faut pas confondre des nombres premiers entre eux et des nombres pre-.
PGCD et PPCM de deux entiers :
On suppose a et b premiers entre eux donc pgcd(a ; b) = 1. L'un des deux nombres est non nul
Remédiation – PGCD et PPCM Plus grand commun diviseur (PGCD)
Une fraction est irréductible si le PGCD de ses termes est 1. On dit alors que leurs termes sont premiers entre eux. Vérification du PGCD de deux nombres. Vrai
Cours darithmétique
précédents : Exercice : On définit le n-i`eme nombre de Fermat par la formule Fn = 22n + 1. Montrer que les Fn sont deux `a deux premiers entre eux.
PEI Math 1 Module 2 / Feuille nOl/page l
La propriété « le produit du PGCD de deux nombres par leur PPCM est égal au produit des ces a' et b' sont donc deux diviseurs de 36 premiers entre eux.
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g) Faux car 6 et 12 sont deux nombres non premiers entre eux dont le PPCM vaut 12. h) Vrai
calcul-multiples-et-diviseurs.pdf
Les multiples de deux nombres (ou plus) sont les multiples du ppcm de ces Deux nombres naturels dont le pgcd est 1 sont dits « premiers entre eux ».
[PDF] LES NOMBRES PREMIERS – PPCM - Pierre Lux
La multiplication de deux nombres même très grands n'est pas compliquée : avec du papier Si a et b sont premiers entre eux on a PPCM(a ; b) = a × b
[PDF] ppcmpdf
cherche des multiples communs à deux nombres on peut même si l'énoncé ne demande pas de trouver le plus petit d'entre eux chercher le PPCM des deux
[PDF] PGCD ET NOMBRES PREMIERS - maths et tiques
Définition : Soit a et b deux entiers naturels non nuls On dit que a et b sont premiers entre eux lorsque leur PGCD est égal à 1 Exemple :
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27 jui 2016 · Nombres premiers pgcd et ppcm 3 3 Nombres premiers entre eux il admet exactement deux diviseurs 1 et lui-même
[PDF] PGCD et PPCM de deux entiers :
Montrer que les nombres 3 920 et 1 089sont premiers entre eux et déterminer des entiers u et v tels que 3920u +1089v = 1 Méthode : on écrit toutes les
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Le plus petit des multiples corlmuns à deux nombres a et b s'appelle leur plus petit commun multiple et se note ppcm(ab)
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Quand le PGCD de deux nombres vaut 1 on dit qu'ils sont premiers entre eux Par exemple : • deux nombres premiers distincts sont toujours premiers entre
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I 3 Nombres premiers entre eux Définition 2 On dit que deux entiers relatifs non nuls a et b sont premiers entre eux lorsque leur PGCD est égal
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Prop: Tous les diviseurs communs à deux entiers sont les diviseurs de leur PGCD Déf: Deux nombres sont dits premiers entre-eux s'ils ont 1 pour PGCD
PPCM - Maxicours
Quel que soit l'entier naturel p les nombres 9p + 4 et 2p + 1 sont premiers entre eux et leur PPCM est égal à leur produit
Comment calculer le PPCM avec les nombres premiers ?
Le ppcm (plus petit commun multiple), de plusieurs nombres décomposés en facteurs premiers est égal au produit de tous les facteurs premiers communs ou non, chacun d'eux n'est pris qu'une seule fois, avec son exposant le plus grand. 45 = 3?? = 3²?. Le ppcm = 2²?²? = 180.Comment trouver le PPCM de deux nombres ?
Cette méthode consiste à diviser simultanément les nombres dont on cherche le PPCM par des diviseurs premiers. Le PPCM sera alors le produit de ces diviseurs premiers. Attention, la méthode est légèrement différente de celle présentée pour le PGCD.Quel est le PPCM de 5 et 7 ?
Exemples. Trouver le PPCM de 5 et 7 : 1.- Le PPCM est donné par le rapport du produit des 2 entiers donnés et de leur PGCD. On obtient la formule suivante PPCM (a,b) = a × b ÷ PGCD (a,b). Vous pouvez rechercher le PPCM d'entiers jusqu'à 20 chiffres.
PGCD et PPCM
Notation :Div(a)est l"ensemble des diviseurs du nombrea;aZest l"ensemble des multiples du nombrea;aZ+bZest l"ensemble des nombres de la formeaz+bz?avec z,z ??Z(ici on appele ces nombres 'combinaisons").1 Le plus grand commun diviseur
Le PGCD de deux entiers relatifs est le plus grand entier qui les divise simultanément (si les deux nombres sont zéro, on définit le PGCD comme zéro). Soienta,b?Ztels queaoubsoit non-nul. Plusieurs définitions pour lePGCD(a,b)sont possibles (le PGCD satisfait toutes les propriétés de ces définitions et si un nombre satisfait l"une de ces définitions, il est forcément le PGCD) : •Le plus grand élément de l"ensemble des diviseurs communs àaetb, c.à.d. max ?Div(a)∩Div(b)?. •Le diviseur commun àaetbqui est multiple de chaque diviseur commun àaetbet qui est positif. •La plus petite combinaison des nombresaetbqui est strictement positive, c.à.d. min ?(aZ+bZ)∩Z>0?. Algorithme d"Euclide pour le PGCD :Pour calculer le PGCD on peut utiliser la division euclidienne et remarquer quePGCD(Dividende,Diviseur) = PGCD(Diviseur,Reste).
[Preuve : On peut montrer facilement que les deux couples de nombres ont les mêmes diviseurs communs.] L"avantage est que les deux nombres deviennent de plus en plus petit : à la fin on va forcément trouver quelque chose de la formePGCD(n,0)pour un entier natureln, et le PGCD cherché sera doncn. Propriétés du PGCD de deux nombres :Soienta,b?Ztels queaoubsoit non-nul. •L"ordre des deux nombres, ou leur signe, n"a aucun effet sur le PGCD. •Les diviseurs du PGCD sont les diviseurs communs aux deux nombres. •La valeurPGCD(a,b)peut aller de1aumin{|a|,|b|}(on est dans le dernier cas si et seulement si on a une divisibilité entre les nombres). •Sic?Z\ {0}on aPGCD(ac,bc) =|c| ·PGCD(a,b)
•Combinaisons :Les combinaisonsaZ+bZsont exactement les multiples du PGCD. 12 Nombres premiers entre eux
Deux nombres sontpremiers entre euxsi leur PGCD est1. De manière équivalente,1 est une combinaison de ces deux nombres, et donc que chaque entier est une combi- naison de ces deux nombres. Plusieurs nombres sontpremiers entre eux deux à deuxsi le PGCD de chaque paire de nombres est1(en particulier, ces nombres n"ont pas de facteurs communs). Atten- tion :6,10,15n"ont pas de facteurs communs, mais ils ne sont pas premiers entre eux deux à deux. Si on divise deux nombres par leur PGCD, les quotients obtenus sont premiers entre eux (car on a enlevé tous les facteurs communs). •Pour touta,b,c?Zon a : "si un nombre divise un produit de deux facteurs, et est premier avec l"un des facteurs, alors il divise le deuxième facteur" a|bcetPGCD(a,b) = 1 =?a|c. •Pour touta,b,c?Zon a : "si deux diviseurs d"un nombre sont premiers entre eux, leur produit est encore un diviseur de ce nombre" a|cetb|cetPGCD(a,b) = 1 =?ab|c. [Ces propriétés sont fausses sans l"hypothèse des nombres premiers entre eux.] Remarque générale : Une propriété arithmétique pour deux nombres premiers entre eux se généralise souvent à plusieurs nombres qui sont premiers entre eux deux à deux (par contre, la condition de ne pas avoir de facteur commun est trop faible).3 PGCD de plusieurs nombres
Définir lePGCD(a1,...,an)de plusieurs nombres entiers et en écrire les propriétés est un exercice utile de généralisation. Une nouvelle propriété : SiN≥n≥2, eta1,...,aN?Z, on aPGCD(a1,...,aN)|PGCD(a1,...,an).
Un point de vue utile : on peut considérer le PGCD de deux nombres comme une opé- ration. On peux vérifier facilement que cette opération est commutative et associative. Le PGCD de plusieurs nombres s"obtient en faisant plusieurs PGCD de deux nombres (dans la même façon qu"une somme de plusieurs nombres). En utilisant l"associativité on peut montrer par exemple :PGCD(a,b,c,d,e) = PGCD(PGCD(a,b),PGCD(c,d),e).
24 Le plus petit commun multiple
Le PPCM de deux entiers relatifs est le plus petit entier qui est strictement positif et est un multiple de deux nombres (si au moins un des deux nombres est zéro, on définit lePPCM comme zéro).
Soienta,b?Z, tels queaoubsoient non-nuls. Plusieurs définitions pour lePPCM(a,b) sont possibles, par exemple : •Le plus petit élément strictement positif des ensemble des multiples communs àaet b, c.à.d. min?aZ∩bZ∩Z>0?. •Le multiple commun àaetbque divise chaque multiple commun àaetbet qui est strictement positif. Propriétés du PPCM de deux nombres :Soienta,b?Z, tels queaoubsoit non-nul. •L"ordre des deux nombres, ou leur signe, n"as aucun effet sur le PPCM. •Les multiples du PPCM sont les multiples communs des deux nombres. •La valeurPPCM(a,b)peut aller demax{|a|,|b|}à|ab|(on est dans le premier cas si et seulement si l"on a une divisibilité entre les nombres). Puisqueabest un multiple commun àaetb, lePPCMle divise. •Sic?Z\ {0}, on aPPCM(ac,bc) =|c| ·PPCM(a,b).
Attention! Contrairement au PGCD, il n"ya pas un lien direct entre le PPCM et les com- binaisons des nombres. Bien quePGCD(a+bz,b) = PGCD(a,b)pour toutz?Z, on a PPCM(a+bz,b)?= PPCM(a,b)en général (les deux couples ont les mêmes diviseurs communs, mais pas les même multiples : comparer par exemple(2,3)avec(2 + 3,3)). On calcule le PPCM avec le PGCD, grâce à la formule suivante :PGCD(a,b)·PPCM(a,b) =|a·b|.
Attention! Cette formule est fausse pour plusieurs nombres (essayer des exemples). Définir lePPCM(a1,...,an)de plusieurs nombres entiers et en écrire les propriétés est un exercice utile de généralisation. Comme le PGCD, le PPCM est aussi une opéra- tion associative et commutative, et on peut calculer le PPCM de plusieurs nombres en faisant plusieurs PPCM de deux nombres. De façon analogue, siN≥n≥2, et a1,...,aN?Z, on a
PPCM(a1,...,an)|PPCM(a1,...,aN).
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